《线性代数》线性方程组部分练习题
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
线性方程组题目及答案
线性方程组题目及答案第一、填空题10章线性方程组1.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为−11d+1⎤⎦⎥则当d=2时，方程组AX=b有解，且有无穷多解。
2.当λ=1时，齐次方程组x1−x2=0x1+λx2=0有唯一解。
3.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=b的秩为n。
二、单项选择题1.线性方程组x1+x2=1x3+x4=0的解的情况是（B）只有解。
2.线性方程组AX=b只有解，则AX=b(b≠0)的解的情况是（B）可能无解。
3.当秩(A)=秩(AB)=n时，线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，其中n是未知量的个数。
答案为（C）秩(A)=秩(AB)=n。
三、解答题1.求解线性方程组x1−x2+3x3−x4=02x1−x2−x3+4x4=04x3+5x4=1解：因为系数矩阵A=[1 -1 3 -1.2 -1 -1 4.-4 0 5 0] 的秩为3，而增广矩阵1 -1 3 -1 0.2 -1 -1 4 0.-4 0 5 0 1] 化为阶梯形矩阵1 -1 3 -1 0.0 1 -7 6 0.0 0 1 -4 1] 所以，一般解为：x1=3x3-15x4-4x2x2=x4-3x3x3,x4是自由未知量)2.求解线性方程组x1+x2-2x3-x4=12x1+x2-2x3-3x4=2x1+3x2+ax3=b解：因为增广矩阵1 1 -2 -1 1.2 1 -2 -3 2.1 3 a b]化为阶梯形矩阵1 1 -2 -1 1.0 -1 2 -1 0.0 0 2a-3b 2b-a-3.0 0 0 0 0]当2a-3b≠0时，方程组无解。
当2a-3b=0时，方程组有解，且有无穷多解，此时一般解为：x1=1-3x3+x4x2=x3+x4x3自由，x4=（b-a）/6.3.就a,b的取值，讨论线性方程组x1+2x2+3x3=1x1+3x2+6x3=22x1+3x2+ax3=b解的情况。
解：因为系数矩阵A=[1 2 3.1 3 6.2 3 a]的秩为2，而增广矩阵1 2 3 1.1 3 6 2.2 3 a b]化为阶梯形矩阵1 2 3 1.0 1 3 1.0 0 a-6 b-4a]当a≠6时，方程组有唯一解。
线性方程组练习带答案
1．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。
1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩。
答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。
(-2,3,0,0)’+k1(1,2,1,0)’+k2(1,1,0,1)’2．设A 是数域F 上的m ×n 矩阵，b 是F 上m 维非零列向量，η是线性方程组AX b =的一个解，12,,,s ξξξ是对应的齐次线性方程组0AX =的一个根底解系。
求证：12,,,,s ηηξηξηξ+++线性无关。
2‘．设*η是非齐次线性方程组AX b =的一个解，,,,12n r ξξξ-是对应的齐次线性方程组的一个根底解系，证明：〔1〕*η，,,,12n r ξξξ-线性无关，〔2〕*η，***,,12n rξηξηξη+++-线性无关， 〔3〕非齐次线性方程组AX b =的任一个解可表示为*1122x k k kk n r n r ηηηη=+++--〔其中1η=*1ξη+，，*n r n rηξη=+--且112k k k n r ++=-〕。
3．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有〔 〕A(A) 12312,,,k αααββ+线性无关； 〔B 〕12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关4．12,ββ是非齐次线性方程组Axb =的两个不同的解，12,αα是0Ax =的根底解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解必是〔 B 〕〔A 〕1211212();2k k ββααα-+++〔B 〕1211212();2k k ββααα+++- (C)1211212();2k k ββαββ-+++ (D)1211212().2k k ββαββ+++-5．设线性方程组(Ⅰ)的导出组(Ⅱ)必有下面 (A)(A) 当(Ⅰ)只有唯一解,则(Ⅱ)只有零解(B) (Ⅰ)有解B 的充分必要是(Ⅱ)有解(C) (Ⅰ)有非零解,则(Ⅱ)有无穷多解(D) (Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++251823532321321x x k kx x x x x kx1〕k 不为0且 不等于2时，有唯一解。
线性代数习题2
第2章 线性方程组 练习题1、已知1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1，2 ，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为1，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。
（ 4，可以 ）2、设向量组1 = ( 1 , 1 , 1 )T，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关此时将 3表为 1 与2的线性组合。
（ t5 时，1，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1+ 22 ）3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组1 = (1 ,2 ,3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,1 )T ，3 = ( 1 ,1 ,2 )T ，4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
（ =1； =1 +2 +3 +4）{4、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=223k β，讨论 k 为何值时，（1） 不能由1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
（ （1） 2；（2）k1且 k2 ；（3）1 ，=21）5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,2 , 4 , a+8 )T 及= ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时， 不能表示成1，2 ，3 ，4的线性组合；（2）a 、b 为何值时， 有 1，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
线性方程组练习题及答案
线性方程组 练习题一、选择题.1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A.1或2B. －1或－2C.1或－2D.－1或2.2. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ).A.A 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的列向量组线性相关3.设12m α,α,,α均为n 维向量，则下列结论中正确的是（ ）.AA.若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有11220m m k k k +++≠ααα，则12m α,α,,α线性无关 .B.若12m α,α,,α线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有11220m m k k k +++=ααα . C.若11220m m k k k +++=ααα，则12m α,α,,α线性相关 .D.若向量组12m α,α,,α()3≥m 中任意两个向量都不成比例，则12m α,α,,α线性无关.4.向量[]11,1,1T α=-，[]22,,0T k α=，[]3,2,1Tk α=，k 为（ ）时，向量组1α，2α，3α线性相关.DA.3k ≠且2k ≠-B. 2k ≠-C.3k ≠D.3k =或2k =-5. 向量组s ααα 21,（2≥s ）线性无关的充分必要条件是（ ）.(D ) A.s ααα 21,均不为零向量 B. s ααα 21,中任意两个不成比例 C.s ααα 21,中任意1-s 个向量线性无关D.s ααα 21,中任意一个向量均不能用其余1-s 个向量线性表示6.齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是（ ）.A.无解B.仅有零解C.必有非零解D.可能有非零解，也可能没有非零解．7.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是（ ）. A. 12312,2,32+- -ξξξξξ B. 122331,,+-+ ξξξξξξ C.122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ D. 12231324,2+,++ - ξξξξξξ8.要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为（ ）.A. (211)-；B. 201011⎛⎫ ⎪⎝⎭；C. 102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭． 9.已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是（ ）. A. 12()k k 12112-+++2ββααα B. 12()k k 12112++-+2ββαααC.12()k k 12112-+-+2ββαββD. 12()k k 12112++-+2ββαββ10.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是（ ）. A.不存在 B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量； D.含有三个线性无关的解向量11.