大一高等数学期末考试试卷及答案详解

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大一高等数学期末测试卷及答案

大学一年级《高等数学》期末测试卷一、选择题（每题4分，共16分）1．101lim(1)lim sinxx x x x x -→→∞++=（）。

A 、e ；B 、1e -；C 、1e +；D 、11e -+2．设()ln f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x =（）。

A 、0；B 、e ；C 、1；D 、2e 。

3．若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰（）。

A 、sin 2cos2x x x C ++；B 、sin 2cos2x x xC -+；C 、1sin 2cos 22x x x C -+；D 、1sin 2cos 22x x x C++。

4．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则（）。

A 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极小值点；B 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极小值点；C 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极大值点；D 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极大值点。

二、填空题（每题5分，共20分）1． 0limx xx xe e -→=- 。

2．x =⎰。

3．3222sin (cos )1x x dx x ππ-+=+⎰ 。

4．设,,,αβδγ为向量，k 为实数。

若||||1,||||1αβ==，α⊥β，2,k γαβδαβ=+=+，γ⊥δ，则k = 。

三、计算下列各题（每题9分，共45分）1．求极限0lim xx x →+。

2．函数()y y x =由方程0x y e e xy --=确定，求202|x d ydx =。

3．求定积分1dx。

4．求过点(3,1,2)且与平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程。

5．设1sin , 0()20, x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求0()()xx f t dt Φ=⎰。

大一上学期高等数学期末试题及解答

Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解：特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点：反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

大一期末数学试题及答案

大一期末数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = sin(x)答案：B2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。

A. 1B. -3C. 3D. -1答案：B3. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 以下哪个选项不是二项式定理的展开式？A. (a + b)^nB. (a - b)^nC. (a + b)^2D. (a - b)^2答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(3)的值。

答案：-12. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

答案：1/33. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-4, 6)，求向量a与向量b的点积。

答案：-204. 设函数g(x) = ln(x)，求g'(x)。

答案：1/x三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y = 3x^2 - 2x + 1的导数。

答案：y' = 6x - 22. 计算定积分∫(1 to 2) (x^3 - 2x^2 + 3) dx。

答案：(1/4 * x^4 - 2/3 * x^3 + 3x) | (1 to 2) = 4/3 3. 求函数f(x) = e^x - x^2在x = 0处的切线方程。

答案：y = 14. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)。

答案：f'(x) = cos(x) - sin(x)5. 计算级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和。

答案：π^2/66. 求函数y = ln(x)的反函数。

答案：y = e^x。

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

（二）
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数，则是的第类间断点.
2．函数，则 .
3． .
4．曲线在点处的切线方程为.
5．函数在上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件；充分但非必要条件；
充分必要条件；无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数，则函数在内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程的特解形式为（C）
（A）；（B）；
（C）；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若在上可积,则 ;
(C)(C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
；；
； .
3．设在上，且，则曲线在上.
沿轴正向上升且为凹的；沿轴正向下降且为凹的；
沿轴正向上升且为凸的；沿轴正向下降且为凸的.
4．设，则在处的导数（）.
等于；等于；
等于；不存在.
5．已知，以下结论正确的是（）.
函数在处有定义且；函数在处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知则的值为（）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分的值为（）.

大一数学期末考试试题及答案解析

大一数学期末考试试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ZB. NC. QD. R答案：D解析：实数集的符号表示为R，整数集为Z，自然数集为N，有理数集为Q。

2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的根是：A. -1B. -2C. 1D. 2答案：B解析：通过求解二次方程x^2 + 3x + 2 = 0，我们得到(x + 1)(x + 2) = 0，因此根为-1和-2。

3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：根据洛必达法则，当x趋近于0时，(sin x)/x的极限值为1。

4. 以下哪个选项是复数z = 2 + 3i的共轭复数？A. 2 - 3iB. 2 + 3iC. -2 + 3iD. -2 - 3i答案：A解析：复数z = a + bi的共轭复数为a - bi，因此2 + 3i的共轭复数为2 - 3i。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 2x - 3的反函数是f^(-1)(x) = _______。

