数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )

2()1(≥=n n

例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T

变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T

练习：

1、若数列}{n a 的前n 项和n

n S 2=，求该数列的通项公式。答案：⎩⎨⎧=-12

2n n a )2()1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32

3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n n a 32⨯= 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。

4.n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）

5、设数列{}n a 满足2*12333()3

n n a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式（作差法） 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.

（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,证明2

13-=n n a 例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.

例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如

)(1n f a a n

n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例1、在数列}{n a 中111,1-+=

=n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。答案：12+=n a n 练习：

1、在数列}{n a 中1111,1-+-=

=n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。答案：)1(2+=n n a n 2、求数列)2(1

232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4.形如s

ra pa a n n n +=

--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a

练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=

+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：2

31-=n a n 2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：1

21-=n a n 5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列） （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A

例1．已知数列}{n a 中，,2

121,211+=

=+n n a a a 求通项n a . 练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。答案：121+=-n n a

2、若数列}{n a 中，11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。答案：1)3

2(23-⨯-=n n a 6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）

(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题. 在数列{}n a 中，231=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a . 解：原递推式可化为b n k a b kn a n n +-+=++-)1()(21

比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12-=n n b b

所以{}n b 是一个等比数列，首项2

99611=

+-=n a b ,公比为21. 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+-，故96)2

1(9-+⋅=n a n n . 练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a (2)若n

q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可

②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。 两边同除以1+n q . 即： q q a q p q

a n n n n 111+⋅=

++, 令n

n n q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解， 例1. 在数列{}n a 中，5

21-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a 1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a 。答案：12

1++=n n n a 2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。答案：n n n a 23371⋅-⋅=-

题型二 根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，

327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）