幂函数及函数零点
幂函数的对称轴和零点
幂函数的对称轴和零点幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a是常数，n是整数指数。
在幂函数的图像中，对称轴和零点是重要的特征，对于我们理解和分析幂函数的性质和行为至关重要。
一、对称轴对称轴是指在幂函数图像中呈现对称性的直线。
对称轴可以是y轴、x轴或者其他直线。
对于幂函数y = ax^n来说，当指数n为偶数时，对称轴通常是y轴。
例如，当n为2时，我们有y = ax^2，其图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线，对称轴恰好是y轴。
当n为4、6、8等偶数时，同样也是如此。
而当指数n为奇数时，对称轴通常为x轴。
例如，当n为3时，我们有y = ax^3，其图像是一个S型曲线，对称轴是x轴。
同样地，当n为5、7、9等奇数时，对称轴也是x轴。
需要注意的是，对称轴也可能是其他斜线，这取决于指数n的具体数值和常数a的正负情况。
不同的对称轴会给幂函数带来特殊的性质，例如对称性和奇偶性。
二、零点零点是指幂函数图像上使得函数值等于零的点的横坐标。
即在幂函数y = ax^n中，当y为0时，找到满足条件的x值。
对于幂函数y = ax^n来说，零点的个数与指数n有关。
对于正整数指数n：1. 当n为偶数时，幂函数必然存在一个或多个零点。
如果常数a为正数，则图像在对称轴的两侧交替穿越x轴，并且每一个交叉点都是一个零点。
如果常数a为负数，则图像在对称轴的两侧交替与x轴相切，并且每一个切点都是一个零点。
2. 当n为奇数时，幂函数的图像至少通过x轴一次，因此必然存在一个零点。
此时，常数a的正负决定了图像与x轴的交点的相对位置。
需要注意的是，当指数n为负数时，指数函数的性质会发生变化，其图像将无法通过x轴。
但原理不变，零点的求解方式依然可以使用。
结论幂函数的对称轴和零点是幂函数图像中的重要特征，能够帮助我们理解和分析函数的行为。
通过观察指数n的奇偶性和常数a的正负情况，我们可以判断出对称轴的位置以及零点的个数。
对称轴和零点的位置对幂函数的对称性、奇偶性以及图像的形状都有着重要的影响。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
零点、幂函数、导数
幂函数及其性质1、幂函数的图象（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1） （2）当a>0时，幂函数为单调递增为增函数;a<0时，幂函数为单调递减为减函数。
（3）当a>1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当0<a<1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。
当a<0时，图像为双曲线。
（4）当a 小于0时，a 越小，图形倾斜程度越大。
（5）显然幂函数无界限。
（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。
【例题选讲】例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：220230m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.265.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<< 例3．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．例5、已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3，m 为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。
(数学)基本初等函数-幂函数
基本初等函数——幂函数1．幂函数(1)定义：形如a y x =(a ∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，a 为常数．常见的五类幂函数为y x =，2y x =，3y x =，12y=x ，1y x －=.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当0a >时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当0a <时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：()2f x ax bx c ++=(0a ≠)． ②顶点式：()2()f x a x m n −+=(0a ≠)． ③零点式：()12()()f x a x x x x −−=(0a ≠)． (2)二次函数的图象和性质12y=x题型1 幂函数的图象与性质1.（2020春•沈河区校级月考）设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：1124391416a ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14413b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 3144281327c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且89012716<<<，函数14y x =在(0，+∞)上是单调增函数，所以1144892716⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．2.（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数()()()2231,mm f x a x a m −−=−∈N 为偶函数，且在(0，+∞)上是减函数，则a m += ．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a 的值和m 的范围，再结合偶函数确定m 的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数()()()2231,m m f x a x a m −−=−∈N ，在(0，+∞)上是减函数，∴11a −=，且2230m m −−<， ∴2a =，13m −<<， 又∵m ∈N ，∵0,1,2m =， 又∵幂函数()f x 为偶函数，∵1m =，∵3a m +=， 故答案为：3．3.已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n −=+−∈Z 的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．3−B ．1C ．2D ．1或2【分析】本题考查幂函数的性质，根据幂函数的性质即可求解. 【解析】∵幂函数223()(22)nnf x n n x −=+−在(0，+∞)上是减函数，∴22221,30,n n n n ⎧+−=⎨−<⎩∴1n =，又1n =时，()2f x x －=的图象关于y 轴对称，故1n =.故选B.★幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是()a y x a ∈R =，其中只有一个参数a ，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2 )判断幂函数()a y x a ∈R =的奇偶性时，a 是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数a y x =在(0，+∞)上单调递增，则0a >，若在(0，+∞)上单调递减，则0a <. 题型2 二次函数的解析式1 .（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数()()230f x ax bx a =++≠图象过点()3,0A −，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足()()21g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【分析】（1）根据条件即可得出933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，从而可解出12,55a b =−=，这样即可得出()212355f x x x =−++；（2）可根据题意得出()21221355g x x x +=−++，从而可设21x t +=，解出12t x −=，带入()21221355g x x x +=−++即可得出()2131120104g t t t =−++，t 换上x 即可得出()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，解得1515a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴∴()212355f x x x =−++；（2）由题意得，()21221355g x x x +=−++，设21x t +=，则12t x −=，∴()()()22111311320520104g t t t t t =−−+−+=−++， ∴()2131120104g x x x =−++．2.(一题多解)已知二次函数()f x 满足()21f −=，()11f −－=，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】 法一：(利用一般式)设()()20f x ax bx c a =++≠． 由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=⎪⎪−+=−⎨⎪−⎪=⎪⎩解得447.a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求二次函数的解析式为()2447f x x x −++=. 法二：(利用顶点式)设()2()()0f x a x m n a −+≠=． 因为()(2)1f f −=， 所以抛物线的对称轴为()21122x +−==. 所以1=2m .又根据题意函数有最大值8，所以8n =，所以21()82f x a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.