设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解 ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解 以上命题正确的是（ ）.A. ①，②B. ①，③C.②，④D.③，④12.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0（ ）. A.当n m >时仅有零解 B. 当n m >时必有非零解 C.当m n >时仅有零解 D.当m n >时必有非零解13.设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量． 若秩T0⎛⎫= ⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组（ ）.A.=αAx 必有无穷多解B.=αAx 必有惟一解C.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αAαx 0仅有零解 D.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αAαx0必有非零解14.已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(T A r （ ）. A.1 B.2 C.3 D.415.设321,,ααα为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列可作为该方程组基础解系的是（ ）.A.2121,,αααα+B. 133221,,αααααα+++C.2121,,αααα-D. 133221,,αααααα---16.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 417.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）. A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs+βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =018..设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）. A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为019.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）.A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解20.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A.秩(A)<nB.秩(A)=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解21.设n 维向量12,αα线性相关，则必定（ ）.A. 12,αα中有一零向量B. 矩阵12=(,)A αα的秩r A =1C. 12,αα的对应元素成比例D.1α不可由2α线性表示22.设A 为m n ⨯阶矩阵，非齐次线性方程组AX=b 对应的导出组AX=0，如果m n <，则（ ）.A.AX=b 必有无穷解B.AX=b 必有惟一解C.AX=0必有非零解D.AX=0必有惟一解23.n 元线性方程组AX=0有非零解的充要条件为（ ）.A.()R A n =B. 0A ≠C.0A =D.以上都不对24.线性方程组AX B =有解的充要条件是（ ）.A.()r A >0B. ()()r A r A =C. ()()r A r AB ≠D.()r A n =25.n 元线性方程组AX=b 有解的充要条件为（ ）. A.()(,)R A R A b = B. ()(,)R A R A b n == C.()(,)R A R A b n =< D.()(,)R A R A b n =≤26.向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，下列向量中可以由21,αα线性表出的是（ ）.A ．T )3,2,1(B ．T )3,2,0(C ．T )3,0,1(D ．T )0,2,1(27.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A ．)()(A RB R ≤ B ．)()(A R B R <C ．)()(A R B R =D ．)()(A R B R ≥28.设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）. A ．若n m <，则b Ax =有无穷多解B ．若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量C ．若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解D ．若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解29.设1α、2α是对应非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则b Ax =一定有一个解是（ ）.A.1α+2αB.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ30.21γγ，是n 元非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，且1)(-=n A r ,则 0=Ax 的通解为（ ）.A. )(1R k k ∈γB. )(2R k k ∈γC. )()(21R k k ∈+γγD. )()(21R k k ∈-γγ二、填空题.1. 设向量α=(1, 2, 0, 4)T , β=(3，1，-1，7)T ，向量γ满足2α-γ=β, 则γ=____________.2.已知向量α=(1, 2, 4, 0)T , β=(-3，2，6，2)T ，向量γ满足3α+2γ=β, 则γ= .3.向量组α=(1, -2, 3)T , β=(2，-4，a)T 线性相关，则=a .4.向量组()12341,0,1,(2,1,0),(0,1,1),(1,1,1)TT T T αααα====则向量线性 .5.当______=t 时，向量组)2,1,3(),3,2,1(),,3,2(-t 线性相关.6.设向量组T T T a )1,1,2(,),2,1(,)3,1,1(321-==-=ααα线性相关，则=a .7.设向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α,则向量组21,αα的秩是 .8.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100110111的秩等于__________.9.若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________.10.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a A 00011002011的秩)(A r =2，则=a ______.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 10012002011的秩)(A r =2，则=a ______.12.若齐次线性方程组1212 3 060x x x x λ-=⎧⎨-+=⎩有非零解，则λ= .13.当_________时候，n 元线性方程组0=Ax 有非零解，这里A 是n 阶方阵.14.设21ξξ，是非齐次线性方程组b Ax =的解向量，则21ξξ-是方程组______的解向量.15.方程组⎩⎨⎧=-=-003221x x x x 的基础解系是 .16.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a .17.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .18.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .19. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .20.设齐次线性方程组01443=⨯⨯X A ，其系数矩阵的秩)(A r =2,则方程组的基础解系包含______个线性无关的解向量.21.有三维列向两组1α＝()100T，()2110αT＝，()3111αT＝，()123βT＝，且有112233βχαχαχα++＝，123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____22.若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵.23.若向量组)()()()(12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______.24.已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.25.当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是 ．26.线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有解的充分必要条件是 ．27.设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为 ．28.设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解 ．29.设11222221231111211111,,11n nn n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．30.设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．三、判断题.1.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. （ ）2. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关.（ ） 3.若=0时，，则向量组线性无关.（ ）4．若向量组与均线性无关，则，线性无关.（ ）5.