(完整版)概率论第六章答案

习题6-1
1. 若总体(2,9)X N :
, 从总体X 中抽出样本X 1, X 2, 问3X 1-2X 2服从什么分布?
解 3X 1-2X 2～N(2, 117).
2. 设X 1, X 2, …, X n 是取自参数为p 的两点分布的总体X 的样本, 问X 1, X 2, …, X n 的联合分布是什么?
解 因为总体X 的分布律为
P {X =k }= p k (1-p )1-k , k =0,1,…,
所以样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布为
112211
11111{,}(1)(1)(1)(1).
n n
n
n
i
i
i i x x x x x x n n X n X P X x X x p p p p p p p p ==----
==⋅-⋅-⋅⋅-∑
∑=⋅-…,=…
习题6-2
1. 选择题
(1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).
(A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数.
解 选(A).
(2) 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ:的样本, 则下列关系中正确的是
( ).
(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=
(C)
22().E S σ= (D) 22().E B σ=
解 选(C).
(3) 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则( ).
(A) X +Y 服从正态分布.
(B) X 2+Y 2服从2
χ分布.
(C)
X 2和Y 2都服从2
χ分布. (D)
22
X Y
服从F 分布.
解因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).
2. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本, 总体X 的均值μ已知,方差σ2未知. 在样本函数
1
n
i
i X
=∑,
1
n
i
i X
μ
σ=-∑,
1
n
i
i X
S
μ
=-∑, n μ(2
1X +2
2X +…+2
n X )中, 哪些不是统计量?
解
1
n
i
i X
μ
σ
=-∑不是统计量.
3. 设总体X 服从正态分布2
1(,)N μσ, 总体Y 服从正态分布
22(,)N μσ,1
12,,,n X X X L 和 2
12,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 求
1
2
221
112()()2.n n i j i j X X Y Y E n n ==-+-+-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑
解 因为 1
22
111[()]1n
i i E X X n σ=-=-∑, 2
221
21[()]1n j j E Y Y n σ=-=-∑ 习题6-3
1．填空题 (1) 设总体~(2,25)X
N ,12100,,,X X X L 是从该总体中抽取的容量为n 的样本, 则()E X = ; ()D X = ; 统计量~X .
解 因为总体
~(2,25)X N , 而12100,,,X X X L 是从该总体中抽出的简单随机样
本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为
100
1
1
11
((
)22100)n
i
i i E E X n
X =====∑∑,
而
100
2
1
1
11
25((
)25100
1
)1004
n
i i i D D X n
X ====
=
=
∑∑. 所以
1
~(2,)4N X .
(2) 设总体X 服从正态分布2
(,)N μσ,12,,,n X X X L 是来自X 的简单随机样本, 则
统计量
服从 分布
;
服从 分布;
2
2
2
=1
2
(1)()n
i
i n S
X
X σ
σ--=
∑服从 分布;
2
1
2
()n
i
i X
μσ
=-∑服从 分布.
解 由抽样分布定理知,
2
~(,
)X N n
σμ. 再由正态分布的标准化公式
,
服
从标准正态分布.
由抽样分布定理知
,
服从自由度为n -1的t 分布.
由抽样分布定理知,
2
2
(1)n S σ-服从自由度为n -1的2
χ分布.
由题设, 2
~(,),1,2,,i X N i μσ=L 所以
~(0,1),1,2,.i X N i μ
σ
-=L
再由2
χ分布的定义知, 2
1
2
()n
i
i X
μσ=-∑服从自由度为n 的2
χ分布.
(3) 设12,,,n X X X L
,1,,n n m X X ++L 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n +m 的样
本, 则统计量
2
12
1
n
i i n m
i i n m X n X =+=+∑∑服从的分布是 .
解 因为
2121
n
i
i n m
i
i n m X
n X
=+=+∑∑=
21
21
n
i
i n m
i
i n X
n
X
m
=+=+∑∑, 而
221
2
~()n
i
i X
n χσ=∑,2212
~()n m
i
i n X
m χσ
+=+∑.
由F 分布的定义, 得到
212
1~(,)n
i i n m
i i n m X F n m n X =+=+∑∑.
2. 选择题
(1) 设随机变量2
1
~()(1),X t n n Y X >=
, 则下列关系中正确的是( ).
(A) 2~()Y n χ. (B) 2
~(1)Y n χ-. (C) ~(,1)Y F n . (D) ~(1,)Y F n
解 由题设知
,X =, 其中2
~(0,1),~()U N V n χ, 于是
21
Y X ==22
1
U
V V n n U =,
这里2
2~(1)U
χ, 根据F 分布的定义知2
1~(,1).Y F n X
=
故应选(C).
(2) 设z α,2
αχ(n ),()t n α,12(,)F n n α分别是标准正态分布N (0,1)、2
χ(n )分布、t 分布和F 分布的上α分位点, 在下列结论中错误的是( ).
(A)
1z z αα-=-. (B) 2αχ(n )=1-2
1αχ-(n ).
(C) 1()()t n t n αα-=-. (D) 121211
(,)(,)
F n n F n n αα-=
.
解 应选(B).
3. 在总体2
(52,6.3)N 中随机抽取一个容量为36的样本, 求样本均值X
落在50.8到
53.8 之间的概率.
解 因为2
~(,)X N n σμ,所以2
6.3~(52,)36
X N .于是, 标准化随机变量
52
~(0,1)6.3X N -.
因此
(50.852)6
(52)6
(53.852)6
{50.853.8}{
}6.3 6.3
6.3
X P X P -⨯-⨯-⨯=≤≤
剟
10.87.2(
)(
)0.82936.3
6.3
ΦΦ-=-=.
4. 已知
1210,,,X X X L 是来自正态总体2(0,)X N σ:的样本, 求概率
{<2.82}P X S .
解 由定理1知,
2
22
9(0,1),
(9),X
S N χσ
σ::
因此
(9)X
X
t S
=
:, 所以 { 2.82}{
2.82}1{ 2.82}10.010.99.X X
P X
S P P S S
<=<=->=-=。