答案：x/2 + 3/2解析：将f(x) = 2x - 3中的x和y互换，得到x = 2y - 3，解出y 得到反函数。

2. 圆的方程x^2 + y^2 = 9的圆心坐标是(0, 0)，半径为_______。

答案：3解析：圆的方程x^2 + y^2 = r^2，其中r为半径，因此半径为3。

3. 集合{1, 2, 3}的子集个数为_______。

答案：8解析：一个有n个元素的集合的子集个数为2^n，因此3个元素的集合有2^3 = 8个子集。

4. 向量a = (3, 4)和向量b = (-4, 3)的点积为_______。

答案：-7解析：点积计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量之间的夹角。

由于向量a和向量b的点积为3*(-4) + 4*3 = -12 + 12 = -7，因此答案为-7。

(完整版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限　lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数　的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本大题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令　1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为，　当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-　13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本大题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（）.(3)2,f '=0(3)(3)lim2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .2. （3分） .1241(sin )x x x dx -+=⎰3. （3分） = .201lim sinx x x→4. （3分）的极大值为 .3223y x x =-三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2.（6分）设求y =.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.（6分）求其中3(1),f x dx -⎰,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.（6分）设函数由方程所确定,求()y f x =0cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰.dy 6.（6分）设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).f x dx +⎰7.（6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().f x 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-4.（7分）求函数上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)设在区间上连续,证明()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 123 0;4 0.31;y x =+2;3三、 1 解原式 5分25lim3x x xx→⋅=1分53=2解2分2ln ln ln(1),2xy x ==-+4分21221xy x '∴=-+3 解原式 3分221ln(1)(1)2x d x =++⎰2分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰1分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+4解令则2分1,x t -=1分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++1分21e e =-+5两边求导得2分cos 0,yey x '⋅+= 1分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =-2分cos sin 1xdy dx x ∴=-6解2分1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 4分21sin(23)2x C =++7解原式= 4分23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=2分32e 四、1 解令则3分ln ,xt =,()1,t t x e f t e '==+=2分()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=1分().x f x x e ∴=+2解3分222cos x V xdx πππ-=⎰2分2202cos xdx ππ=⎰2分2.2π=3解1分23624,66,y x x y x '''=-+=-令得1分0,y ''= 1.x =当时, 当时,2分1x -∞<<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,1分(1,3)∴该点处的切线为2分321(1).yx =+-4解2分1y '=-=令得1分0,y '=3.4x =2分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为2分∴(5)5y -=-+35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明1分()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分 {}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰移项即得所证. 1分。

大一高数b期末考试试题及答案

大一高数b期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个函数是奇函数：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 以下哪个积分是发散的：A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) ln(x) dx6. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1/2+1/4+1/8+1/16+...7. 以下哪个矩阵是可逆的：A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]8. 以下哪个行列式等于0：A. |1 2; 3 4|B. |2 0; 0 2|C. |1 1; 1 1|D. |1 -1; -1 1|9. 以下哪个方程组有唯一解：A. x+y=1x-y=1B. x+y=12x+2y=2C. x+2y=32x+4y=6D. x+y=1x+2y=310. 以下哪个二重积分的计算结果是2π：A. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyB. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyC. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdyD. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。