因为f ()(2)1f f −=，所以2128=12a ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，解得4a =−，所以221()=48=4472f x x x x ⎛⎫−−+−++ ⎪⎝⎭.法三：(利用零点式)由已知()10f x +=的两根为12x =，21x =−， 故可设()())1(12f x a x x +=−+， 即()221f x ax ax a =−−−. 又函数有最大值8，即()2421=84a a a a−−.解得4a =−或0a =(舍去)，所以所求函数的解析式为()2447f x x x −++=.3.（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，()04f =，()20f =，()40f =．求这个函数的解析式．【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可． 【解答】解：设()2f x ax bx c =++，∴44201640c a b v a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：124a b c ⎧=⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩，∴∴()21342f x x x =−+． ★求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质1.已知0abc >，则二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )AB【解析】 A 项，因为0a <，02ba−<，所以0b <. 又因为0abc >，所以0c >，而()00f c =<，故A 错． B 项，因为0a <，02ba−>，所以0b >. 又因为0abc >，所以0c <，而()00f c =>，故B 错． C 项，因为0a >，02ba−<，所以0b >.又因为0abc >， 所以0c >，而()00f c =<，故C 错． D 项，因为0a >，02ba−>，所以0b <，因为0abc >，所以0c <，而()00f c =<，故选D.2 .（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( )A ．(],2−∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[)1,+∞【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =−+在闭区间[]0,m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[]1,2． 故选：C ．CD3.（2019秋•吉安期末）函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．13,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】函数2()2(21)3f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−，从而2134a +−≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，函数()()22213f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−， ∴2134a +−≥， 解得132a −≤．∴a 的取值范围是13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦．故选：A ．4.（2019秋•宜昌期末）函数221y x x =−−在闭区间[]0,3上的最大值与最小值的和是( )A ．1−B ．0C ．1D ．2【分析】函数221y x x =−−是一条以1x =为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间[]0,3上y先减后增，所以当1x =时，函数取最小值；当3x =时，函数取最大值，代入计算即可 【解答】解：()222112y x x x =−−=−− ∴当1x =时，函数取最小值2−， 当3x =时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选：B ．5.（2019秋•长春期末）已知函数()()22f x x x a x =++∈R ．（1）若函数()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据函数的值域可知0=△，解出a 即可；（2）利用分离参数法表示出22a x x >−−，求出22x x −−的取值范围即可． 【解答】解：（1）函数()()22f x x x a x =++∈R 的值域为[)0,+∞，∴22410a =−⨯⨯=△， ∴1a =．（2）∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴22a x x >−−对任意的[)1,x ∈+∞成立， 又当[)1,x ∈+∞时，()22max21213x x −−=−−⨯=−，∴3a >−．即所求实数的取值范围是()3,−+∞．★1.识别二次函数图象应学会“三看”★2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．★3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．★4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2 )两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.1.（2020春•本溪月考）已知幂函数()()()22421mm f x m x m −+=−∈R ，在()0,+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c −=，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系是( )看函数选象上的一些特殊点，如函数选象与y 选的交点、与x 选的交点、函数选象的最高点或最低点等看选称选和最选。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
幂函数的概念与计算
幂函数的概念与计算幂函数是数学中常见且重要的一类函数，具有形如f(x) = ax^m的特点。
其中，a是实数，而m是自然数或正整数。
幂函数的特点是自变量x的指数是恒定不变的，而系数a可以是任意实数。
一、幂函数的定义和性质幂函数是由实数到实数的映射，在定义域内具有以下特点：1. 幂函数的定义域是实数集R，即幂函数对任意实数都有定义。
2. 幂函数的值域则取决于指数m的奇偶性。
当m为奇数时，值域为全体实数；当m为偶数时，值域为非负实数。
3. 当指数m为正整数时，幂函数是递增函数；当指数m为负整数时，幂函数是递减函数。
4. 当指数m为正偶数时，幂函数的图像呈现上升的开口向上的形状；当指数m为正奇数时，幂函数的图像呈现上升的开口向下的形状。
5. 幂函数在x轴上有一个零点x=0，其它的零点则取决于指数m的取值。
二、幂函数的计算方法在实际问题中，我们需要具体计算幂函数的值。
根据幂函数的特性，我们可以采用以下方法进行计算：1. 零点计算：对于幂函数f(x) = ax^m，我们可以令f(x) = 0，然后求解方程ax^m = 0，从而得到幂函数的零点。
2. 极值计算：当幂函数为单调函数时，可以通过求解f'(x) = 0来得到极值点。
3. 特殊值计算：根据幂函数的定义和性质，我们可以计算一些特殊值，例如当x=1时，f(x) = a；当x=-1时，f(x) = a(-1)^m。
三、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 功率函数：电路中的功率由电流和电压的乘积决定，而功率函数可以表示为P = U^2/R，其中U表示电压，R表示电阻。
这个功率函数就是一个幂函数，其中指数m为2。
2. 面积与体积计算：许多几何图形的面积和体积可以用幂函数来表示。
例如，正方形的面积函数可以表示为A = s^2，其中s表示正方形的边长；球体的体积函数可以表示为V = (4/3)πr^3，其中r表示球体的半径。
幂函数、函数图像及零点
②对称变换： Ⅰ、函数 y＝f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象__________ 关于 y 轴 对称得到． y轴 y＝f(－x)； y＝f(x)――→ Ⅱ、函数 y＝－f(x)的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象关于 x 轴对称得到． x轴 y＝－f(x)； y＝f(x)――→
Ⅲ、函数 y＝－f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 原点 对称即可得到． 的图象关于______ 原点 y＝－f(－x)； y＝f(x)――→ Ⅳ、函数 y＝f(2a－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 直线 x＝a 对 称 即 可 得 到 ； y ＝ 的 图 象 关 于 ______________ x＝ay＝f(2a－x)． f(x)直线 ――→
方法二：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y － － － ＝e x 的图象，然后右移为 1 个单位得函数 y＝e (x 1)＝e1 －x 的函数图象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不 － 变得到 y＝e1 2x 的图象； 方法三：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y＝ ex＋1 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变 ＋ ＋ 得函数 y＝e1 2x 的图象，最后关于 y 轴对称得函数 y＝e1 2(－x) ＝e1－2x 的图象；
C [解答 ] 函数 xsinx 是偶函数， 因此其图象 只能是第一个， 函数 y＝ xcosx 与 y＝ x|cosx |都为奇 函数，但当 x>0 时，y＝ x|cosx |≥0 恒成立，故函数 只能是第四个，函数 y＝x· 2x 不具有奇偶性，因此 其图象只能是第二个，故选 C.