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷解.（ ）6.同秩的两个向量组未必等价. （ ）7.向量组中某向量能被其余向量表示，则去掉它不影响它的秩. （ ）8.向量组中某向量不能被其余向量表示，则去掉它后向量组的秩必改变. （ ）9.3个未知量，5个方程组成的方程组中，必有一个方程能被其余的方程线性表示. （ ）10.不同秩的两个向量组必不等价. （ ） 11.向量组的向量各加一个分量，其秩不变. （ ） 12.方程组中自由未知量是唯一确定的.（ ） 13.向量组12121,,,,,,s s a a a a a a -与等价，则向量组12,,,s a a a 线性相关.（ ） 14.设12,ηη是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则1212,3ηηηη--+也是AX=0的基础解.（ ）15．用列初等变换可以求解线性方程组，也可以用行初等变换求解线性方程组.（ ）.16．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组AX =0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=2.（ ）17.若n 维向量12,αα线性相关，则必定12,αα的对应元素成比例.（ ） 18.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m A =.（ ） 19.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m <A .（ ） 20.设21,αα是齐次线性方程组0=AX 的解，那么12αα+也是该方程组0=AX 的解.（ ）21.设21,αα是非齐次线性方程组=AX b 的解，那么12αα+也是该方程组=AX b 的解.（ ）22.对于任意的矩阵A ，一定有T r r =（）（）A A .（ ）23.向量组123,,ααα中，任意两个向量均线性无关，则123,,ααα线性无关.（ ）24.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的n 个列向量线性无关，则()r A n =.（ ） 25，设12,αα是n 维向量，且112212312,2,35βααβααβαα=-=+=+，则123,,βββ 必线性相关.（ ）26.设0Ax =是Ax b =的导出组，其中A 是m n ⨯矩阵，若()r A m =， 则Ax b =有解.（ ）请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x ,当λ取何值时有解？并求出它的解．9.设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解．10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为:T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.4. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .试证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.5.设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题24知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）.第三章 线性方程组一、选择题.1.C2.D3.A4.D5.D6.C7.A8.A9.B 10.B 11.B 12.D 13.D 14.C 15.B. 16.C 17.D 18.C 19.A 20.A 21.C 22.C 23.B 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.D 30.D二、填空题.1. (-1,3,1,1)T2.(-3,-2,-3,1)T3. 64.相关5. 56.-47.28.39.无关 10.0 11.212.2 13. 0A = 14.0=Ax 15.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 16.1 17.-1018.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 19.n-r 20. 2 21.－1，－1，3 22.可逆 23.1,233;,ααα 24.3 25．||0≠A 26.43210a a a a -+-=．27.T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.T (1,0,0,,0)=x ． 30.-2部分题详解：25.解 因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．26.解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B A b 12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭． 所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．27.解 令111⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.解 因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.解 T (1,0,0,,0)=x ． 30. -2三、判断题.1.√2. √3. √ 4．× 5.×6. ×7.×8. √9.√ 10.× 11.×12.√ 13.√ 14.√ 15．× 16.×17.√ 18.√ 19.× 20.√ 21.×22.√ 23.× 24.√ 25.√26.√请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ同时成立. 解 (1) 设)0,,0,0,1(11==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而 m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的. (4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202013. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1)3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~秩为2,最大线性无关组为T Ta a 21,.5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x(3)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1)对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201~ 即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x9．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---120010501121~225010501121~122313112123131223b a b a b a A r r r r r r（1）当2,02-≠≠+a a 即时，3)()(==A r A r ，方程组解唯一； （2）当12,01,02=-==-=+b a b a ，即时，32)()(<==A r A r ，方程组解有无穷多解； （3）当12,01,02≠-=≠-=+b a b a ，即时，3)(2)(=<=A r A r ，方程组无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n n n ξξξ12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .解：由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00001001825931224321x x x xAB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛592280200802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2125212114321x x x x ，故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2125212111001B ．13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.解：显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．解：由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得：齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.证明：设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解，则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证. 2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明： 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k 因为0110011011≠= 故方程组只有零解，则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.证明: (1)反证法,假设r n -*ξξη,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)其中,00≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。
《线性代数》线性方程组部分练习题
______ ，一个极大无关组是 ______ 。
7 已知向量组α1 = (1, 2, −1,1),α2 = (2, 0,t, 0),α3 = (0, −4,5, −2) 的秩为 2，则 t＝ ____ .