2. 曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=_________(x-2)。

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【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)2ex,x 0,1. (3分)若f(x) 为连续函数,则a的值为( ).a,x,x 0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知f (3) 2,则lim(A)1 (B)3 (C)-1 (D). h 012 f(3,h),f(3)2h的值为( )3. (3分)定积分 2,2的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1((3分) 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. (3分) (x,xsinx)dx .,11243. (3分) limxsinx 021x= .24. (3分) y 2x,3x的极大值为三、计算题(共42分)1. (6分)求limxln(1,5x)sin3x23x 0.2. (6分)设y x,1求y .3. (6分)求不定积分 xln(1,x2)dx.14. (6分)求 30x ,x 1, 其中 f(x,1)dx,f(x) 1,cosx ex,1,x 1.y5. (6分)设函数y f(x)由方程 etdt,0 x0costdt 0所确定,求dy.6. (6分)设 f(x)dx sinx2,C,求 f(2x,3)dx.3 7. (6分)求极限lim 1, .n 2n n四、解答题(共28分)1. (7分)设f (lnx) 1,x,且f(0) 1,求f(x).2. (7分)求由曲线y cosx ,转体的体积. 2 x 与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋23. (7分)求曲线y x3,3x2,24x,19在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数y x,[,5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设f (x)在区间[a,b]上连续,证明baf(x)dx b,a2[f(a),f(b)],12 ba(x,a)(x,b)f (x)dx.(二)一、填空题(每小题3分，共18分)x,1x,3x,2221(设函数f,x, 2，则x 1是f,x,的第. 2(函数y ln,1,x2x,，则y. 1,x 3( lim x x .4(曲线y 1 1 在点 ,2 处的切线方程为 . x 225(函数y 2x3,3x2在 ,1,4 上的最大值，最小值. 6( arctanx1,x2dx .二、单项选择题(每小题4分，共20分)1(数列 xn 有界是它收敛的( ) .,A, 必要但非充分条件; ,B, 充分但非必要条件 ; ,C, 充分必要条件; ,D, 无关条件.2(下列各式正确的是( ) .,A, e,xdx1 e,x,C; ,B, lnxdx 1; ,C, dx1,2x 1 xlnx1x,C2ln,1,2x,,C; ,D, dx lnlnx,C.3( 设f,x,在 a,b 上，f ,x, 0且f ,x, 0，则曲线y f,x,在 a,b 上. ,A, 沿x轴正向上升且为凹的; ,B, 沿x轴正向下降且为凹的; ,C, 沿x轴正向上升且为凸的; ,D, 沿x轴正向下降且为凸的.4(设f,x, xlnx，则f,x,在x 0处的导数( ). ,A, 等于1; ,B, 等于,1; ,C, 等于0; ,D, 不存在.5(已知limf,x, 2，以下结论正确的是( ).x 1,,A, 函数在x,C, 函数在x三、 1处有定义且f,1, 2; ,B, 函数在x 1处的某去心邻域内有定义; 1处的左侧某邻域内有定义;,D, 函数在x 1处的右侧某邻域内有定义. 计算(每小题6分，共36分)21(求极限:limxsinx 01x.2. 已知y ln,1,x3. 求函数y xsinx2,，求y . 0,的导数. ,x34.1,x2x2dx.5.xcos1xxdx.1yx确定函数y f,x,，求y .26.方程y四、五、六、(10分)已知ex为f,x,的一个原函数，求 x2f,x,dx. (6分)求曲线y xe,x的拐点及凹凸区间. (10分)设 f,x,dx x,ex,1,C，求f,x,.,(三)一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).1(1)lim(cosx)x 0x21(2)曲线y xlnx上与直线x,y,1 0平行的切线方程为___y x,1______. (3)已知f (e) xe(4)曲线yx2x,x，且f(1) 0, 则f(x) ______f(x) 2y13x,19__ .