走进高考
学例1
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、 描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列 表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象， 关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有 单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到 所要的函数图象．
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲 幂函数与二次函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理
高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二 幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．y ＝与y ＝定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )一、幂函数的概念例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案 AD解析 B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1 已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2 函数f (x )＝的大致图像是( )答案 A解析 因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟 比较幂值大小的方法跟踪训练3 比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解 (1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升] (1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案 A解析 由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案 C解析 因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案 B解析 幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案 A解析 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 ∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案 B解析 ∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案 [－5,4]解析 由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案 b <a <c解析 由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解 因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解 (1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案 B解析 y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案 9解析 由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案 1解析 由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。
二次,幂函数,零点与方程
|2x－1|，x＜2， 2、已知函数 f(x)＝ 3 ，x≥2， 若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实 x－1 数根，则实数 a 的取值范围是( )
A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)
解析答案
3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a， b，c，则( A.a<b<c C.b<a<c ) B.a<c<b D.c<a<b
)
1 2.函数 f(x)＝log2x－ 的零点所在的区间为( x
A.(0,1)
C.(2,3)
)
B.(1,2)
D.(3,4)
3、若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取 值范围是( A.(－3，＋∞) ) B.[－3,0] C.(0，＋∞) D.[0,3]
1 2 3 4 5
A.多于4
B.4
C.3
D.2
解析答案
思维升华
思维升华
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结 合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
1、定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x， 则在R上函数f(x)的零点个数为_______________.
解析答案
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4、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝
x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A.多于4
C.3
B.4
幂函数与函数的零点
幂函数与函数的零点一.幂函数1.定义：形如y=x n 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，n 是实数.定义域由n 的不同取值给定.想一想①:(1)下列函数中不是幂函数的是( ).A.y ＝x 2.B.y ＝x.C.y ＝2x.D.y ＝x -1．(2)已知函数f(x)＝x (a-1) . 当a ＝ 时，f(x)为正比例函数；当a ＝ 时，f(x)为反比例函数；当a ＝ 时，f(x)为二次函数.(3)幂函数与指数函数有什么区别？幂函数的图像会出现在第四象限吗？2.幂函数y=x n 在第一象限内的图像特征幂函数y=x n ，当n>0时，图像都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，+∞)上都是增函数；当x>1时，若n>1，则图像在直线y=x 的上方，若0<n<1，则图像在直线y=x 的下方.当0<x<1时， 则相反.当n<0时，图像都过点(1，1)，且在(0，+∞)上都是减函数， 并且都以x 轴、y 轴为其渐近线.如图1.11—1.例1.求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画出其草图. (1). (2). (3)y=x -4.解:讨论幂函数的定义域、奇偶性时，一般将其化成根式形式再结合具体函数进行分析.作图像时，一般先作第一象限的图像，然后根据奇偶性作出其它象限的图像.(1)∵ ,易知此函数是定义域为R 的偶函数，与图1.11—1比较知， 函数在区间(-∞，0]上单减，在[0，+∞)上单增.其图像如图1.11—2(1)所示. (2)∵,易知此函数是定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}的奇函数，与图1.11—1比较知，函数在区间(-∞，0)上单减，在(0，+∞)上单减.其图像如图1.11—2(2)所示. (3)∵y=x - 4=,易知此函数是定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}的偶函数，与图1.11—1比较知，函yy yx1 1 o 0<n<1 n=1 n>1 n<0数y=x-4在区间(-∞，0)上单增，在(0，+∞)上单减.其图像如图1.11—2(3)所示.例2.比较下列各组数中两个值的大小.(1) 0.33______0.43. (2) 0.5-2____ (-0.6)-2. (3) 0.50.2_____0.20.5.解:(1)考查函数y=x3，在(-∞，+ ∞)上函数y=x3单增，而0. 3<0.4，∴ 0.33<0.43.(2)考查函数y=x-2，在(0，+ ∞)上函数y=x-2单减，而(-0.6)-2=0.6-2，0.5<0.6，∴ . 0.5-2>(-0.6)-2.(3)由指数函数y=0.5x的单减性知0.50.2>0.50.5，又由幂函数y=x0.5在[0，+∞)上单增，∴ 0.50.5>0.20.5，故0.50.2>0.20.5.说明：一般地，若要比较两个底数相同、指数不同的数的大小时，可利用对应指数函数的单调性来进行；若要比较两个底数不同、指数相同的数的大小时，可利用对应幂函数的单调性来进行；若要比较两个底数、指数都不同的数的大小时，可引进一个“以其中一个数的底数为底数，另一个数的指数为指数”的中介值，再利用不等式的传递性来比较大小.例3.已知幂函数f(x)=(m)的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称.求n的值.解: 由已知，函数的图像与两坐标轴都无公共点，∴m2-2m-3≤0，解得-1≤m≤3. 又∴n为整数，且f(x)为偶函数，所以n= -1、1、3.例4.若，求实数a的取值范围.解：∵函数y=在(-∞，0)及(0，+∞)都是减函数知：(1)无解. (2).∴实数a的取值范围为，上述解答有问题吗？若有，错在哪里？剖析：∵函数y=在(-∞，0)及(0，+∞)都是减函数，满足条件的a应有三种情形：(1)无解. (2).(3)，，∴实数a的取值范围为a<或a<-1.说明：一般地，若函数y=f(x)是在x=0处无意义的奇函数，在(-，0)及(0，+)都是减函数，或在(-，0)及(0，+)都是增函数，求相应参数的取值范围时，都应分三种情形讨论，不可或缺.想一想②：1.下列命题中正确的是().A.当n＝0时，函数y＝x n的图像是一条直线.B.幂函数的图像都经过(0，0)，(1，1)两点.C.若幂函数y＝x a的图像关于原点对称，则y＝x a在定义域内y随x的增大而增大.D.