高考数学突破圆锥曲线的综合问题

即 y1－y2＝x－y 2(x1－x2)． 又因为 A、B 两点在双曲线上，所以 x21－y21＝2，x22－ y22＝2，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y2＋y2)，
即(x1－x2)(x＋2)＝(y1－y2)y.
将 y1－y2＝x－y 2(x1－x2)代入上式，化简得 x2－y2＝ 4.
解析：由题意知，抛物线的方程为 x2＝－4y，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，且 x1≠x2，则xx2122＝ ＝－ －44yy12 ，两式相减得 x21－x22＝－4(y1－y2)，∴yx11－ －yx22＝x1－＋4x2＝－1，∴直线 l 的方程为 y＋2＝－(x－2)，即 y＝－x.
②14－－k3k2≠2＝0，0， 即 k＝±233时，方程(*)有两个相同 的实数解，即直线与双曲线相切．
③14－－k3k2≠2<00，， 即 k<－233或 k>233时，方程(*)无 实数解，
即直线与双曲线没有公共点．
综上所述，当－23
32 <k< 3
3，且
k≠±1
时，
直线 l 与双曲线有两个公共点；
整理得 7c2＋12c－52＝0，得 c＝－276(舍)，或 c＝2， 所以椭圆方程为1x62＋1y22 ＝1.
(2011·皖南八校联考)如下图，椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 22， 点 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 x＝2 是椭圆 的准线方程，直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于不同的 A、B 两点．
所以 x1＋x2＝k42－k21，x1x2＝4kk22－＋12. 于是C→A·C→B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋1)(x1＋x2)＋4k2＋1 ＝k2＋k12－4k12＋2－4k2k22－k2＋1 1＋4k2＋1＝－1. 综上所述，C→A·C→B为常数－1.
圆锥曲线的综合问题(理)
校对：李炳璋（原名李东升） 更多精彩请加824135830 请告诉你的姓 名&省份&文理&学校...谢谢
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知识归纳 1．直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数 得到关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式 Δ 来讨论交点个数.
5．数形结合 解析几何是数形结合的曲范，解决解析几何问题应 充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答 过程． 6．参数思想 一些解析几何问题，在解题活动中可先引入适当的 参数(如斜率 k，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)， 把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解 决．
直线与抛物线的位置关系
(1)证明C→A·C→B为常数； (2)若动点 M 满足C→M＝C→A＋C→B＋C→O(其中 O 为 坐标原点)，求点 M 的轨迹方程．
解析：由条件知 F(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)当 AB 与 x 轴垂直时，由题意得点 A(2， 2)、B(2， － 2)，此时C→A·C→B＝(1， 2)·(1，－ 2)＝－1. 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y＝k(x －2)(k≠±1)．代入 x2－y2＝2 得 (1－k2)x2＋4k2x－(4k2＋2)＝0. 则 x1、x2 是上述方程的两个实根，
x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝yx11－ －yx22＝－12. ∴所求直线的方程为 y－1＝－12(x－1)． 即 x＋2y－3＝0. 将其代入椭圆方程整理得，6y2－12y＋5＝0.
当 AB 与 x 轴垂直时，x1＝x2＝2，求得 M(2,0)，也 满足上述方程．
所以点 M 的轨迹方程是 x2－y2＝4.
直线与椭圆的位置关系
[例 3] (2011·天津文，18)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的 左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是 否过焦点，遇到 AO⊥BO 的情况，常用A→O·B→O＝x1x2＋ y1y2＝0 解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法 解决．
三、要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律 的总结
1．方程思想 解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲 线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方 程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题 运算量．
相交 Δ>0 直线与圆锥曲线有两个交点 相切 Δ＝0 直线与圆锥曲线有一个切点 相离 Δ<0 直线与圆锥曲线无公共点
2.直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时，通常作如 下 变 形 |x2 － x1| ＝ x1＋x22－4x1x2 ， |y2 － y1| ＝ y1＋y22－4y1y2，使用韦达定理即可解决．
(2)当斜率 k 不存在时，直线为 x＝m 的形式，可直 接代入求出交点的纵坐标 y1、y2 得弦长|y1－y2|.
误区警示 1．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存 在的情形．为了避免讨论，过焦点 F(c,0)的直线，可设为 x＝my＋c.