(lnx)2_____ .3x,1的斜渐近线方程为 _______2y5x,1(5)微分方程的通解为_________二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). (1)下列积分结果正确的是( D )y , (x,1)2y237(x,1)2,C(x,1).2(A) (C)1,1, 11xdx 01(B)(D)1,11x2dx ,2x4dx ,, 11xdx ,(2)函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则( D ).(A)x1,x2都是极值点.(B) ,x1,f(x1),,,x2,f(x2),都是拐点. (C) x1是极值点.，,x2,f(x2),是拐点. (D) ,x1,f(x1),是拐点，x2是极值点.(3)函数y C1e,C2ex,2x,xex满足的一个微分方程是( D ).4(A)y ,y ,2y 3xe.(C)y ,y ,2y 3xe.(4)设f(x)在x0处可导，则h 0limxx h (B)y ,y ,2y 3e.(D)y ,y ,2y 3e. 为( A ). xxf,x0,,f,x0,h,,f ,x0,(A) f,x0,. (B) . (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) ( f(x)dx) f(x). (B) df(x) f(x).(C) d[ f(x)dx] f(x). (D) f (x)dx f(x).三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分). lim(x,1)1(求极限x 1x,1lnx.lim(x,1)limxlnx,x,1解 x 1x,1lnx=x 1(x,1)lnx 1分 limlnxx 1x,1=x,lnx2分 limxlnx= x 1x,1,xlnx 1分 lim1,lnx= x 11,lnx,1 12 2分x lnsintdyd22.方程 yy cost,tsint确定y为x的函数，求dx与dx2. dy y (t)t,解 dxx (t) tsin(3分)d2y(tsint)dx2 x (t) sinttant,tsint.(6分)3. 4. 计算不定积分.解 2 (1,x),,,,,,,,,,,2分=2 arctanarctan,,,,,,2分 =(arctan2,C,,,,,,,,,2分4.计算定积分 3x01,,xdx.x x(1,,x)301,,xdx 30,xdx , 3解0(1,,x)dx5 3分) (,3,2333(1,x)20 53 (6分) (或令,x t)四、解答题(本题共4小题，共29分).2x1((本题6分)解微分方程y ,5y ,6y xe.解:特征方程r-5r,6 0,,,,,,,,,,1分特征解r1 2,r2 3.,,,,,,,,,,1分次方程的通解Y=C1e令y x(b0x,b1)e代入解得b0 ,所以y x(,**2x2x2,C2e.,,,,,,,1分3x,,,,,,,,,,,1分12b1 ,1.2x12x,1)e,,,,,,,,,,,1分,C2e3x所以所求通解y C1e2x,x(12x,1)e.,,,,1分2x2((本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1)，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力(解:建立坐标系如图P R02 ,,,,,,,,,4R0 , gR,x),,,,,,1分223222R , g[R,x]0,,,,,,1分32 g3R,,,,,,,,,,,,,,,,1分3b3. (本题8分)设f(x)在[a,b]上有连续的导数，f(a) f(b) 0，且a试求 abaf(x)dx 12， bxf(x)f (x)dx. 解: xf(x)f (x)dxbaxf(x)df(x),,,,,2分122baxdf(x),,,,,2分b2 =[xf(x)]a,=0,12 ,1212 baf(x)dx,,2分2,,,,,,,,,2分4. (本题8分)过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4) 求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积V.6解:(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0,1x0(x,x0).----1分由该切线过原点知 lnx0,1 0，从而x0 e. 所以该切线的方程为y1ex.平面图形D的面积A 1e----1分x1(ey,ey)dy12e,1.----2分(2) 切线V1132y与x轴及直线x e所围成的三角形绕直线x e旋转所得的圆锥体积为e.2分曲线y lnx与x轴及直线x e所围成的图形绕直线x e旋转所得的旋转体体积为V21(e,e)dyy2， 1分因此所求旋转体的体积为V V1,V2103五、证明题(本题共1小题，共7分).e,21(e,e)dyy26(5e,12e,3).21分1.证明对于任意的实数x，e 1,x. 解法一:e 1,x,xxxe2x 1,x2解法二:设f(x) e,x,1.则f(0) 0. 1分(x) ex,1.f因为 1分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分x所以对于任意的实数x，f(x) 0.即e 1,x。