幂函数的图像不可能在第四象限．2.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2，8)，求这个函数的解析式.3.幂函数y=(m2-m-1)当时为减函数，求实数m的值.二.函数的零点1.零点存在性定理及应用如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，且满足f(a)f(b)< 0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.想一想③：1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ).A.若f(a)·f(b)>0，函数在区间(a，b)内没有零点.B.若f(a)·f(b)<0，函数在区间(a，b)内有且只有一个零点.C.若f(a)·f(b)>0，函数在区间(a，b)内有可能存在零点.D.若f(a)·f(b)<0，函数在区间(a，b)内有可能不存在零点.2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的单调曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a，b)内有( )个零点.3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且函数在区间(a，b)内有零点，则一定有f(a)·f(b)<0 成立吗？例5.(1)若当|x|<1时，函数f(x)=ax+2a+1(a)存在零点，求实数a的取值范围.(2)若函数y=f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过，则f(x)可以是( ).A.f(x)=4x-1.B.f(x)=(x-1)2.C.f(x)=e x-1.D.f(x)=ln(x-0.5).(3)若函数f(x)=log a x+x-b当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n+1)，n∈N+.则n= ．解:(1)∵ 一次函数f(x)=ax+2a+1(a )在区间(-1，1) f(-1)·f(1)<0，解得a ∈(-1，-). (2)∵ 函数g(x)=4x +2x -2的零点即为函数y=4x 与y=2-2x 的图像交点的横坐标.而答案A 的零点为0.25，答案B 的零点为1，答案C 的零点为0，答案D 的零点为1.5. 结合图1.11—3知，g(x)的零点在(0，1)内.这样一来，只能排除D.为此我们取区间(0，1)的中间值.由于g(0)= -1<0，g()=1>0，g(1)=4>0，∴ g(x)的零点在(0，)内，则易知选择支A 满足条件.(3)函数f(x)=log a x+x -b 的零点即为函数y=log a x 与函数y=b -x图像交点的横坐标. 由于y=log a x 的底数2<a<3，而3<b<4，∴ 它们的大致图像如图1.11—4所示.由此可知函数f(x)的零点介于(1，3)间.又∵ f(1)=1-b<0，f(2)=2+log a 2-b<0，f(3)=3+ log a 3-b>0，∴f(x)的零点在(2，3)内，故n=2.想一想④：1.函数f(x)=lnx -2x -1的零点所在的大致区间是( ).A.(1，2).B.(2，3).C.(1，e -1)和(3，4).D.(e ，+).2.设函数f(x)=，则y=f(x) ( ). A.在区间()，(1，e)内均有零点. B.在区间()，(1，e)内均无零点. C.在内间()有零点，在 (1，e)内无零点. D.在()内无零点，在(1，e)内有零点.2.与二分法有关的问题(1)二分法求函数零点近似值的步骤①确定区间[a ，b]，验证f(a)f(b)<0.②求区间(a ，b)的中点. ③计算. [1]若 =0，则是零点；[2]若f(a)< 0，则零点在区间(a ， ) 内；[3]若f(b)<0，则零点在区间(，b)内. ④判断是否达到精确度：若|a -b|<，则得到零点的近似解a 或b(也可以是区间(a ，b)内的任意值).否则重复上述②④步.(2)精确度与等分区间次数n 间的关系n 次等分区间[a ，b]后，区间的长度变为，令x yo 图1.11—3 1 2x yo 1 3 4 2 . . .例6.(1)用二分法求f(x)=0的近似解，f(1)= -2，f(1.5)=0.625，f(1.25)= -0.984，f(1.375)= -0.260.下一个求f(m)，则m= .(2)在区间[-2，2]上求函数y=f(x)的零点，若要保证精确度0.01，需要将区间[-2，2]进行多少次二等分？解:(1)如图1.11—5.在数轴上标出各点的函数值的符号，由零点存在定理知，下一个零点应取1.375与1.5的中点1.4375，即m=1.4375.(2)令n=log 2，所以需将区间[-2，2]进行9次二等分.例7.(1)已知函数.若关于x 的方程f(x 2+2x)=a 有六个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( ).A.(2，8].B.(2，9].C.(8，9].D.(8，9).(2)已知a ，b ，c ，d ∈R 且b≠0.函数f(x)=bx 2+cx+d ，g(x)=ax 3+bx 2+cx+d ．方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g[f(x)]=0的根；反之，g[f(x)]=0的实 数根都是f(x)=0的根．①求d 的值；②若a=0，求c 的取值范围. 解:(1)令x 2+2x=t ，t ∈[-1，+∞).画出函数y=f(t)的图像.欲要关于x的方程f(x 2+2x)=a 有六个不相等的实根，则必须直线y=a 与 y=f(t)的图像有三个不同的交点,∴ a ∈(2，9]且方程x 2+2x=t要有两个不同的实数根.由于t ∈(-1，+∞)，∴ 函数y=f(t)的图像只能取t>-1的那部分，这样一来a>8.故应选C. 如图1.11—6. (2)①令f(x)=t ，∵ 方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g[f(x)]=0的根；反之，g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根．∴ t=0是方程ax 3+bx 2+cx+d=0的一个根，从而可得d=0. ②由①知d=0，又∵ a=0，∴ f(x)=bx 2+cx=g(x). ∵ x=0或x= -是方程f(x)=0的两根， ∴ 方程 g[f(x)]=0，即b(bx 2+cx)2+c(bx 2+cx)=0，亦即(bx 2+cx)(b 2x 2+bcx+c)=0的根只能是x=0或x= -.因此方程b 2x 2+bcx+c=0无实根或与x=0，x= -相同.∴ .而当方程b 2x 2+bcx+c=0的根是x=0或x= -时，均可得c=0. 故c ∈[0，4)为所求.说明：此例的两个问题其实都可以看成是换元法解方程.例8.(1)函数f(x)=lg|x|—sin2x 的零点有( )个.1 . . 1.5 + . 1.25 - . 1.375 - - x图1.11—5 t f(t) o 图1.11—6 1 9 2 .8(2)已知符号函数则函数f(x)=sgn(lnx)-|lnx|的零点个数为( ).A.1.B.2.C.3.D.4.(3)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-kx+k=0有两个零点，则k的取值范围是( ).A.(-1，].B.[，0).C.[-1，+∞).D. [，+∞). 解:(1)在同一直角坐标系中同时作出函数y=lg|x|和y=sin2x 的图像，如图1.11—7.注意到当x=±10时，y=lg|x|的值为1.由图像易知有12个零点.(2)由已知sgn(lnx)=在同一直角坐标系中作出函数y=|lnx|及y= sgn(lnx)的图像，易知它们有两个不同的交点.故应选B. (3)∵ 函数f(x)= 其图像可看成是将函数y=的图像向右平移一个长度单位 后再向下平移一个长度单位得到，如图1.11—8所示.而函数y=kx -k=k(x -1)的图像可看成是绕着点(1，0)转动的直线.由已知，函数F(x)=f(x)-kx+k=0有两个零点，即函数y=f(x)与函数y=k(x -1)有两个不同的交点.结合图1.11—8易知k AB = .应选B.想一想⑤：1.若函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x)，若其有七个零点，则所有零点的和为( ). 若其有10个零点，则所有零点的和为( ).若有n 个零点呢？2.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ).A.[-4，-2].B.[-2，0].C.[0，2].D.[2，4].3.若函数y=f(x)x ∈R 满足f(x -2)=f(x)，且x ∈[-1，1]时，f(x)=|x|.则函数y=f(x)图像与函数y=log 4|x|图像交点的个数为( ).A.3.B.4.C.6.D.8.4.函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为( ).π π3 π- π3- x 0 1 y 图1.11—7 xyo 图1.11—8 1 A(-1,1)B(1,0)A.1.B.2.C.3.D.4.【幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢问题】当幂函数的指数n>1,指数和对数函数的底数都有a>1时，这三个函数在(0,+∞)上，都是增函数.当自变量x 足够大时，幂、指、对函数的增长速度的大小排序为：指数函数>幂函数>对数函数.例9.函数的图像如图1.11—9所示，大致应为( ).解:在同一直角坐标系中同时作出函数y=2x 和y=x 2的图像，由于当x 足够大时，y=2x 的图像在y=x 2的图像的上方，故y=2x 与y=x 2的图像应有三个不同的交点，即函数有三个不同的零点，且在最小零点的左侧，y=2x 的图像在y=x 2的图像的下方，所以D 不正确.故应选A.习题1.111.已知幂函数f(x)=在区间[0，+∞)上单增，解不等式f(x 2-x)>f(x+3).2.函数f(x)=2x -2x -1-a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围 .3.0.70.8与0.80.7的大小关系为 .4.已知函数f(x)=a x +x -b 的零点x 0(n ，n+1)，其中常数a ，b 满足2a =3，3b =2，则n=( ).A.-1.B.-2.C.1.D.2.5.函数f(x)=e x-1+4x -4的零点所在区间为( ).A.