讨论 λ 取何值时，方程组无解，有唯一解
和有无穷多解；在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。
四．证明题
设α1,α2 ,α3 是线性无关，试证明：
（1） β1 = α1 + α2 − 2α3, β2 = α1 − α2 − α3, β3 = α1 + α2 线性无关；
（2） β1 = 2α1 + α2 + 3α3, β2 = α1 + α3, β3 = α2 + α3 线性相关。
⎡1 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
8
已知方程组
⎢ ⎢
2
3
a
+
2⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢⎢3⎥⎥
无解，则
a＝_____来自。⎢⎣1 a −2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
二，选择题
1.向量组α1 = (1,1, 2) ,α2 = (0,1, −1),α3 = (2,3,5),α4 = (2, 2, 4) 的极大无关组为（ ）
（）
（A）R (Α) −n； （B） R (Α) + n （C） n − R (Α) ; (D) n + R (Α)
4.设
⎧ ⎪ ⎨
χ1 χ1
高等代数线性方程组练习题
第三章 线性方程组练习题一、 填空题1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩取值可能为__________.2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x ax x x b+++=⎧⎨+++=⎩有解的充要条件是__________.3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________.4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________.5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________.6. 齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）只有零解的充要条件有______________________________________________________ _（至少写两个）.7.非齐次线性方程组AZ b =（A 为m n ⨯矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
8. 1n +个n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
9.设向量组321,,ααα线性无关，则常数,l m 满足____________时，向量组312312,,αααααα---m l 线性无关。
10.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r A n =-则0Ax = 的通解为________。
11.若向量组321,,ααα线性无关，则向量组312312,,αααααα+++____________。
12.已知四元非齐次线性方程组,()3Ax b r A ==，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则齐次线性方程组0Ax =的通解为____________-________________________。
(精心整理)线性方程组练习题
(精心整理)线性方程组练习题一、单一线性方程组1. 求解下列线性方程组：（1）$$x-2y=3$$（2）$$2x+3y=4$$2. 求解下列线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$（2）$$3x-4y+5z=2$$（3）$$-x+y-2z=-3$$3. 求解下列线性方程组：（1）$$x-y+z=1$$（2）$$2x-3y-4z=-1$$（3）$$3x-4y+z=3$$二、多元线性方程组1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+y=3$$$$x-y=1$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+2y+3z=4$$$$2x+y-3z=0$$$$3x-2y+5z=6$$3. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+y+z=1$$$$2x+y+3z=4$$$$x+3y+2z=3$$三、应用题1. 某商场一天销售了商品A、B两种，A、B两种商品单价分别为x元和y元，已知销售了x件A商品和y件B商品，总价为500元，且已知销售了10件A商品和5件B商品，总价为185元，求解方程组，并给出A商品和B商品的单价。
2. 某超市投放了两种品牌的巧克力A、B，其中A品牌单价为x元，B品牌单价为y元，已知某顾客购买了x份A品牌巧克力和y份B品牌巧克力，所付的总价为15元，且已知该顾客购买了两份A品牌巧克力和一份B品牌巧克力，所付的总价为6元，求解方程组，并给出A品牌和B品牌巧克力的单价。
四、挑战题1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$$$x-2y+3z=0$$$$4x-3y+2z=-3$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+3y-z=1$$$$3x+4y-2z=2$$$$4x+5y-3z=4$$$$x-2y+z=3$$以上是一些关于线性方程组的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题集--线性方程组线性代数练习题第四章线性方程组系姓名第一节解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：⎧2x +y -z +w =1⎪1．求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2⎪2x +y -z -w =1⎩⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪⎪⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧1-y⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x⎪⎪⎪z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪⎩⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解⑵ 无解⑶ 有无穷多解⎪x +x +λx =λ223⎩1λ111λ111=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)λ11⎫⎛111⎪11⎪→ 00000011⎪⎭⎝111⎫⎛2⎪-21-2⎪→ 101-24⎪⎭⎝1⎫⎪0⎪，有无穷多解；0⎪⎭111⎫⎪-21-2⎪，方程组无解。
003⎪⎭当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11当λ=1时 1111⎝⎛-2当λ=-2时 11⎝线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系姓名第四节线性方程组的解一．选择题：T T1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关（B ）α2, α4线性无关（C ）α1不能被α3, α4线性表示（D ）α4能被α2, α3线性表示η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k2α2+(η1+η2) /2（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η23．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6)T⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得⎪x +x +λx =023⎩1AB =0，则 [ C ]（A ）λ=-2且B =0，（B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪1．设A = 23a +2⎪，b = 2⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫⎪⎪4⎪ 3⎪所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪⎪⎪⎝6⎭⎝5⎭⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
线性代数第四章线性方程组练题解
η1+η3 =（1，–2，1）T，则对任意常数 k，方程组 Ax=b 的通解为（ ）
．A (1,0,2)T+k(1,–2,1)T
．B (1,–2,1)T+k(2,0,4)T
．C (2,0,4)T+k(1,–2,1)T
．D (1,0,2)T+k(1,2,3)T
答案：D
设5. α1 ，α2 是 Ax=b 的解，η是对应齐次方程 Ax=0 的解，则（ ）
3 −1
− 1 2
a
____________.
0 0 a(a − 1) a − 1
答案：0
设 13. A 为 3×3 矩阵,且方程组 A x=0 的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___________.
答案：1
设矩阵 1
14.
A= 2
2 t
2 3
，若齐次线性方程组
Ax=0
有非零解，则数
解： 1 1
0 1
2 1
1 4
2 a
→
1 0
0 1
2 −1
1 3
Байду номын сангаас
a
2 −
2
→
1 −1 3 − 2 1 0 −1 1 − 3 −1
1 0
0 1
2 −1
1 3
a
2 −
2
0 0 0 0 a − 3
a ≠ 3时无解，a = 3时有无穷解，此时对应方程组为
x1 x2
= =
−2 x3
x3 − x4 + − 3x4 +1
a 1
1 a
1 1
x1 x2
=
1 1
a=_________.