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【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)2ex,x 0,1. (3分)若f(x) 为连续函数,则a的值为( ).a,x,x 0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知f (3) 2,则lim(A)1 (B)3 (C)-1 (D). h 012 f(3,h),f(3)2h的值为( )3. (3分)定积分 2,2的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1((3分) 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. (3分) (x,xsinx)dx .,11243. (3分) limxsinx 021x= .24. (3分) y 2x,3x的极大值为三、计算题(共42分)1. (6分)求limxln(1,5x)sin3x23x 0.2. (6分)设y x,1求y .3. (6分)求不定积分 xln(1,x2)dx.14. (6分)求 30x ,x 1, 其中 f(x,1)dx,f(x) 1,cosx ex,1,x 1.y5. (6分)设函数y f(x)由方程 etdt,0 x0costdt 0所确定,求dy.6. (6分)设 f(x)dx sinx2,C,求 f(2x,3)dx.3 7. (6分)求极限lim 1, .n 2n n四、解答题(共28分)1. (7分)设f (lnx) 1,x,且f(0) 1,求f(x).2. (7分)求由曲线y cosx ,转体的体积. 2 x 与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋23. (7分)求曲线y x3,3x2,24x,19在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数y x,[,5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设f (x)在区间[a,b]上连续,证明baf(x)dx b,a2[f(a),f(b)],12 ba(x,a)(x,b)f (x)dx.(二)一、填空题(每小题3分，共18分)x,1x,3x,2221(设函数f,x, 2，则x 1是f,x,的第. 2(函数y ln,1,x2x,，则y. 1,x 3( lim x x .4(曲线y 1 1 在点 ,2 处的切线方程为 . x 225(函数y 2x3,3x2在 ,1,4 上的最大值，最小值. 6( arctanx1,x2dx .二、单项选择题(每小题4分，共20分)1(数列 xn 有界是它收敛的( ) .,A, 必要但非充分条件; ,B, 充分但非必要条件 ; ,C, 充分必要条件; ,D, 无关条件.2(下列各式正确的是( ) .,A, e,xdx1 e,x,C; ,B, lnxdx 1; ,C, dx1,2x 1 xlnx1x,C2ln,1,2x,,C; ,D, dx lnlnx,C.3( 设f,x,在 a,b 上，f ,x, 0且f ,x, 0，则曲线y f,x,在 a,b 上. ,A, 沿x轴正向上升且为凹的; ,B, 沿x轴正向下降且为凹的; ,C, 沿x轴正向上升且为凸的; ,D, 沿x轴正向下降且为凸的.4(设f,x, xlnx，则f,x,在x 0处的导数( ). ,A, 等于1; ,B, 等于,1; ,C, 等于0; ,D, 不存在.5(已知limf,x, 2，以下结论正确的是( ).x 1,,A, 函数在x,C, 函数在x三、 1处有定义且f,1, 2; ,B, 函数在x 1处的某去心邻域内有定义; 1处的左侧某邻域内有定义;,D, 函数在x 1处的右侧某邻域内有定义. 计算(每小题6分，共36分)21(求极限:limxsinx 01x.2. 已知y ln,1,x3. 求函数y xsinx2,，求y . 0,的导数. ,x34.1,x2x2dx.5.xcos1xxdx.1yx确定函数y f,x,，求y .26.方程y四、五、六、(10分)已知ex为f,x,的一个原函数，求 x2f,x,dx. (6分)求曲线y xe,x的拐点及凹凸区间. (10分)设 f,x,dx x,ex,1,C，求f,x,.,(三)一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).1(1)lim(cosx)x 0x21(2)曲线y xlnx上与直线x,y,1 0平行的切线方程为___y x,1______. (3)已知f (e) xe(4)曲线yx2x,x，且f(1) 0, 则f(x) ______f(x) 2y13x,19__ .(lnx)2_____ .3x,1的斜渐近线方程为 _______2y5x,1(5)微分方程的通解为_________二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). (1)下列积分结果正确的是( D )y , (x,1)2y237(x,1)2,C(x,1).2(A) (C)1,1, 11xdx 01(B)(D)1,11x2dx ,2x4dx ,, 11xdx ,(2)函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则( D ).(A)x1,x2都是极值点.(B) ,x1,f(x1),,,x2,f(x2),都是拐点. (C) x1是极值点.，,x2,f(x2),是拐点.(D) ,x1,f(x1),是拐点，x2是极值点.(3)函数y C1e,C2ex,2x,xex满足的一个微分方程是( D ).4(A)y ,y ,2y 3xe.(C)y ,y ,2y 3xe.(4)设f(x)在x0处可导，则h 0limxx h (B)y ,y ,2y 3e.(D)y ,y ,2y 3e. 为( A ). xxf,x0,,f,x0,h,,f ,x0,(A) f,x0,. (B) . (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) ( f(x)dx) f(x). (B) df(x) f(x).(C) d[ f(x)dx] f(x). (D) f (x)dx f(x).三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分).lim(x,1)1(求极限x 1x,1lnx.lim(x,1)limxlnx,x,1解 x 1x,1lnx=x 1(x,1)lnx 1分 limlnxx 1x,1=x,lnx2分 limxlnx= x 1x,1,xlnx 1分 lim1,lnx= x 11,lnx,1 12 2分x lnsintdyd22.方程 yy cost,tsint确定y为x的函数，求dx与dx2. dy y (t)t,解 dxx (t) tsin(3分)d2y(tsint)dx2 x (t) sinttant,tsint.(6分)3. 4. 计算不定积分.解 2 (1,x),,,,,,,,,,,2分=2 arctanarctan,,,,,,2分 =(arctan2,C,,,,,,,,,2分4.计算定积分 3x01,,xdx.x x(1,,x)301,,xdx 30,xdx , 3解0(1,,x)dx5 3分) (,3,2333(1,x)20 53 (6分) (或令,x t)四、解答题(本题共4小题，共29分).2x1((本题6分)解微分方程y ,5y ,6y xe.解:特征方程r-5r,6 0,,,,,,,,,,1分特征解r1 2,r2 3.,,,,,,,,,,1分次方程的通解Y=C1e令y x(b0x,b1)e代入解得b0 ,所以y x(,**2x2x2,C2e.,,,,,,,1分3x,,,,,,,,,,,1分12b1 ,1.2x12x,1)e,,,,,,,,,,,1分,C2e3x所以所求通解yC1e2x,x(12x,1)e.,,,,1分2x2((本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1)，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力(解:建立坐标系如图P R02 ,,,,,,,,,4R0 , gR,x),,,,,,1分223222R , g[R,x]0,,,,,,1分32 g3R,,,,,,,,,,,,,,,,1分3b3. (本题8分)设f(x)在[a,b]上有连续的导数，f(a) f(b) 0，且a试求 abaf(x)dx 12， bxf(x)f (x)dx. 解: xf(x)f (x)dxbaxf(x)df(x),,,,,2分122baxdf(x),,,,,2分b2 =[xf(x)]a,=0,12 ,1212 baf(x)dx,,2分2,,,,,,,,,2分4. (本题8分)过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4) 求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积V.6解:(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0,1x0(x,x0).----1分由该切线过原点知 lnx0,1 0，从而x0 e.所以该切线的方程为y1ex.平面图形D的面积A 1e----1分x1(ey,ey)dy12e,1.----2分(2) 切线V1132y与x轴及直线x e所围成的三角形绕直线x e旋转所得的圆锥体积为e.2分曲线y lnx与x轴及直线x e所围成的图形绕直线x e旋转所得的旋转体体积为V21(e,e)dyy2， 1分因此所求旋转体的体积为V V1,V2103五、证明题(本题共1小题，共7分).e,21(e,e)dyy26(5e,12e,3).21分1.证明对于任意的实数x，e 1,x. 解法一:e 1,x,xxxe2x 1,x2解法二:设f(x) e,x,1.则f(0) 0. 1分(x) ex,1.f因为 1分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分x所以对于任意的实数x，f(x) 0.即e 1,x。

