复数的几何意义课件(公开课)
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复数的几何意义课件
量子力学波函数描述及演化
波函数描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状 态的数学函数，可以用复数表示。波 函数的模平方表示粒子在空间中的概 率分布，波函数的相位表示粒子的动 量等信息。
波函数演化
波函数随时间演化遵循薛定谔方程， 该方程是一个复数微分方程。通过求 解薛定谔方程，可以得到波函数随时 间的演化规律，进而预测粒子的行为 。
复数与矩阵的关系
复数在其他领域的应用
阐述复数与矩阵之间的联系，如矩阵的特 征值、特征向量与复数的关系等。
简要介绍复数在信号处理、量子力学、流 体力学等领域中的应用。
06
课后作业布置及下一讲 预告
课后作业布置
练习题
要求学生完成教材上与复 数几何意义相关的练习题 ，以巩固所学知识。
思考题
布置几道与复数几何意义 相关的思考题，要求学生 进行深入思考，加深对知 识点的理解。
04
典型例题解析及互动环 节
例题一：利用几何意义求解方程根
复数平面上的点表示
将复数表示为平面上的点，便于直观理解复数运算的几何意义。
复数方程根的几何意义
通过复数平面上的点的运算，求解复数方程的根，并理解其几何意 义。
根的分布与稳定性
分析复数根在平面上的分布规律，探讨系统稳定性与根位置的关系 。
例题二：电路分析问题中阻抗匹配
。
Hale Waihona Puke 乘法运算设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，则 z1×z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i
。
除法运算
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i且z2≠0，则 z1÷z2=((a1a2+b1b2)/(a
复数的几何意义课件
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
数学312《复数的几何意义》优质课课件
在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
2024版复数的几何意义课件公开课
复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
复数的几何意义 课件
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线y＝x上， 则实数m的值为__________.
【解析】1.选B. z＝ 3＋i2＝ 3－1R， ∴z对应的点在实轴上，故选B. 2.选D.∵ < 2<π，∴sin2>0，cos2<0.
2
故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限.故选D.
3.复数z在复平面上对应的点为(m－3,2 m)， ∴m－3＝2 m，即m－2 －m 3＝0. 解得m＝9.
Байду номын сангаас答案：9
【归纳】复数对应的点在曲线上的判断步骤. 提示：复数对应的点在曲线上的判断有三步：(1)确定复数的 实部和虚部；(2)写出复数对应的点；(3)将坐标代入曲线方程， 若满足方程，在曲线上；否则，不在曲线上.
2.复数的几何意义z=a+bi(a，b∈R) (1)复数z=a+bi在复平面内所对应的点是Z(a,b)，而不是 Z(a,bi); (2)复数集的复数z =a+bi与复平面内的向量 OZ 一一对应 (向量起点必须是原点).
3.复数的模 复数的模是一个非负实数，它的几何意义是复平面内复数所对 应的点到原点的距离.
即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆 心，以3为半径的圆. 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆 2.(1)复数z的模等于4，就是说，向量 OZ 的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的 集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.
(2)不等式2<|z|<4可化为不等式组
z z
＜4,
＞不2. 等式|z|<4的解集是
人教A版7.1.2复数的几何意义课件(18张)
4. 复数相等
a bi c di a c,b d a bi 0 a b 0
思考:实数的几何意义是什么？
在几何上，我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
数轴上的点 (形)
思考：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
一个复数由什么唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R)
m6 m2
0 0
得m 32 或m
m
2 பைடு நூலகம்
1
所以m(3, 2) (1, 2)
（2(m）2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴ m=1或m=-2
课堂练习
1.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1
B. 2 C. 3 D．2
2.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
实部! 虚部! 一个复数由它的实部和 虚部唯一确定
1. 复平面定义
y
b
虚轴
O
Z:a＋bi Z(a,b)
ax
实 轴
判断：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（✕ ）
注：实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
课堂练习
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).
原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上 OZ与相等
的向量有无数个.
复数与复平面内向量的关系
【例 1】 向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复数是－5＋4i，则
O→Z1＋O→Z2对应的复数是( ) A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
复数的几何意义(优秀经典公开课课件)
[母题变式] 1．在例 3(2)中，B→A对应的复数是 z，则 z ＝________. 解析 由例 3(2)的解析可知B→A对应的复数是 5－5i，即 z＝5－5i， 所以－z ＝5＋5i.
答案 5＋5i
2．在例 3(2)中，若点 A 关于实轴的对称点为点 C，则向量O→C对应的复数为 ________．
A．a＝0 或 a＝2
B．a＝0
C．a≠1 且 a≠2
D．a≠1 或 a≠2
解析 ∵复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0， ∴a＝0 或 a＝2.
答案 A
4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝____________. 解析 |z|＝ －12＋22＝ 5. 答案 5
题型二 复数模的几何意义 [例 2] 设 z∈C，在复平面内对应点 Z，试说明满足下列条件的点 Z 的集合 是什么图形． (1)|z|＝3；(2)1≤|z|≤2. [解析] (1) |z|＝3 说明向量O→Z的长度等于 3，即复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 3，这样的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，3 为半径的圆．
(2)若 z 对应的点在第三象限，则有
a2－1<0， 2a－1<0，
解得－1<a<21.