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x213122211112111121001421120011000110211110002000020121122000.2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎧=⎪+==-⎧⎧⎪⎪⎪-=∴==⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎩⎩⎪⎩或3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方程组无解。
线性代数(含全部课后题详细答案)5第五章线性方程组习题解答.docx
习题五1・填空题(1)当方程的个数等于未知数的个数时，Ax = b有惟一解的充分必要条件是解因为R(A) = R(A \b) = n是4x = b有惟一解的充要条件.故由R(A) = n可得\A\^0.(2)线性方程组X)+兀2 =Q|，兀2 + 兀3 = °2，可+兀4 =。
3, x4 + %)=a4有解的充分必要条件是______ .解对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以方程组有解的充要条件是R(A) = R(B),(3)设川阶方阵力的各行元素之和均为零，且-1,则线性方程组Ax = 0的通解为_____________________解令1x =.■■丄显然x满足方程组，又因为R(A) = n-l f所以2?(/) = 1,即方程组的基础解系中有一个向量，通解为⑴1 T x = k . =£(1,1,・・・，1)T, £为任意常数.■■(4)设/为〃阶方阵，|力|=0，且伽的代数余子式4,工0 (其屮，\<k<n,丿= 1,2, •••/),则Ax = O 的通解 ______ •解 因为同=0,又九・工0,所以R(4)F — 1,并且有f0, i 壬 k;认+。
皿+・・・+绻仆仏|=0,匚=匕所以(血|,心2,…，血)丁是方程组的解，又因为R(A) = n-h 可知方程组的通解为TX = c(4】，42,…，4J ，其中c 为任意常数.(5)设Q 】A= a;■ ■其中,a 严J (i 韭j; i,j = \,2,…，n),则非齐次线性方程组A Jx = b 的解是x = _________解 x = (l,0,0,・・・，0)T.解 ci — —2 .2.单项选择题(1) _______________________________ 齐次线性方程组4x5^5xl = 〃解的情况是 •(A)无解；(B)仅有零解；(C)必有非零解； (D)可能有非零解，也可能没有非零解.答(C).(2) 设〃元齐次线性方程组的系数矩阵的秩/?(/) = 〃-3,且垃，$为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 ______ .1a 29Cl；■ ■"a 1(6)设方程1 a1、1有无穷多个解,(A) -6, 2§, 3§3+§] - 2§2；(B) §1+§2, §2 - §3,刍+厶；答(A).(3)要使§=(l,0,2)T, ：=(0,1,—1)T都是线性方程组Ax = O的解，只要/为(A) (-2 1)；(B)1)(C)1-1) '-1 0 2、；(D)4-2-2、0 1 -L\ / <011/答(A).(4)已知屈，良是Ax = h的两个不同的解, a n a2是相应的齐次方程组Ax = 0的基础解系，k^k2为任意常数，则Ax = b的通解是______(A) kg + k2 a +~~~—(c)kg +他(屈-角)+ " 2"(B) kg + k2a -a2) + 卩'；几(D) k0\ + k2 (0] - 02)+ 卩'答(B).(5)设斤阶矩阵/的伴随矩阵A^O则对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是_______ .(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.答(B).(6)设有齐次线性方程组Ax =〃和Bx = 0，其屮〃均为mxn矩阵，现有4个命题:①若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则R(A)>R(B)；②若R(A) > R(B),则Ax = 0的解均是Bx = 0的解；③若Ax = 0与Bx = 0同解，则R⑷二R(B)；④若R(A) = R(B),则Ax = 0 与 Bx = 0同解.以上命题正确的是—(A)①，②；答(B). (B)①，③;若:是非齐次线性方程组Ax = b的互不相等的解,(C)②，④; (D)③，④.(7)设/是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x = 0(A)当n>m时仅有零解；(C)当m > n时仅有零解；答(D). (B)当n>m时必有非零解;(D)当m > n时必有非零解.(8)设力是〃阶矩阵，a是〃维列向量. 若秩(B) A a "0>Ax = a必有惟一解;=秩(昇)，则线性方程组.(C)A a'A么、=0仅有零解；(D)& °丿& °丿J丿(A) Ax = a必有无穷多解;〃必有非零解. 答(D).3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系X { + X 2+ 2兀3 -兀4 = 0,(1) { 2兀]+ *2 + 兀3 一 兀4 = °，2X] + 2X 2 + X3 + 2兀=°；解对系数矩阵施行初等行变换，有与原方程组同解的方程组为4X3~~X4 =0,或写为4其中为任意常数•所以,基础解系为4、X )+ 2X 2 + X3 — X4 = 0, (2) < 3旺 + 6X 2 -x 3 - 3X 4 = 0,5x } +10x 2 +呂-5X 4 =0; 解<12 1 -0<1 2 0 -1] A = 3 6 -1 -3 T 0 0 1 0<5 \ 10 1 _5丿<0 0 0°丿与原方程组同解的方程组为(42 -1、1 0 0 ~31 -1 T 0 1 0 3 1 24 70 0 1~3>A= 21 ,2 2或写为£ =-2x 2兀3 = 0,其中，X 2, x 4可取任意常数你伦，故所以，基础解系为"-2、 1 0 <0,2x, + 3X 2 -兀3 +5兀4 = 0, 3X| + x 2 + 2*3 — 7兀4 = 0, 4兀]+x 2 - 3X 3 + 6兀=0,X] —2X 2 + 4X 3 -7X 4 = 0; 解7?（力）=4 = 〃，方程组组只有零解.3%] + 4X 2 一 5X 3 + 7X 4 = 0,2%j 一 3X 2 + 3X 3 一 2X 4 = 0, 4x, +1 lx 2 -13X 3 +I6X4 = 0, 7xj - 2X 2 + X3 + 3X 4 = 0.V3 -1 5、(\-2 4 7、3 1 2 -7 0 -3 1 21 -264 1 -3 6 0 0 1 5J -2 4 一7丿〔0 0 0 327丿A =x } +2XX =4. 求解下列非齐次线性方程组.4旺 + 2X 2 一 x 3 = 2,(1) < 3兀]—x 2 +2X 3 =10,11 兀I + 3 兀2 = &解对增广矩阵施行初等行变换<42 -1 * 2、<13 -3 '-8、B = 3 -1 2 10T-10 11 343 0 1 8丿<0 0 0 -6y« 7$ 与原方程组同解的方程组为或写为所以皐础解系为<32 -3 11 3丿3 V 13 4. 17 3 17' 19 20 ---- X173 ]73—13 * — A 17 3 17 19 — 20■ _17~ J 173 17 19 17 131720 17X = 兀2兀3<3> 1917 + k. 厂-13、-20J 丿」7丿=0, x 4,所以 /?(/) = 2, R(B) = 3.无解.2兀 + 3尹+ z = 4, x — 2y + 4z = -5, 3x + 8尹一 2z = 13,4x- j? + 9z = -6；R(A) = R(B) = 2,所以原方程组有解.与原方程组同解的方程组为x = —2z — 1, y= z + 2, z =2x+ y- z+w=l,4x+2尹一 2z+w=Z 2x+ y- z-w=l ；<2 4 2R(A) = R(B) = 2.原方程组有解.与原方程组同解的方程组为1 1 1x =——y+ —z + —,2 2 2 y= y ， z =所以原方程组的通解为厂2 31 ・4<1 0 2・ -1)1 -2 4 -5T0 1 -1 2 3 8 -2 130 0 0 0 <4 -1 9<0 00 •°丿 B =/ 、"-2、r-ny =k 1 + 2 工丿k b<-1 -2z,z .5. 问九取何值时，非齐次线性方程组九X] + x 2 + x 3 = L2x+ y- z+ w=l, 3x-2y+ z-3w=4, x+4p-3z+5w=-2・[1]<r~222 1+ Z+10 0\ 丿< )＜1、rp2 + & 0 02 < 0>o20 01 -24 -1 1 1 -3-351 4 -2£ 7 5 7£ 7 9 76 7 5 7= = 原方程组有解. 与原方程组同解的方程组为1 1 6 X = —z + —w + —,7 7 7 5 9 5 2 y = — z -- w —,7 7 7 z = z,故通解为6\z \ X「1、< ny5-9 =k 、 7 + k"0 zo< 7>7 _5 ~7 0y z严« X] +心2 +兀3 =入，£ +勺+ Z =九'(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解? 