历年圆锥曲线高考题附答案
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17.（2010江苏卷）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
18.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
12.答案：16
解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得 ，解得 .
13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 .
14.【答案】6
【解析】： ，由角平分线的性质得
又
15.解：因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ ），所以可设它的标准方程为： ，又因为点M在抛物线上，所以
即 ，所以所求方程是 。
16.（Ⅰ）解：因为直线 经过 ，所以 ,得 ，
又因为 ，所以 ，
故直线 的方程为 。
（Ⅱ）解：设 。
7.椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，故选D。
8.将 代入 得：
，显然该关于 的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
9.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为 ，∴m= 。
10.椭圆的标准方程为
11.答案：
解析：由椭圆的的定义知， ，又因为离心率 ， 所以，所求椭圆方程为： ；
(A)1(B)2(C)3(D)4
二、填空题：
9. （2006全国卷I）双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
10.(2006上海卷)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 ，则求该椭圆的标准方程为。
11.(2011年高考全国新课标卷理科14)在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 。过 的直线 交于 两点，且 的周长为16，那么 的方程为。
3.（2006全国卷I）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是（）
A． B． C． D．
4．（2006广东高考卷）已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右准线的距离之比等于（）
A. B. C. 2 D. 4
5.（2006辽宁卷）方程 的两个根可分别作为（）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率
由 ，得 化简得 。
故所求点P的轨迹为直线 。
（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ）
数学圆锥曲线高考题选讲
一、选择题：
1.（2006全国II）已知双曲线 的一条渐近线方程为y＝ x，则双曲线的离心率为（）
（A） (B) (C) (D)
2.（2006全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
（A）2 （B）6（C）4 （D）12
三 、解答题：
15.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ ），求它的标准方程。
16.（2010浙江理数）已知m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右焦点。
（Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点Hale Waihona Puke Baidu ， 的重心分别为 .若原点 在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围.
20.(2006上海卷)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得 ,故选A
2.(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得 的周长为4a= ,所以选C
3.设抛物线 上一点为(m，－m2)，该点到直线 的距离为 ，当m= 时，取得最小值为 ，选A.
4.依题意可知 ， ，故选C.
5.方程 的两个根分别为2， ，故选A
6.由 知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由 知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
由 ，消去 得
则由 ，知 ，
且有 。
因为 ，
故 为 的中点，
由 ，
可知
设 是 的中点，则 ，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为 且
所以 。
所以 的取值范围是 。
17.[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解水平和探究问题的水平。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
12.(2011年高考四川卷理科14)双曲线 P到左准线的距离是.
13.(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双曲线的标准方程是____________________.
14.(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C： - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| =.
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率
6.（2006辽宁卷）曲线 与曲线 的（）
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
7．（2006安徽高考卷）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（）
A． B． C． D．
8.（2006辽宁卷）直线 与曲线 的公共点的个数为（）
19.(2011年高考辽宁卷理科20)（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
（I）设 ，求 与 的比值；
（II）当e变化时，是否存有直线l，使得BO∥AN，并说明理由
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
18.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
12.答案：16
解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得 ，解得 .
13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 .
14.【答案】6
【解析】： ，由角平分线的性质得
又
15.解：因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ ），所以可设它的标准方程为： ，又因为点M在抛物线上，所以
即 ，所以所求方程是 。
16.（Ⅰ）解：因为直线 经过 ，所以 ,得 ，
又因为 ，所以 ，
故直线 的方程为 。
（Ⅱ）解：设 。
7.椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，故选D。
8.将 代入 得：
，显然该关于 的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
9.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为 ，∴m= 。
10.椭圆的标准方程为
11.答案：
解析：由椭圆的的定义知， ，又因为离心率 ， 所以，所求椭圆方程为： ；
(A)1(B)2(C)3(D)4
二、填空题：
9. （2006全国卷I）双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
10.(2006上海卷)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 ，则求该椭圆的标准方程为。
11.(2011年高考全国新课标卷理科14)在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 。过 的直线 交于 两点，且 的周长为16，那么 的方程为。
3.（2006全国卷I）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是（）
A． B． C． D．
4．（2006广东高考卷）已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右准线的距离之比等于（）
A. B. C. 2 D. 4
5.（2006辽宁卷）方程 的两个根可分别作为（）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率
由 ，得 化简得 。
故所求点P的轨迹为直线 。
（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ）
数学圆锥曲线高考题选讲
一、选择题：
1.（2006全国II）已知双曲线 的一条渐近线方程为y＝ x，则双曲线的离心率为（）
（A） (B) (C) (D)
2.（2006全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
（A）2 （B）6（C）4 （D）12
三 、解答题：
15.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ ），求它的标准方程。
16.（2010浙江理数）已知m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右焦点。
（Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点Hale Waihona Puke Baidu ， 的重心分别为 .若原点 在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围.
20.(2006上海卷)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得 ,故选A
2.(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得 的周长为4a= ,所以选C
3.设抛物线 上一点为(m，－m2)，该点到直线 的距离为 ，当m= 时，取得最小值为 ，选A.
4.依题意可知 ， ，故选C.
5.方程 的两个根分别为2， ，故选A
6.由 知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由 知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
由 ，消去 得
则由 ，知 ，
且有 。
因为 ，
故 为 的中点，
由 ，
可知
设 是 的中点，则 ，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为 且
所以 。
所以 的取值范围是 。
17.[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解水平和探究问题的水平。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
12.(2011年高考四川卷理科14)双曲线 P到左准线的距离是.
13.(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双曲线的标准方程是____________________.
14.(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C： - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| =.
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率
6.（2006辽宁卷）曲线 与曲线 的（）
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
7．（2006安徽高考卷）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（）
A． B． C． D．
8.（2006辽宁卷）直线 与曲线 的公共点的个数为（）
19.(2011年高考辽宁卷理科20)（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
（I）设 ，求 与 的比值；
（II）当e变化时，是否存有直线l，使得BO∥AN，并说明理由