行程问题--环形跑道问题

第七讲环形跑道问题

一．知识点总结

基本公式：路程=速度×时间；

路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题（相向）：相遇时间=路程和÷速度和

追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差

注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：

路程差÷速度差=所行时间。

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

1 、相遇问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。

解题规律：两人相遇时一起走一圈（跑道周长）。之后每见面一次，就一起走 1 圈；见面 n 次，两人一起走 n 个周长。

2 、追及问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。

解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会

追上慢的，此时快的人比慢的人多走 1 圈（路程差为跑道周长）。

之后每追上一次，就多走 1 圈；

追上 n 次，快的就比慢的多走 n 个周长。

二．做题方法：

（1）审题：看题目有几个人或物参与；

看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时看地点是指是同地还是两地甚至更多。

看方向是同向、背向还是相向

看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。

追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差。

（2）简单题利用公式

(3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差

三．例题解析

1. 直接利用公式型

竞赛班例题1（尖子班例题1）：在300米的环形跑道上，如果同向而跑快者2分30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇，求两人的速度。

解析：注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。

“第几次追上就多跑几圈”，快者第一次追上慢者，就是比慢者多跑一圈，即用2分30

秒比慢者多跑300米，那么快比慢1秒钟多跑（速度差）：300÷150=2米“第几次相遇就合跑几圈”，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑300米，1秒钟两人合跑（速度和）：300÷30=10米慢者：（10-2）÷2=4米／秒快者：4+2=6米／秒“和差算法”：

小的数=（和-差）÷2

大的数=（和+差）÷2

竞赛班学案1：在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔4分钟相遇一次：同向跑每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道周长1600米，求两人的速度？

解析：两人速度差1600÷20=80米／分

两人速度和1600÷4=400米／分

慢者：（400-80）÷2=160米／分快者：160+80=240米／分

竞赛班例题3：幸福村小学有一条长200米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑线起跑，铮铮每秒钟跑6米，包包每秒钟跑4米，问铮铮第一次追上包包时两人各跑多少米，第2

次追上包包时两人各跑多少圈？

解析：（1）铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈200你呢？200÷（6-4）=100秒注：熟了之后直接用公式路程差÷速度差=所行时间铮铮：6×100=600米包包：4×100=400米或

600-200=400米

（2）笨方法：铮铮第二次追上包包，总共比包包多跑二圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑二圈400你呢？400÷（6-4）=200秒。铮铮：6×200=1200米1200÷200=6圈包包：4×200=800米 800÷200=4圈

聪明方法：第一问求出铮铮第一次追上包包时两人的路程，直接铮铮：600÷200=3圈3×2=6圈包包：6-2=4圈

竞赛班例题2（尖子班例题2）：环形公路长2400米，铮铮和微微同时从同一地点出发，微微骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时微微骑了1440米。问铮铮骑一圈的时间？再过多久他们第二次相遇？

解析：（1）微微骑一圈需要10分钟，可知微微的速度2400÷10=240米／分第一次相遇时微微骑了1440米，可知相遇时间1440÷240=6分钟第一次相遇时两人合跑一圈2400米，铮铮骑2400-1440=960米铮铮速度960÷6=160米／分铮铮骑一圈的时间2400÷160=15分钟

（2）“再过多久”，指从第一次相遇开始计时，每隔6分钟相遇一次。所以答案还是6