第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
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一． 选择题
99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是
)
'exp(21
)('x p i
x P πψ=
,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .
100.力学量算符 x
对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A
A.δ(')x x -.
B.δ(')x x +.
C.δ()x .
D.δ(')x .
101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为
)(22)(22)(21x x x ψψψ-=
,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()
x 在能量表象中的表示是D
A.⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪
⎪⎪⎪.
102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪
⎪
⎪⎪.
103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是D
A.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛ 0b a .
D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.
104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数
φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A
A. .
B. - .
C. 2 .
D. 0.
105.算符
Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符
(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是B
A.
F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*
()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*
()(,)() ∂∂.
C.
F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,
)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*
∂∂.
106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是A
A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.
D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.
107.力学量算符x
ˆ在动量表象中的微分形式是A A.
-i p x
∂
∂. B.i p x ∂∂. C.
-i p x 2∂∂. D.i p x 2
∂∂. 108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是B
A.p p 22222212μμω∂∂+ .
B.p p 222
2
212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.
D.--p p 222
2212
μμω
∂∂. 109.在 Q 表象中
F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .
110. 在 Q 表象中
F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.
D.
22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为A
A.S S +-=.
B.S S +=*.
C.S S =-.
D.S S *=-. 112.幺正变换B
A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.
B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.
C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.
D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.
113.算符 ()( )/a
x
i
p
=+μω
μω
212
,则对易关系式
[ , ]a a +
等于B A. [ , ]a
a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.
二． 填空题
1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有
()()x u Q x u Q n n n =
()()x u t a n n ∑=ψ
()()()()
)(,,)(,)(,*
**t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=ψψ
2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是
dx
Fu u F m n nm ⎰=*
3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。矩阵
4. 平均值公式是 ψψF F +
= 5. 归一化条件是 I =+
ψψ
6. 本征值方程是 ψλψ=F
7. 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足 ；
1-+=S S