2．解方程组Afxx，＋yBy＝＋0C＝0 时，若消去 y，得到 关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0，这时要考虑 a＝0 和 a≠0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况 要考虑全面，除 a≠0，Δ＝0 外，当直线与双曲线的渐近 线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平 行时，只有一个交点．
当 k＝±1 或 k＝±233时，
直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；
当
k<－2 3 3或
2 k> 3
3时，
直线 l 与双曲线没有公共点．
点评：直线与双曲线有且只有一个公共点时，应考 虑直线与双曲线相切和直线与双曲线的渐近线平行两种 情形．
已知双曲线 x2－y2＝2 的右焦点为 F，过点 F 的动 直线与双曲线相交于 A、B 两点，点 C 的坐标是(1,0)．
[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的 长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则
解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．如图， 交点在双曲线右支上．
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－ k2－4)＝4(4－3k2)．
①14－－k3k2≠2>00，， 即－233<k<233且 k≠±1 时，方程 (*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
(2)由(1)知 a＝2c，b＝ 3c，可得椭圆方程为 3x2＋4y2 ＝12c2，直线 PF2 的方程为 y＝ 3(x－c)，
A，B 两点的坐标满足方程组y3＝x2＋34yx2－＝c12. c2， ，
消去 y 并整理，得 5x2－8cx＝0，解得 x1＝0，x2＝85c，得
方程组的解xy11＝＝－0， 3c
(1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆(x＋1)2＋(y－ 3)2＝16 相交于 M，N 两点，且|MN| ＝58|AB|，求椭圆的方程．
解析：(1)设 F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|， 所以 a－c2＋b2＝2c，整理得 2ca2＋ac－1＝0，得ac＝－ 1(舍)，或ac＝12，所以 e＝12.
，x2＝85c， y2＝35 3c，
不妨设 A85c，35 3c，B0，－
3c
，
所以|AB|＝
85c2＋35 3c＋
3c
2
＝156c.
于是|MN|＝58|AB|＝2c，
圆心－1， 3到直线 PF2 的距离
d＝|－
3－ 3－ 2
3c|＝
3|2＋c| 2.
因为 d2＋|M2N|2＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.
(2)设 M(x，y)，则C→M＝(x－1，y)，C→A＝(x1－1， y1)，
C→B＝(x2－1，y2)，C→Oຫໍສະໝຸດ Baidu(－1,0)． 由C→M＝C→A＋C→B＋C→O得：
x－1＝x1＋x2－3 y＝y1＋y2
，即xy11＋ ＋xy22＝ ＝xy＋2
于是 AB 的中点坐标为x＋2 2，y2.
y 当 AB 不与 x 轴垂直时，yx11－ －yx22＝x＋2 22－2＝x－y 2，
[例 1] 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的 切线. l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2.
(1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)y′＝2x＋1.∴l1 的斜率 k1＝3 直线 l1 的方程为 y＝3x－3.
2．函数思想 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一 些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及 a、 b、c、e、p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问 题时就很有效．
3．坐标法 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法 的训练． 4．对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散 的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算， 提高解题速度，促成问题的解决．
，得 xy＝＝－16，52.
所以直线 l1 和 l2 的交点的坐标为16，－52. l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、－232，0.
所以所求三角形的面积 S＝11225.
(2011·洛阳、安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标 原点，焦点为 F(0，－1)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点．若 AB 的中点为(2，－2)，则直线 l 的方程为 ________．
答案：y＝－x
直线与双曲线的位置关系
[例 2] 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)．试 讨论实数 k 的取值范围，使得直线 l 与双曲线有两个公共 点；直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；直线 l 与双曲 线没有公共点．
解析：由xy＝2－ky2x＝－41 消去 y，得
(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) (1)当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，直线 l 与双曲线的渐 近线平行，方程化为 2x＝5.故此时方程(*)只有一个实数
设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 B(b，b2＋b－ 2)，则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为 l1⊥l2，则有 2b＋1＝－13，b＝－23. 所以直线 l2 的方程为 y＝－13x－292.
即 3x＋9y＋22＝0
(2)解方程组yy＝＝3－x－13x3－292
根据弦长公式，有
|AB|＝
1＋－22·
122－4×6×5＝ 6
30 3.
点评：1.点差法的一个基本步骤是：点 A(x1，y1)， B(x2，y2)都在圆锥曲线 f(x·y)＝0 上，∴f(x1，y1)＝0，f(x2， y2)＝0，两式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，然后变形构造 出yx22－ －yx11及 x1＋x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解．
上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0， 即只能得到一个一次方程．
一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此 向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可 以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂 直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．
二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦 问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解