解系数行列式2 1 1D= 1 几 1 =(久一1)2(2 + 2)・1 1A当2工1且2工-2时D H O,方程组有惟一解.当2 = 1时，对增广矩阵施行初等行变换则R(4) = R(B) = 1<3,故原方程组有解且有无穷多解.当A = -2时，对增广矩阵施行初等行变换<-21 1r'11 -2 4、B =1 -21-2 T 1 -2 1 -2< 11 -2 4><-2 1 1<1 1 -2 4、<1 1 -2 4、 T0 -3 3 -6 T 0 -3 3 -6 ,<0 3 -3 9丿<0 0 0 3丿/?(/) = 2, R(B) = 3.所以方程组无解.6. 非齐次线性方程组—2%| ++ 兀3 = —ZX { 一2兀2 + 兀3 =儿兀1 + X 2 - 2X 3 =九2当入取何值时有解？并求出它的全部解.解对增广矩阵施行初等行变换，得<-2 1 1 -2)<11 -2B = 1 -21T0 -3 3 A(1 —兄)< J1-2 才丿0 0 (久一1)仇+ 2)丿当Q H I 且2^-2时，R(4) = 2, R(B) = 3方程组无解. 当2 = 1时,有Q o -1 r0 1 —1 o o o o ?R(4) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为<1 1 1r—> 0 0 0 0<0 0 0 0.故原方程组的解为当2 = -2时,有10—12、1 -12 (0 0 0 0丿与原方程组同解的方程组为故方程组的解为(2—九)X] +2x, —2兀3 = 1，7.设｛2旺+(5-九)吃- 化=2, 问九为何值吋，此方程组有惟一解、无解或有无穷—2^| —4七 + (5 —九)七=一入一1，多解？并在有无穷多解时求出其通解.解系数行列式2-2 2 -2D= 25-2 -4 =-(2-1)2(2-10). -2-45 —久当2工1且2工10时，方程组有惟一解. 当2 = 1时，有< 12-2<1 2 -2B =2 4 -42 T0 0 0 0<-2 -44_2丿<0 00 0丿R(4) = R(B) = 1,方程组有无穷多解，此时兀2 二 k\1 + 0卫3丿<1>x =X] + 2兀2 一2兀3 = 1 通解为/ 、兀2，-2、 1+嘉0 + ⑴0 "丿< °丿<1>\ / x =当2 = 10时，有厂-8 2 -2r(2 -5 -4 2B =2 -5 -42 T 01 1 1「2 -4 -5 —11丿,00 -3/?(/) = 2, R(B) = 3,故方程组无解.8•问为何值时，非齐次线性方程组(1) 有惟一解，求出惟一解; 解方程组的增广矩阵兀[+兀2X?_ *2 +(Q _ 3)兀3 _ 2X 4 =b. 3X[ + 2X 2 + X3 + ax 4 =-l有无穷多解，并写出通解.+ X3 + X4 = 0,+ 2X + 2X = 1,1 1 1 0、1 1 1 0) 0 12 21T0 1221 0 -1 67-3 -2 b0 0 a-\ 0 b + l<3 21a j 丿<0 00 a-\o>当GH1时，R(A) = R(B) = 4,方程组有惟一解.B Trr. —a + b — 2 a — 2b + 3所以，£ = ----------- ,也= ---------- ,兀3a-\ 'a-1 B T(0a-ia —2b —a-\b + la-1=0.b+1所以，当Q = 1且b^-\时，/?(/!) = 2, R(B) = 3,方程组无解.(2)无解；(3) B此时V 、[1、24 ，”2七％ =364求该方程组的通解.解 斤=4,尸=/?(/)二3,所以川一尸=1,令则§为基础解系，故方程组的通解为<0厂3、624835 J0丿<4>、6丿©=2小-(小+吃)而当G = 1且/? = 一1时，有1 o -1 -r —1、0 12 2 1 B T0 0 0R(A) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为x 4 = _1,x 2 +2兀3 +2 兀4 = h或写为故原方程组的通解为其中心为任意实数9.设四元非齐次线性力程组的系数矩阵的秩为3,已知％ ,弘，〃3是它的三个解向量，且其中R 可取任意常数.10. 设4〃都是〃阶方阵，且AB = O .证明R(A) + R(B)S ・证明设B = ®,筠,…，仇)，则有Ab. =0 (丿=1, 2,…，n)・可见每个曾都是Ax = O 的解向量.因R(A) = r,可知/lx 二〃的解空间的维数是n-r ,所以向量组叽 X ，…，叽的秩小于等于 m ,从而— i 于是R(4) + R(B)— + (m) = n.11. 己知非齐次线性方程组X )+吃 +兀3 +兀4 = _] 4%j + 3X 2 + 5X 3 —X 4 = —1 ax } + x? + 3X 3 + hx 4 = 1有3个线性无关的解.(1) 证明方程组的系数矩阵Z 的秩R(A) = 2； (2) 求的值及方程组的通解.解(1)设a p a 2,a 3是方程组Ax =0的3个线性无关的解，其中<111 1、r-rA = 4 3 5 -14 -i1 3 b)则有A©、_a?) = 0、A(a 、_aj = 0 ,即a } -a 2,a }-a y 是对应齐次线性方程组Ax = O 的解，且线 性无关.(否则，易推出a,,a 2,a 3线性相关，矛盾).所以n-R(A)>2,即4 — R(/)n2nR(/)52.又矩阵/中有一个2阶子式】1 =-1^0,所 以7?(/1)>2.因此R(A) =2.(2) 因为<1 1 1 1 ><1 1 1 1、<1 1 11 ) A = 4 3 5 -1 T 0 -11-5T0 -11-5W 13 b 丿(0 \-a3-a b_a 丿<0 0 4 —2Q b + 4a — 5丿又7?(力)=2,贝ijJ4-2d = 0, J G = 2, 爲+ 4a-5 = 0 戶爲二-3.对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，x = kg\+TJ\ = k<1 1 1 1 -1、<1 0 2 -4 2、 B = 4 3 5 -1 -1 —> 0 1 -1 5 -3<2 1 3 -3 /<0 0 0 0 0>故原方稈组与下面的方程组同解Xj — —2 兀3 + 4 兀4 + 2x 2= x 3 - 5X 4 _ 3选兀3,兀为自由变量，则故所求通解为1a,b,c 不全为零，矩阵〃 =2 .3且AB = O,求线性方程组Ax = O 的通解.解 由于AB = O ,故&/) + 7?(〃)53,又由a,b,c 不全为零，可知R(A) > 1. 当&H9 时，R(B) = 2 ,于是R(A) = 1；当 k = 9 时，)= 1,于是 R(4) = 1 或 7?(/) = 2.①对于殳工9,由AB = O 可得由于7=(l,2,3)T,%=(3,6,k)T 线性无关，故弘，弘为Ax = O 的一个基础解系，于是Ax = O 的通 解为x =C X TJ { + c 2r]2,其中q,C2为任意常数.②对于k = 9,分别就R(A) = 2和/?(/) = 1进行讨论.如果R(4) = 2 ,则Ax = 〃的基础解系由一个向量构成.又因为/ 2 = 0 ,所以Ax = O 的通解为X = C 1(1,2,3)T ,其中q 为任意常数.如果7?(/) = 1,则Ax = O 的基础解系由两个向量构成.又因为力的第1行是(a,b,c),且a,b,c 不 全为零，所以Ax = 0 等价于 ax } + bx 2 += 0 .不妨设 a 工0 , “】=(一/>,。
线性代数--线性方程组题库
。
17、设向量组 A：α1,α2,α3 ；向量组 B：α1,α2,α3,α4 ；向量组 C：α1,α2,α3,α5 。
= 若 r(α1,α2,α3 ) r= (α1,α2,α3,α4 ) 3 ， r(α1,α2,α3,α5 ) = 4 ，
则 r(α1,α2,α3,α5 − α4 ) = 。
1 2 1
17、向量组α1,α2 ,,αs 的秩为 r ，则（ ）。
（A）
α1,
α
2
,
,
α
s
中
r
个向量的部分组皆线性无关；
（B）α1,α2 ,,αs 中 r −1个向量的部分组皆线性无关；
（C）α1,α2 ,,αs 中 r −1个向量的部分组皆线性相关；
（D）
α1,
α
2
,
,
α
s
中任何
r
个向量的线性无关部分组与
-1-
题库
第三部分 线性方程组
14 、 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3 ， 已 知 η1,η2 ,η3 是 它 的 三 个 解 向 量 ， 且
= η1 (2, 3, 4, 5)= T ,η2 +η3 (1, 2, 3, 4)T ，则该方程组的通解为
。
15、设齐次线性方程组为 x1 + x2 + + xn = ο ，则它的基础解系中所含解向量的个数为
。
16、设四元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵的秩为 2，已知它的三个解向量为η1,η2 ,η3 ，且
η1 = (4, 3, 2,1)T ,η2 = (1, 3, 5,1)T ,η3 = (−2, 6, 3, 2)T ，则该方程组的通解为
线性方程组练习题