(-1，0).B.(0，1).C.(1，2).D.(2，3).6.若y=f(x)的最小值为1，则y=f(x)-1的零点个数为( ).A.0.B.1.C. 0或l.D.不确定.7.方程|x 2-2|=lgx 的实数根的个数是( ).A.1.B.2.C.3.D.无数个.8.定义域和值域均为[-a ，a](a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图1.11—10.现有如下命题：(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个根； (2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个根； (3)方程g[g(x)]=0有且仅有一个根； (4)方程f[f(x)]=0有且仅有九个根. 其中正确的命题是( ).A.(1)(2).B.(2)(3).C.(1)(3).D.(3)(4). 9.用二分法求方程x 3-2x -5=0在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得f(2)= -1，f(3)=16，f(2.5)=5.625，那么下一个有根区间为 .10.函数f(x)=|lgx|—sin4x 的零点有 个.11.已知函数f(x)=若a ，b ，c 均不相等且f(a)= f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是( ).x y o a a-a -a y=f(x) x y o a a -a-a y=g(x) 图1.11—10图1.11—9A.(1，10).B.(5，6).C.(10，12).D.(20，24).12.已知以T=4为周期的函数其中m ＞0，若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为( ). A. B. . C.. D.. 13.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}=定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x -4)=f(x)，且当0时，f(x)=min{2x -1，2-x}.若方程f(x)-mx=0恰有4个零点，则m 的取值范围是( ).A.(-).B. (-).C. ().D. (-) 14.已知函数f(x) =其中[x]表示不超过x 的最大整数，若方程f(x)=k(x+1) (k>0)有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .参考答案：想一想①:(1)C. (2) a ＝2； a ＝0； a ＝3.(3)指数函数的自变量在指数位置；幂函数的自变量在底数位置. 幂函数图像不会出现在第四象限.想一想②：1.D.2.f(x)=x3. 3.m=2. 想一想③：1.C.2.1.3.不一定有f(a)·f(b)<0 成立.如图D1.11—1.所示. 想一想④：1.B.2.D.想一想⑤： 1.21；30；3n. 2.A. 3.C. 4.B.可看成为函数y=|log 0.5x|与函数y=0.5x 图像交点的个数. 习题1.111.由已知可推得y=x n ，n 为正奇数，∴y=f(x)在R 上为增函数,从而求得.2.(0，3).3. 0.70.8<0.80.7.4.A.5.B.6.D.7.B.8.C.令g(x)=t ，由于f(t)=0在[-a ，a]上有三个不同的实根，且对于每一个t 的值，g(x)=t 都有唯一的根，故(1)正确.令f(x)=u ，g(u)=0有一根，结合图像1.12—10知，再解方程f(x)=u 时，对应的y=f(x)与直线y=u 只有一个交点，即方程g[f(x)]=0有且仅有1个根， 故(2)不正确.与(2)类似的理由，知(3)正确，(4)不正确.9.(2，2.25).10.12.在同一直角坐标系中作出函数y=|lgx|和y=sin4x 的图像，注意到当x =±10时，|lgx|=1.11.作出函数f(x)的图像，由已知函数y=f(x)的图像与直线y=m 有三个不同的交点，不妨设xya b oa<b<c.则易知ab=1.结合图形可得10<c<12，即10<abc<12.选C.12.C.考查函数y=f(x)和函数y=的图像交点的情形.如图1.11—2.13.D.考查函数y=f(x)和函数y=mx的图像交点的情形.14.. f(x)=结合图像易知.x y1 2 3 4 5 6 7 8o图1.11—2。
幂函数与函数的零点
一、 幂函数*综合得：若a x y a =>,0在),0(+∞上是增函数；若0<a ，ax y =在),0(+∞上是减函数.1.给出下列函数：①;13xy =②;13-=x y ③24x x y +=；④32xy =.其中是幂函数的有____________个。
2当),0(+∞∈x 时，幂函数352)1(----=m x m m y 为增函数，则实数m 的值为____________。
3若)1,0(∈x ，则x x xlg ,,221的大小顺序为____________。
4函数32x y =的单调减区间是____________。
5设,R k ∈函数,,)()(),0(),0(1)(R x kx z x f x F x e x x x f x ∈+=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=当k=1时，)(x F 的值域为___________。
6已知函数),3()12(,)(21x f x f x x f <-=且则x 的取值范围是___________。
性质 函数xy =2xy =3xy =21xy =1-=xy定义域 ),(+∞-∞ ),(+∞-∞),(+∞-∞ ),0[+∞),0()0,(+∞⋃-∞值域 ),(+∞-∞),0[+∞),(+∞-∞),0[+∞),0()0,(+∞⋃-∞奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇 单调性 增减（]0,∞-，),0[+∞增增增)0,(-∞ 减 ),0(+∞ 减 定点)1,1(),0,0()1,1(7已知函数)()(22123Z k xx f kk ∈=-+.⑴若)(x f 为偶函数，且在),0(+∞上是增函数，求)(x f 得解析式； ⑵若)(x f 在),0(+∞上是减函数，求k 的取值范围。
8比较下列各题中两个值的大小.⑴7.08.03,3; ⑵3323.0,21.0; ⑶535252)4.1(,8.3,1.4--; ⑷3.05.04.0,2.09已知函数)()(22Z k xx f k k ∈=++-满足)3()2(f f <.⑴求k 的值并求出相应的)(x f 的解析式；⑵对于⑴中得到的函数)(x f ，试判断是否存在q,使函数x q x qf x g )12()(1)(-+-=在区间[-1,2]上的值域为[-4,817].若存在，求出q ；若不存在，说明理由。
幂函数_教学课件
+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3， －1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3， －1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
答案：B
3．(课本习题改编)设 α∈－1，1，－12，12，3，则使 y＝xα 的定义
域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
+ 解析：由α的取值知α＝1,3时，x∈R，且 为奇函数，故选A.
+ 答案：A
+ 4．(2013年淮南模拟)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－m＋1为减 函数，则实数m＝________.
Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
1．(课本习题改编)下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝(x＋2)2
D．y＝3 x2
+ 解析：由幂函数的定义可知D正确．
+ 答案：D
高中之数学秘笈之幂函数与函数零点问题
谦姐套路秘笈之指数函数套路一：幂函数（系数为1，指数大于0则单调递增，指数为偶则偶函数）1．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α= ．2．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，且关于原点对称，则m= ．3．若对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（4）+g（4）= ．4．以下命题正确的是（ ）①幂函数的图象都经过（0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n=0时，函数y=x n的图象是两条射线④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内为减函数．A．①②B．②④C．②③D．①③5．有下列五种说法：给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，3]；④定义在R上的函数y=f（x）对任意两个不等实数a、b，总有＞0成立，则y=f（x）在R 上是增函数；⑤f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；正确的说法有 ．6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为 ．7．已知幂函数f（x）=mx n的图象过点（，2），设a=f（m），b=f（n），c=f（ln2），则（ ）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c8．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（ ）A．B．C．D．套路二：函数零点之介值定理（端点函数值乘积异号，从BC项开始代入）1．函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（ ）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）2．方程log3x+x﹣3=0的实数根所在的区间是（ ）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）套路三：函数零点之图象法（将熟悉的函数分到=两侧，求两函数交点） 1．