故 a 的取值范围是－1，21.
[规律方法] 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都 对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可 根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
B．－5－5i
C．5＋5i
D．5－5i
[解析] (1)由复数的几何意义， 可得O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5,4)， 所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以O→Z1＋O→Z2对应的复数为 0.
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
7.1.2 复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义
高中数学新教材《7.1.2复数的几何意义》公开课课件(经典、好用)
（4）-3-i
（5）5
（6）-3i
2.已知复数 2+i，-2+4i，-2i，4 （1）在复平面内画出这些复数对应的向量； （2）求这些复数的模.
练习答案(教科书73页练习2，3）
1.（1）（2，5） 2-5i . （2）（-3，2）-3-2i .
（3）（2，-4）2+4i . （4）（-3，-1）-3+i .
点Z3（ 3 ，- 2），点Z4（-2,1）.
Z4
Z1 Z2
由 z = a b i = a2 b2
z1 z2 z3 z4 5 .
-
O
x
- Z3
由圆的定义知，这4个点在同一个圆上.
例题4：复数z1=a+3i，z2=-2+(b-3)i. 根据下列情况，求a，b的值. （1）z1= z2 （2）z1与z2互为共轭复数
知识一：复数的几何意义
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi
？ 平面直角坐标系中的点Z(a,b)
y虚轴
b
Z：a+bi
0
a x实轴
如图，点Z的横坐标是a，
纵坐标是b,复数z=a+bi 可用Z(a,b)表示.
这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴
说明： （1）复数z=a+bi用复平面内的点Z（a，b）表示，
复数z1，z2对应的点Z1，Z2关于x轴对称， O 复数z1，z2对应的点Z1，Z2的横坐标相等，
纵坐标互为相反数.
-3
Z1(4,3)
4x Z2(4,-3)
知识三：共轭复数
通过思考五将例题中的几何直观一般化.
一般地，当两个复数的实部相等，
人教A版(2019)必修第二册 7-1-2复数的几何意义 课件(18张)
2
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.
7.1.2复数的几何意义课件(人教版)
)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
复数的几何意义公开课PPT课件
第13页/共33页
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
3
形？
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
第22页/共33页
例5 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
| z | = |OZ | a2 b2
第17页/共33页
小结
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
第14页/共33页
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 上，求实数m的值.
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
3
形？
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
第22页/共33页
例5 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
| z | = |OZ | a2 b2
第17页/共33页
小结
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
第14页/共33页
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 上，求实数m的值.
复数的几何意义课件
量子力学的波函数
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常采用复数形式表示。通过复数波函数，可以描述微观粒子的状态和行为。
薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本方程，其解即为波函数。复数形式下的薛定谔方程可以更方便地求解， 得到微观粒子的运动状态。
05
复数在实际问题中的 应用
信号处理中的频谱分析
总结词
06
复数与实数的关系
实数在复平面上的表示
01
02
03
实数轴
在复平面中，实数轴对应 于复数中的实部，表示为 水平的直线。
虚数轴
虚数轴对应于复数中的虚 部，表示为垂直的直线。
单位圆
以原点为中心，半径为1 的圆，表示单位复数。
复数与实数的相互转化
实数可以视为复数的特殊情况，即虚 部为0的复数。
任意复数可以转化为实数形式，即实 部和虚部的和。
控制系统中的稳定性分析
总结词
稳定性分析是控制系统设计中的关键环节，它决定了系统的性能和稳定性。复数在稳定 性分析中发挥着重要作用，因为它们能够描述系统的极点和零点，从而分析系统的动态
行为。
详细描述
在控制系统中，系统的动态行为通常由微分方程或差分方程描述。通过将这些方程转化 为复数形式，可以方便地计算系统的极点和零点。极点和零点的位置和数量决定了系统
的稳定性和动态响应特性。因此，在控制系统设计中，复数是非常重要的数学工具。
金融领域中的复利计算
总结词
复利计算是金融领域中评估投资回报的重要 方法。通过复利计算，可以计算出投资在未 来某个时间点的预期价值。复数在这个计算 过程中扮演着关键角色。
详细描述
在复利计算中，本金和利息都按照一定的利 率进行复利增长。复数的指数幂可以方便地 计算出未来价值的预期值。通过使用复数， 可以简化计算过程并得到精确的结果。在金 融领域中，复利计算广泛应用于评估投资回 报、贷款还款和养老金规划等方面。
《复数的几何意义》示范公开课教学课件【高中数学】
复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
归纳小结
2．如何理解复数的模？互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？
问题5 1．复数的几何意义包含哪两种情况？
2．复数的模
从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
初步应用
例1 设复数z1＝3＋4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为 ；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为 ．已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2并判断 与 的大小关系．
解答：由题意可知z1（3，4），又因为Z1与z2关于虚轴对称，所以Z2（－3，4），
从而有z2＝－3＋4i，
初步应用
例2 若复数z1＝（x－3）＋（x＋2y＋1）i与z2＝2y＋（x＋y＋2）i（x，y∈R）互为共轭复数，求x与y．
初步应用
例3 设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示．
即点Z到原点的距离始终等于2，
因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆．
新知探究
追问：一般地，当a，b∈R时，复数a＋bi与a－bi在复平面内对应的点有什么位置关系？
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；
反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
新知探究
问题4 自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？
追问：两个共轭复数的模什么关系？
4
目标检测
已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）的模是 ，则点（x，y）表示的图形是________．
5
归纳小结
2．如何理解复数的模？互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？
问题5 1．复数的几何意义包含哪两种情况？
2．复数的模
从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
初步应用
例1 设复数z1＝3＋4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为 ；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为 ．已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2并判断 与 的大小关系．
