大学物理第十四章

●缝数N 越多，暗区越宽，亮纹越窄越亮。
●缝数 N = 5 时 光栅衍射的光强分布图
包络线为单缝衍射
的光强分布图
中
央
次极大
亮
纹
主极大 （亮纹）
极小值
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
k=3
k=5
相邻主极大（明纹）间: N -1条暗纹,
N -2条次级大（次明纹）
第14章 光的衍射（Diffraction of light）
§14.1 光的衍射和惠更斯-菲涅耳原理 §14.2 单缝的夫琅禾费衍射 §14.3 圆孔夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领 §14.4 光栅衍射 光栅光谱 §14.5 X 射线的衍射
§14.1 光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理
一. 光的衍射
解(a：) asinθ = (2k +1)λ / 2 亮纹
sin θ ≈ tg θ ≈ θ = x / f
k= ax −1 =3 λf 2
a
(b) 当 k=3时，
a sin θ
=
(2k
λ + 1)
=
λ 7⋅
22
λ
AA1....2..C A2. A3.θ
B.
狭缝处波阵面可分成7个半波带。
θx
P f
例2：在单缝夫朗和费衍射实验中，屏上第3级暗纹对应的
能分辨
δϕ < ∆θ
不能分辨
δϕ = ∆θ 恰能分辨
能分辨 恰能分辨 不能分辨
●瑞利准则：对光学仪器，如果一个点光源衍射图样的
中央最亮处刚好与另一个点光源衍射图样的第一个最
暗处相重合，则这两个点光源恰好为该仪器所分辨.
S1
D
*
* S2
δθ 0
爱里斑
I
λ ●最小分辨角 δθ =θ 1≈ 1 .22 D
5λ sinθ
2a
1）.当a确定,λ ↑→ θ ↑ ( 衍射显著）
λ ↓→ θ ↓ ( 衍射不显著）
白光照射－－中央明纹为白色,二侧为彩色条纹(紫 红)
● 如果用白光照射，中央为白色明条纹，其
两侧各级都为
条纹，紫光在内。
2λ 2θ 1 = a
2 ).当λ确定，a ↑→ θ ↓（衍射不显著） 若a >> λ → θ → 0(即光直线传播 ) 几何光学是波动光学在 a >> λ 时的极限情况。
λ 2
sin θ ≈ tg θ = x f
± f (2k + 1) λ ，明，k = 1,2,...
a
2
( θ 很小 )
B
x
S
θ
A
四.条纹宽度 1.中央明纹的宽度为两个一级暗纹中心的间距:
sinθ ≈ θ
λ 角宽度 ∆θ 0 = 2θ1 ≈ 2 a λ λ 线宽度 ∆x0 = 2 fθ 1= 2 f a ∝ a
●单缝衍射产生的明暗条纹位置：
= 0 → 中央明纹 ,k = 0
Bθ
δ = a sinθ = ±kλ → 暗纹 ,k = 1,2,...
= ±(2k + 1) λ → 明纹 ,k = 1,2,...
a
2
0，零级明纹
C
x a sinθ ≈ a → x =
f
± f kλ，暗，k = 1,2,... a
A
§14.3 光学仪器的分辨本领
一.透镜的分辨本领
1.圆孔的夫琅禾费衍射
相对光
衍射屏 L
观察屏
强曲线
λ
θ1
中央亮斑
(爱里斑)
1 I / I0 0 1.22(λ/D) sinθ
圆孔孔径D f
爱里斑
λ sinθ1 ≈ 1.22 D
D ↑ λ ↓→ 爱里斑变小
2.光学仪器的分辨本领
••
D δϕ
δϕ > ∆θ
衍射屏 透镜
观测屏 x2
λ
∆θ
x1
Δx
θ1 0
Δx0
I
∆θ 0
f
2. 次极大条纹宽度
∆x ≈
fλ a
=
1 2
∆x0
3. 波长对条纹宽度的影响
∆x ∝ λ 波长越长，条纹宽度越宽
4. 缝宽变化对条纹的影响
∆x
=
1 2
∆x0
=
f
λ a
a
当 → 0 时，
λ
缝宽越小，条纹宽度越宽.