（基础）已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，则a的取值范围为（ ）A．[0，1）B．（0，1）C．[）D．（]2．（基础）若函数有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）3．（基础）函数在定义域内的零点个数为（ ）A．0B．1C．2D．34．（稍难）已知f（x）=，g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（ ）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）5．（稍难）已知函数f（x）的定义域为R，，对于任意的x∈R都有f（x+3）=f（x﹣1），若在区间[﹣5，3]内函数g （x）=f（x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．（经典）已知函数f（x）=，a，b，c非负且互不相等，若f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）A．[2，2018]B．（2，2018）C．（3，2019）D．（2，2019）套路四：函数零点之分类讨论1．（稍难，了解取整函数）已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a在（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣4）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）2．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（ ）A．a=﹣或a=1B．a＞1或a=0C．a＞1D．a=﹣参考答案套路一：幂函数（系数为1，指数大于0则单调递增，指数为偶则偶函数）1．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α= 0 ．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．2．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，且关于原点对称，则m= 2 ．【解答】解：∵幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，则m2﹣2m﹣3≤0，解得：m∈[﹣1，3]，又由m∈N*∴m∈{1，2，3}，当m=1时，f（x）=x﹣4，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，当m=2时，f（x）=x﹣3，函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，当m=3时，f（x）=x0，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故m=2，故答案为：23．若对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（4）+g（4）= 24 ．【解答】解：设f（x）=log a x，g（x）=xα，∵对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），∴f（2）=log a2=4．g（2）=2α=4，∴f（4）=log a4=2log a2=2×4=8．g（4）=4α=（2α）2=42=16，∴f（4）+g（4）=8+16=24．故答案为：24．4．以下命题正确的是（ ）①幂函数的图象都经过（0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n=0时，函数y=x n的图象是两条射线④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内为减函数．A．①②B．②④C．②③D．①③【解答】解：①幂函数的图象都经过（0，0），错误，比如y=；②∵当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；③当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线，但是去掉（0，1），因此正确；④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内不具有单调性，例如：y=，不正确．故选：C．5．有下列五种说法：给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，3]；④定义在R上的函数y=f（x）对任意两个不等实数a、b，总有＞0成立，则y=f（x）在R 上是增函数；⑤f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；正确的说法有 ①④ ．【解答】解：对于①，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，①正确；对于②，奇函数的图象不一定过坐标原点，如f（x）=（x≠0）的图象，∴②错误；对于③，函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，∴x∈[1，2]，∴x+1∈[2，3]；令2x∈[2，3]，∴x∈[1，]，∴函数y=f（2x）的定义域为[1，]，③错误；对于④，根据题意知，a＞b时，f（a）＞f（b），a＜b时，f（a）＜f（b），由单调性的定义知，y=f（x）在R上是增函数，④正确；对于⑤，（﹣∞，0）和（0，+∞）是f（x）=的两个单调减区间，不能用并集表示，⑤错误；综上，正确的说法是①④．故答案为：①④．6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为 （﹣1，4） ．【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（2x﹣3）＜f（5）则|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，解得：x∈（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．7．已知幂函数f（x）=mx n的图象过点（，2），设a=f（m），b=f（n），c=f（ln2），则（ ）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：∵函数f（x）=mx n为幂函数，故m=1，，2），由函数f（x）=mx n 的图象过点（故，解得：n=3，故函数f（x）=x3，则函数为增函数，∵n＞m＞ln2，故c＜a＜b，故选：B．8．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（ ）A．B．C．D．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．套路二：函数零点之介值定理（端点函数值乘积异号，从BC项开始代入）1．函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（ ）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=+ln在定义域内单调递减，故该函数至多有一个零点．因为f（1）=1＞0，f（2）=+ln=ln（），∵，∴f （2）＜0，故f（1）f（2）＜0．故零点所在的大致区间为（1，2）．故选：A．2．方程log3x+x﹣3=0的实数根所在的区间是（ ）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：方程log3x+x﹣3=0的根就是y=log3x+x﹣3的零点，函数是连续函数，是增函数，可得f（2）=log32+2﹣3=log32﹣1＜0，f（3）=1+3﹣3＞0，所以f（2）f（3）＜0，方程根在（2，3）．故选：B．套路三：函数零点之图象法（将熟悉的函数分到=两侧，求两函数交点） 1．已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，则a的取值范围为（ ）A．[0，1）B．（0，1）C．[）D．（]【解答】解：g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，即为f（x）=a有三个不等实根，作出y=f（x）的图象，可得当＜a≤1时，f（x）的图象与y=a有三个交点，故选：D．2．若函数有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）【解答】解：根据题意，函数有两个零点，即方程=0有2个正根，即一元二次方程x2+tx+9=0有2个正根，则有，解可得t＜﹣6，即实数t的取值范围是（﹣∞，﹣6）；故选：D．3．函数在定义域内的零点个数为（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数在定义域{x|x＞﹣1且x≠0}内的零点个数，即为f（x）=0，即y=ln（x+1）和y=的图象交点个数，作出y=ln（x+1）和y=的图象，可得有两个交点，故选：C．4．已知f（x）=，g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（ ）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，可得g（x）=0，即f（x）=﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y=f（x）和直线y=﹣x﹣m有两个交点，作出y=f（x）的图象和直线y=﹣x﹣m，当﹣m≤1，即m≥﹣1时，y=f（x）和y=﹣x﹣m有两个交点，故选：A．5．已知函数f（x）的定义域为R，，对于任意的x∈R都有f（x+3）=f（x﹣1），若在区间[﹣5，3]内函数g（x）=f （x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x+3）=f（x﹣1），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则y=f（x）和y=m（x﹣2）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：由A（﹣1，），M（2，0），B（﹣5，），k AM=﹣，k BM=﹣，结合图象得：m∈[﹣，﹣），故选：A．