解答：由题意可知z1（3，4），又因为Z1与z2关于虚轴对称，所以Z2（－3，4），
从而有z2＝－3＋4i，
初步应用
例2 若复数z1＝（x－3）＋（x＋2y＋1）i与z2＝2y＋（x＋y＋2）i（x，y∈R）互为共轭复数，求x与y．
初步应用
例3 设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示．
即点Z到原点的距离始终等于2，
因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆．
新知探究
追问：一般地，当a，b∈R时，复数a＋bi与a－bi在复平面内对应的点有什么位置关系？
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；
反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
新知探究
问题4 自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？
追问：两个共轭复数的模什么关系？
4
目标检测
已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）的模是 ，则点（x，y）表示的图形是________．
5
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课题：3.1.2 复数的几何意义
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实 数?
一一对应
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部! 虚部!
复数的 一般形 式？
一个复数由什 么唯一确定？
3 ∵5＞2，∴|z1|＞|z2|.
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
答案：2个；5和－5
这些复 (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
答案：无数个；图形:以原点为圆心, 半径为5的圆
(3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？ 答案：图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 z=a+bi Z(a,b)
a
OZ
y b
o
x
小结
三.复数的模
z =a + b i Z (a,b)
O
y x
注意：
1.
z 0
| z | = |OZ | a2 b2
练习2、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i对应点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围 [解析] (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或 m＝－1. 2
m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0 －1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量
OZ
一一对应
2 2 a b 3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ |
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本P55,A组第5题，B组第1题。
A |a| = |OA|
O
x
z=a+bi Z(a,b)
y
a(a ≥ 0) a(a 0)
O
|z|=|OZ|
2
x
a b
2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
[例 2]
1 求复数 z1＝3＋4i 及 z2＝－2－ 2i 的模，并
比较它们的模的大小．
[解析] |z2|＝
|z1|＝ 32＋42＝5， 12 3 2 (－2) ＋(－ 2) ＝2，
小结
练习3、 求适合下列条件的复数 z 在复平面上表示 的图形． (1)2≤|z|<3； (2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
小结：我们在本节课里有什么收获？
x轴------实轴 1 .复平面 y轴------虚轴 2 .复数的几何意义 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
新课：复数的几何意义（一）
一一对应
复数z=a+bi （数）
y
有序实数对(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(--实轴 y轴------虚轴
练习1
1．下列命题中的假命题是（D ）
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点 C ）。 在虚轴上”的（ (A)必要不充分 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
2.两个复数的模可以比较大小。 3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平 面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在
复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实 数?
一一对应
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部! 虚部!
复数的 一般形 式？
一个复数由什 么唯一确定？
3 ∵5＞2，∴|z1|＞|z2|.
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
答案：2个；5和－5
这些复 (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
答案：无数个；图形:以原点为圆心, 半径为5的圆
(3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？ 答案：图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 z=a+bi Z(a,b)
a
OZ
y b
o
x
小结
三.复数的模
z =a + b i Z (a,b)
O
y x
注意：
1.
z 0
| z | = |OZ | a2 b2
练习2、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i对应点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围 [解析] (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或 m＝－1. 2
m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0 －1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量
OZ
一一对应
2 2 a b 3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ |
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本P55,A组第5题，B组第1题。
A |a| = |OA|
O
x
z=a+bi Z(a,b)
y
a(a ≥ 0) a(a 0)
O
|z|=|OZ|
2
x
a b
2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
[例 2]
1 求复数 z1＝3＋4i 及 z2＝－2－ 2i 的模，并
比较它们的模的大小．
[解析] |z2|＝
|z1|＝ 32＋42＝5， 12 3 2 (－2) ＋(－ 2) ＝2，
小结
练习3、 求适合下列条件的复数 z 在复平面上表示 的图形． (1)2≤|z|<3； (2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
小结：我们在本节课里有什么收获？
x轴------实轴 1 .复平面 y轴------虚轴 2 .复数的几何意义 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
新课：复数的几何意义（一）
一一对应
复数z=a+bi （数）
y
有序实数对(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(--实轴 y轴------虚轴
练习1
1．下列命题中的假命题是（D ）
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点 C ）。 在虚轴上”的（ (A)必要不充分 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
2.两个复数的模可以比较大小。 3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平 面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在
复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a