线性方程组练习题一、选择题1．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A 是3阶方阵时，（ ）(A ) r(A)=0 (B ) r(A)=1(C ) r(A)=2 (D ) r(A)=32．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）(A ) 21α+α(B ) 21α-α (C ) 21α+α+β (D ) 213231α+α+β3．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0A =，则A 中（ ）(A )必有一列元素全为0； (B ) 必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D )任意列向量是其余列向量的线性组合．4. 向量组件是线性相关的充分必要条s a a a ,,21 （ ）(A ) 中含有零向量s a a a ,,21 (B )、s a a a ,,21 中有两个向量的对应分量成比例(C ) s a a a ,,21 中每一个向量都可用其余1-s 个向量线性表示(D ) s a a a ,,21 中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示5、对于同一矩阵A ,关于非齐次线性方程组=Ax b (≠0b )和齐次线性方程组=0Ax , 下列说法中正确的是( )(A )=0Ax 无非零解时, =Ax b 无解 (B )=0Ax 有无穷多解时,=Ax b 有无穷多解(C )=Ax b 无解时, =0Ax 无非零解 (D )=Ax b 有唯一解时, =0Ax 只有零解6、设线性方程组=Ax b 的增广矩阵经初等行变换化为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→a a a b A 000102202,则此方程组( ) (A ) 有唯一解或有无穷多解 (B ) 一定有无穷多解(C ) 可能无解 (D ) 一定无解7、设A 是108⨯矩阵,秩(A )r =,则齐次线性方程=0Ax 有非零解的充分必要条件是( )(A ) 8r < (B ) 810r ≤≤ (C ) 10r < (D ) 0=A8、设12,αα是齐次线性方程组=0Ax 的两个解向量,12,ββ是非齐次线性方程组=Ax b 的两个解向量,则( )(A ) 12+αα是=Ax b 的解 (B ) 11+αβ是=0Ax 的解(C ) 12-ββ是=0Ax 的解 (D ) 11-αβ是=Ax b 的解9、设123,,ααα都是非齐次线性方程组=Ax b 的解向量,若123()k +-ααα 是导出组=0Ax 的解向量则k =( )(A ) 3 (B ) 2 (C ) 1 (D ) 0二、填空题1．设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则y=__________。
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
线性代数————第3章：线性方程组
线性代数————第3章：线性方程组一、例题解析：1．单项选择题（1）向量组[][][][]αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。
A. αα12,B. αα24,C. ααα134,,D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。
正确答案：D（2）设线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000103006211041231，则此线性方程组的一般解中自由元的个数为（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 4解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。
正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。
A. n A r =)(B. n A r >)(C. n A r <)(D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C（4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。
A. 21X X +B. 21X X -C. 212X X -D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212，所以122X X -是线性方程组B AX =的解。
正确答案：D2． 填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。
解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc
充 1：当 A 列 秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩 乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列 秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行 秩（或 B 可逆 ），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列 秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用 明 次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此 矩 AB 和 B 的列向量 有相同的 性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确 同解 .同理当 B 行 秩（或B 可逆） ， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元 性方程 有解, 且其系数矩 的秩r, 当 ______, 方程 有唯一解;当 ______ , 方程 有无 多解 .解：假 方程A m × n x = b, 矩 的秩 r ( A) r .当 r n , 方程 有惟一解 ; 当 r n , 方程 有无 多解 .4. 在 次 性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基 解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程 只有零解。
线性代数第四章线性方程组练题
线性代数第四章线性方程组训练题一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）A ．α1+α2B ．α1–α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，–1，3）T ，且系数矩阵A的秩R(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,–1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,–1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,–1)TD ．(1,0,2)T +k (2,–1,5)T3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ）A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C C C ．)()(212121121ββαββ-+++C C D ．)()(212121121ββαββ+++-C C 4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ， 1η+3η=（1，–2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,–2,1)TB ．(1,–2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,–2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T 5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α–2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α–2α是Ax=b 的解 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设m ×n 矩阵A 的秩为n –1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）A ．k ξ1，k ∈RB ．k ξ2，k ∈RC ．k ξ1+ξ2，k ∈RD ．k (ξ1–ξ2),k ∈R 8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）= r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解 9..