线性代数

1线性方程组

1. 三种行初等变换

倍加变换（某一行的倍数加到另一行）对换变换（两行交换）

倍乘变换（某一行所有元素乘以同一个非零数）

2. 行等价

一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。

行变换可逆。

3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。

4. 简化行阶梯矩阵

a) 非零行的先导元素为0

b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素

一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。

5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。

6. 向量的平行四边形法则

若R2中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。

[思考：即使u，v不是R2而是R3甚至R n中的向量，上述结论是否仍然成立？]

7. 向量方程

x1a1+x2a2+...+x n a n=b

和增广矩阵如下的线性方程组

[a1 a2 ... a n b]

和矩阵方程

Ax=b

有相同的解集。

8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。

9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价：

a) 对R m中每个b，Ax=b有解

b) R m中的每个b都是A的列的一个线性组合

c) A的各列生成R m（R m = Span{A各列}）

d) A在每一行都有一个主元位置（注意是A的每一行，*不*是A的增广矩阵的每一行）

10. 方程Ax=0有非平凡解的条件：至少有一个自由变量。

11. 如果非齐次方程有多个解，其解可表示为一个向量（这个向量也是非齐次方程的特解）加上相应的齐次方程的解。

或者说：非齐次方程解＝该方程特解＋对应的齐次方程的通解

12. 若一组向量v1，v2，...，v n组成的向量方程

x1v1+x2v2+...+x n v n = 0

仅有平凡解，则这些向量线性无关；否则这些向量线性相关。

同样，仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解，A的各列线性无关。

13. 单个的零向量线性相关，因为0x=0有非平凡解；同理，单个的非零向量线性无关。含有零向量的向量组必定线性相关。

14. 向量集线性相关，则其中至少一个向量是其他向量的线性组合；但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。

15. 若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组必定线性相关。

16. 仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断：看一个是否是另一个的倍数就可以了。

17. 矩阵A与向量x的积，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。下式中，A为矩阵，x为向量，x n为向量元素，a n为矩阵列。

Ax ＝x1a1+x2a2+...+x n a n

18. 设u，v是R3中的线性无关向量，那么span{v}是过零点和v的直线，span{u,v}是过u，v，0的平面。

19. 矩阵乘法Ax=b的另一种理解是，将矩阵A作用于向量x，产生新向量b。解方程Ax=b就是求出R n中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。

20. 符号T:R n->R m说明T的定义域是R n，余定义域是R m。T(x)的集合是T的值域。

21. 由R n到R m的每个线性变换都是矩阵变换，反之亦然（每个矩阵变换都是线性变换）。即对于线性变换R n->R m，存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax（对R n中一切x ）。

A可按下式求得：

A = [T(e1) T(e2) ... T(e n)]

其中e j是单位矩阵I n的第j列。A称为线性变换T的标准矩阵。

22. 若T的值域是整个余定义域，T是满射；若T是一对一的，T是单射。

23. 线性映射T是一对一的条件：Ax=0仅有平凡解。

24. 若T为线性变换，A为T的标准矩阵，那么：

当且仅当A的列生成R m时，T把R n映上到R m（即将R n映射到R m上，满射）；

当且仅当A的列线性无关时，T是一对一的。

2矩阵代数

1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。

同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。

例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；

AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。

2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n

3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。

4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b

5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。

6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。

设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。

因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。

因此，每个初等矩阵均可逆。

7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。

8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]

将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：

Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n

这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵

[A e1 e2 ... e n] = [A I]

如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。

[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]

9. 可逆矩阵定理

对于n阶方阵，以下命题等价：

a) A可逆

b) A与n阶单位矩阵等价

c) A有n个主元位置

d) 方程Ax=0仅有平凡解

e) A各列线性无关