(完整word版)八年级培优因式分解之换元法与主元法

因式分解——换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法。 一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法． 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

换元法

例1、分解因式：

（1）10)3)(4(2

424+++-+x x x x

（2）2

(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++ 练习：

(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++

(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ；

(3) ()()()2221x y xy x y xy +-+-+-

(4) 2222

(48)3(48)2x x x x x x ++++++

(5) 2

2

2

(231)22331x x x x -+-+-

例2、把下列各式分解因式：))((2233b ab a b a b a +±=±μ

333(23)(32)125()x y x y x y -+---

练习：分解因式：

（1）333)()2()2(y x y x -----

（2）3

3

3

(23)(25)(34)a b c a b c a b c -+++-+-++

例3：(

)

2

2

1999199911999x x ---

练习：4

2200120002001x x x +++

主元法

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例1、()()()222a b c b c a c a b -+-+-

例2、 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．

A ．()()()y z x y x z -+-

B ．()()()y z x y x z --+

C ．()()()y z x y x z +-+

D ．()()()y z x y x z ++- 练习

把下列各式分解因式： (1)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．

(2)bc ac ab c b a 54332222+++++；

(3) 613622-++-+y x y xy x

(4)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．

说明(1)式子字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．

练习题

1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12

3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．

5．若51-=+b a ，13=+b a ，则5

3

912322+++b ab a 的值

为( )． A ．

92 B ．32 C ．5

4

D ．0 6．613223+-+x x x 的因式是( )

A ．12-x

B ．2+x

C ．3-x

D ．12+x

E ．12+x 7．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M

B ．M> N

C ．M ＝N

D ．不能确定

8．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+