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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

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大一高等数学期末考试试卷
一、选择题（共12分）
1. （3分）若2,0,(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h
→--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)
12
3. （3分）定积分22
ππ-⎰的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2
4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .
2. （3分） 1
241(sin )x x x dx -+=⎰ .
3. （3分） 201lim sin x x x
→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .
三、计算题（共42分）
1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x
→+
2. （6分）设y =求.y '
3. （6分）求不定积分2ln(1).
x x dx +⎰
4. （6分）求3
0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x
t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy
6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰
7. （6分）求极限3lim 1.2n
n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
四、解答题（共28分）
1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x
2. （7分）求由曲线cos 2
2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.
4. （7
分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明
1()[()()]()()().22b
b a a
b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案
一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.
二、 1 31;y x =+ 2 2;3
3 0;
4 0. 三、 1 解原式205lim
3x x x x →⋅= 5分 53
= 1分
2 解
22ln ln ln(1),12
x y x x ==-++ 2分
2212[]121
x y x x '∴=-++ 4分 3 解原式221ln(1)(1)2
x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x
=++-+⋅+⎰ 2分
2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解令1,x t -=则 2分
3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分
121
1(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 21
0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分
5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-
1分 cos sin 1
x x =- 1分 cos sin 1
x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2
f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2
x C =++ 4分
7 解原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+
⎪⎝⎭ 4分 =3
2e 2分
四、1 解令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分
()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分
(0)1,0,f C =∴= 2分
().x f x x e ∴=+ 1分
2 解 222
cos x V xdx π
ππ-=⎰ 3分 2202cos xdx π
π=⎰ 2分 2.2π=
2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分
令0,y ''=得 1.x = 1分
当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分
(1,3)∴为拐点, 1分
该点处的切线为321(1).y x =+- 2分
4 解
1y '=-= 2分令0,y '=得3.4
x = 1分
35(5)5 2.55,,(1)1,44
y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分
∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明
()()()()()()b
b
a a x a x
b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b
b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分
[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分
{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分
()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分
移项即得所证. 1分
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