设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002*********M M M ，则该方程组的通解为_________.12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.13.设A 为33⨯矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩R(A )= ___________.14.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2–4α1）=_________.16.设A 是m ×n 实矩阵，若R （A T A ）=5，则R （A ）=_________.17.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.三、计算题18．设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++=++12342243214321431x x x x a x x x x x x x问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.19．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解. 20.求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325432154321的通解.四、证明题21．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关.22．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.。
线性代数练习题-线性方程组部分
一，填空题1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()1231T -，则向量α＝________，β＝_____2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。
4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。
5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。
6若向量组)()()()(12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。
7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.8已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解，则a ＝_____。
二，选择题1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（ ）（A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα2.若A ＝12421110λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（ ）（A ）2； （B ）－1; (C)94; (D)12; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（ ）（A ）R )(A -n ； （B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))(n R +A 4.设12341234234234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-=⎩ 当λ取（ ）时，方程组有解。
线性代数第四章_线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 消元法 第二节 线性方程组解的讨论一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a ≠3且a ≠-1 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = -1 (-2不行吗？) 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x2131122()21111211114211200110211110002012100121212001100.00000202000r r r r r rc c x c x x y y c y c z w z z w w w --+--------==+==-=--=∴==--===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎧⎪⎛⎫⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎪⎩⎩为常数 即或2．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方0 程组无解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一，填空题
1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()12
31T -，则向量α＝________，β＝_____
2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____
3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。
4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。
5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。
6若向量组)()()()(
12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。
7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.
8已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
无解，则a ＝_____。
二，选择题
1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（ ）
（A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα
2.若A ＝12421110λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（ ）
（A ）2； （B ）－1; (C)94; (D)12
; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（ ）
（A ）R )(A -n ； （B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))(
n R +A 4.设123412342
34234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-=⎩ 当λ取（ ）时，方程组有解。
（A ）-12 (B) 12
(C)1- (D)1
三．计算题
1.设[][][]123111,123,13t ααα===
(1) 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关；
(2) 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关；
（3）当向量组123,,ααα线性相关时，将3α表示为1α和2α的线性组合。
2.求下列向量组的秩及一个极大无关组
()()()()12341131,1113,5289,1317.αααα==--=--=-
3．对于线性方程组1231231
23322λχχχλχλχχχχλχ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解
和有无穷多解；在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。
四．证明题
设123,,ααα是线性无关，试证明：
（1）112321233122,,βαααβαααβαα=+-=--=+线性无关；
（2）112321332323,,βαααβααβαα=++=+=+线性相关。
部分答案如下：
填空题
1.()()10592,7471T T
---- 2.－1，－1，3 3.无关 4 可逆 5无关 6 1,233;,ααα 7 t=3; 8 1a =-
选择题
1 C
2 C
3 C
4 A
计算题
1.(1)t=5; (2)5,t ≠ (3)3122ααα=-+
2..122;,;αα
3 (1)21λλ≠-≠且时,方程组有唯一解； （2）2λ=-时，方程组无解；
（3）121111001λχκκ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
－2－－时，＝00
证明略。