6．已知函数f（x）=，a，b，c非负且互不相等，若f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）A．[2，2018]B．（2，2018）C．（3，2019）D．（2，2019）【解答】解：当0≤x≤1时，函数f（x）=﹣4x2+4x=﹣4（x﹣）2+1，函数的对称轴为x=，当x=1时，由log2018x=1，解得x=2018．若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜，＜b＜1，1＜c＜2018，且=，即a+b=1，所以a+b+c=1+c，因为1＜c＜2018，所以2＜1+c＜2019，即2＜a+b+c＜2019，所以a+b+c的取值范围是（2，2019）．故选：D．套路四：函数零点之分类讨论1．已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a在（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣4）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：由[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a（a≠0）在（0，2）上仅有一个零点，由x∈（0，2），讨论[x]=0，即0＜x＜1，可得x2+a[x]x﹣a=x2﹣a，由f（x）=0可得a=x2，求得a∈（0，1）；若[x]=1，即1≤x＜2，x=1时，方程无解，x∈（1，2）时，可得x2+a[x]x﹣a=x2+ax﹣a，a===∈（﹣∞，﹣4），则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，1）．故选：C．2．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（ ）A．a=﹣或a=1B．a＞1或a=0C．a＞1D．a=﹣【解答】解：若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个根，若a=0，则方程2ax2﹣x﹣1=0可化为：﹣x﹣1=0方程的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△=1+8a＞0，且c=﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a•02﹣0﹣1）（2a•12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故实数a的取值范围是（1，+∞），故选：C．。
幂函数课件
幂函数的图像
图像的形状
幂函数的图像通常为曲线 ，其形状取决于指数n的取 值。
图像的变化趋势
当n大于0时，幂函数的图 像向上倾斜；当n小于0时 ，幂函数的图像向下倾斜 。
图像与y轴的关系
幂函数的图像永远不过第 三象限，且与y轴无限接近 。
03 幂函数的运算
幂函数的加减乘除运算
幂函数加法运算
设$f(x) = x^{a}$和$g(x) = x^{b}$，则 $f(x) + g(x) = x^{a} + x^{b}$。
重要意义。
课程目标
掌握幂函数的定义、 性质和图像表示方法 。
培养学生的数学思维 能力和创新意识。
能够熟练地运用幂函 数解决实际问题。
课程大纲介绍
第一部分：幂函数的基本概念 幂函数的定义与性质
幂函数的图像表示方法
课程大纲介绍
第二部分：幂函数的性质与图像分析 幂函数的单调性、奇偶性和周期性
幂函数的极值和最值
、工程学、经济学等。
学生常见问题解答
幂函数的定义理解不深刻
对于一些复杂的幂函数表达式，学生 往往无法准确地识别出其中的幂函数 。
幂函数的性质运用不灵活
虽然学生能够记住幂函数的性质，但 是在实际运用中却往往出现困难。
幂函数的图象绘制不准确
由于描点法绘制图象的精度要求较高 ，学生往往无法准确地绘制出幂函数 的图象。
幂函数的复合运算
幂函数复合运算定义
设$f(x) = x^{a}$，$g(x) = x^{b}$ ，$h(x) = x^{c}$，若$f(g(h(x)))$， 则称该表达式为幂函数的复合运算。
幂函数复合运算的求解
按照函数的运算顺序，先计算内层函 数，再计算外层函数。
2023届高考数学一轮复习讲义：第10讲 幂函数与二次函数
第10讲 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)定义形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ ； ②顶点式：f (x )＝ ； ③零点式：f (x )＝ ． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减奇偶性当时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m nf x x(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（）A．m，n是奇数，且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且mn>1C．m是偶数，n是奇数，且mn<1D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣63．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<[举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2]4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()()11202g x h x h x x ⎫⎡⎫=-∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+C ．()236f x x x =- D ．()224f x x x =-2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+D ．2221x x +-3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________.➢考点3 二次函数的图象与性质[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.[举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（） A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤44．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ） A ．(1)(4)(2)f f f << B ．(4)(1)(2)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f <<5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥. (1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围第10讲 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴(简记为“指大图高”)． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()mmf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．(0,2) B ．[0,1) C ．[1,2) D ．(1,2]【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2，结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x ='切线方程为0)y x x =-，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x =-，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +===-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）.7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______． 【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或m nα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t ，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+．[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+C ．()236f x x x =- D ．()224f x x x =-【答案】A 【解析】 对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a-=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+ D ．2221x x +-【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦， 从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质[名师点睛]二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+．由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩，若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得00ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤ B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤-【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1].