典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录

1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。

2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)

2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)

2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)

2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)

3.总结 (14)

4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍

MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。

经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面：

1）数学计算；

2）新算法研究开发；

3）建模、仿真及样机开发；

4）数据分析、探索及可视化；

5）科技与工程的图形功能；

6）友好图形界面的应用程序开发。

1.1Matlab入门

Matlab7.0介绍

Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。

在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。

MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

界面与易学易用的帮助系统。用户在命令窗里通过help 命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单。其次，MATLAB 程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，操作极为简单。除此之外，MATLAB7.0还具有强大的图形功能，可以用来绘制多姿多彩的图形，直观而形象。

综上，在进行信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析

2 利用Matlab 实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计

2.1 拉普拉斯变换曲面图的绘制

连续时间信号)(t f 的拉普拉斯变换定义为:

⎰+∞

-=0)()(dt e t f s F st

（6-1）

其中ωσj s +=，若以σ为横坐标（实轴），ωj 为纵坐标（虚轴），复变量s 就构成了一个复平面，称为s 平面。

显然，)(s F 是复变量s 的复函数，为了便于理解和分析)(s F 随s 的变化规律，可以将)(s F 写成：

)

()()(s j e

s F s F ϕ= （6-2）

其中，)(s F 称为复信号)(s F 的模，而)(s ϕ则为)(s F 的幅角。

从三维几何空间的角度来看，)(s F 和)(s ϕ对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换)(s F 随复变量s 的变化规律。

上述过程可以利用MATLAB 的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB 来绘制s 平面的有限区域上连续信号)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 的曲面图，现以简单的阶跃信号)(t u 为例说明实现过程。

我们知道，对于阶跃信号)()(t u t f =，其拉普拉斯变换为s

s F 1

)(=

。首先，

利用两个向量来确定绘制曲面图的s 平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：

x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;

然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s ，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB 命令如下：

[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;

上述命令产生的矩阵s 包含了复平面2.02.0<<-σ， 2.02.0<<-ωj 范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。

最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：

fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);

title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);

axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;

执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图1所示。

2.2 拉普拉斯变化编程设计及实现

已知连续时间信号)()sin()(t u t t f =，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 解：该信号的拉普拉斯变换为：

11

)(2

+=s s F

利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：

绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序

图2 单边正弦信号拉氏变换曲面图