I
屏幕是一片亮
0
sinθ
● 人眼
设人眼瞳孔直径为D，
玻璃体折射率为n’，
可把人眼看成一枚凸
2 δy δ
1
n=1 L
n'=1.336 1
δ 2
透镜，焦距只有20毫 米，其成像实为夫琅和费衍射的图样. δ = 1 . 22 λ
D
射电望远镜
波多黎各射电望远镜
狭缝平移 光栅！
N
？
一. 光栅
§14.4 光栅衍射
1. 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)
●衍射角不同， a
最大光程差不 同，P点位置也 不同，光的强度 分布取决于最大 光程差.
B
(1)
θC
(2)
(1)
θ (2) (1)
A (2)
o
x P f
( f >> a )
二、菲涅耳半波带法
●将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的衍 射角（与原入射方向的夹角）相同。
●最大光程差
BC = a sinθ
∆x → 0
只显出单一的明条纹 ⎯⎯单缝的几何光学像
五.光强分布：
中央明纹 = 波面上所有光强之和
Bθ
次级明纹 = 波面上部分光强之和
a不变：θ ↑→ δ ↑→ k ↑
Ia
→ AB波面上半波带数 ↑→ I ↓
C
（未被抵消的半波带面积减少！）
A
λ −
λ
λ 2
a
a
讨论：
●
5λ 3λ
−
−
0
2a 2a
●
3λ 2a
●分辨本领 R ≡ 1 = D δθ 1.22λ
D ↑⎫ ⎬ →R↑
λ ↓⎭
●望远镜：λ不可选择，可 ↑ D →↑ R
●显微镜： D不会很大，可 ↓ λ →↑ R
3.人眼的分辩本领 ●人眼的分辨长度为0.1mm（10-4m）,角度约1/。
●光学显微镜的分辨长度不超过2×10-7m。
●电子显微镜的分辨长度可达0.144nm，与原子的大 小相当，可以看到单个原子。
λ
= 2π ( a + b ) sin θ λ
N束光: 合振幅：A = OM
光栅方程
M
●明纹条件：
∆Φ = ±2kπ → (a + b) sinθ = ±kλ
A0
A=NA0
k=0, 1, 2, … A
A = NA0
I ∝ N 2 A2
O
∆Φ ∆Φ ∆Φ ∆Φ
●明纹位置：
( a + b ) sinϕ
-2(λ /a) -(λ /a) 0 λ /a 2(λ /a) 次极大 中央主极大 次极大
sinθ
●中央主极大的光强.>>次极大的光强 ●次极大的光强随级别增大而减小
●衍射角范围-900——+900 ●对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，在 屏幕上光强介于最明与最暗之间。
三.条纹分布及其特征：
a
●相邻波面到观 察点距离均相差 λ/2的环形带波 面称为半波带。
B
(1)
θC
(2)
(1)
θ (2) (1)
A (2)
o
x P f
( f >> a )
二.半波带法
O点处： θ = 0，δ = 0 —— 中央明纹(中心) ● 当 衍 a sin射θ = λ 角 θ 使
时，可将缝分成两个“半波带”
→两个“半波带”上发的光在P 处干涉相消形成暗纹。
单缝处波面可划分为 6 个半波带？若将缝宽缩小一
半，原来第3级暗纹处将是 第一级明
纹。
暗纹公式： a sinθ = ±kλ
(k = 1,2,⋯)
k = 3 a sinθ = 6 λ 2
a
1λ λ
b sinθ = sinθ = 6 = 3
2
22 2
亮纹公式： a sinθ = ±(2k + 1)λ 2 (k = 1,2,⋯)
衍射指的是无限多的子波的相干叠加.
●二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该既考虑 双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。
例1、一束波长为λ =5000Å 的平行光垂直照射在一个单缝 上。a=0.5mm，f =1m ，如果在屏幕上离中央亮纹中心为 x=3.5mm 处的P点为一亮纹，试求(a)该P处亮纹的级数； (b)从P 处看，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？
N
λ
λ
( m ≠ Nk )
m = 1，2，3，..(.N 1 ), (N +1 ),(N +2 ),..,.(2 N 1 ),
(2 N +1 ),...
(N 1 )个极小 N (N 1 )个极小 2 N
一级极大
二级极大
●相邻主极大（明纹）间: N -1条暗纹,
N -2条次级大（次明纹）
k=-5
k=-3
k=-1
k=1
k=3
k=5
缺级：3，6，9,...... → a + b = 3 a1
k = a + b k′ a