[举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为 ()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（） A ．k ≤-8 B ．k ≥4 C ．k ≤-8或k ≥4 D ．-8≤k ≤4【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则 24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ） A ．(1)(4)(2)f f f << B ．(4)(1)(2)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f << D ．(2)(4)(1)f f f <<【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<， 又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<.故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤， 结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-. 故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____. 【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1xk ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥. (1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
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幂函数、函数与方程一、要点回顾： 1.幂函数的定义：要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五 个常用幂函数的图象.并画出图象。
2.观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. （3）幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .3.方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
4.零点定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ）,使得0)(=c f ，这个c 也就是 方程0)(=x f 的根 。
函数模型：几类函数模型及其增长差异（1）几类函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 ()(,,0)f x ax b a b a =+≠为常数 二次函数模型 2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++≠为常数 指数函数模型 ()(,,01)x f x ba c a b c a a =+>≠为常数，且 对数函数模型 ()log (,,,01)a f x b x c a b c a a =+>≠为常数且 幂函数模型()(,0)n f x ax b a b a =+≠为常数，2、解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.。
二、例题分析：例1、已知函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．练习：若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．y ()C ︒t ()分5O例2、（1）方程lg 3x x +=的解所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,)+∞（2）、已知函数()()()40,40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点是 例3、若函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；练习：设函数3x y =与221-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的图像交点为()00y ,x ，则0x 所在的区间是（ ）A ．()10, B. ()21, C ．()32, D. ()43,例3、某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/210kg )与上市时间t (单位：天)的数据如右表：（1）根椐上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关：①Q at b =+；②2Q at bt c =++；③t Q a b =⋅；④log b Q a t =⋅。
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。
练习：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况 由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法：① 前5分钟温度增加的速度越来越快；② 前5分钟温度增加的速度越来越慢；③ 5分钟以后温度保持匀速增加；④ 5分钟以后温度保持不变。
其中正确的说法是_________。
作业：1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是（ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-142．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C.116D. 123．函数621)(-+=x xx f 的零点一定位于区间（ ） A 、（3,4） B 、（2,3） C 、（1,2） D 、（5,6） 4．函数xx x f 2)(2-=的零点个数是（ ）Ａ、3个 Ｂ、2个 Ｃ、1个 Ｄ、0个5．某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下列图中，y 表示离校的距离，x 表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（ ）6．今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01）A ．2log v t =B ．12log v t = C ．212t v -=D ．22v t =- 7．若幂函数y x α=在第一象限内的图象如图所示，则α的取值可能为 ( )A ．－1B ．2C ．3 D. 128．设T 1＝()2312，T 2＝()2315，T 3＝()1312，则下列关系式正确的是 ( ) A ．T 1<T 2<T 3 B ．T 3<T 1<T 2 C ．T 2<T 3<T 1 D ．T 2<T 1<T 39．幂函数 a b c dy x y x y x y x ====，，， 在第一象限的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a>b>c>dB ．d>b>c>aC ．d>c>b>aD ．b>c>d>a 10．设函数31()()22xf x x =--零点为0,x 则0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)11．函数2()log 21f x x x =+-的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)12．函数()2-+=x e x f x的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,113．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）AxyOBxyOCxyODxyO7题A ．4B ．3C ．2D ．114．设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1315．已知对于任意实数x ，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为___． 16．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题： ①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. ①③④17．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程()(f x m m =>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= -818．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_____19．直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。
20．(2012·天津)已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是____．21．已知函数()f x ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m 的取值范围是___．22．定义在R 上的偶函数()y f x =在(],0-∞上递增，函数()f x 的一个零点为1,2-求满足19(log )f x )≥0的x 的取值集合． 23．已知函数2()m f x x x =-且7(4)2f =-．(1)求m 的值；(2)求()f x 的单调区间． 24．已知二次函数t x t x x f 21)12()(2-+-+=，（1）求证：对任意R t ∈，方程1)(=x f 必有实数根；（2）若4321<<t ，求证：方程0)(=x f 在区间（-1,0）及（0，21）上各有一个实根；25．某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？。