2017山东高考文科数学试卷含答案

2017山东文
【试卷点评】
【命题特点】
2017年山东高考数学试卷，试卷结构总体保持了传统的命题风格，以能力立意，注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养，符合考试说明的各项要求，贴近中学教学实际，是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷．试题的顺序编排，遵循由易到难，基本符合学生由易到难的答题习惯，理科20题分两层进行分类讨论，其难度估计要大于21题的难度．从命题内容来看，既突出热点内容的年年考查，又注意了非热点内容的考查，对教学工作有较好的导向性．同以往相比，今年对直线与圆没有独立的考题，文理均在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系，对基本不等式有独立考查，与往年突出考查等差数列不同，今年对此考查有所淡化．具体看还有以下特点：
1．体现新课标理念，保持稳定，适度创新．试卷紧扣山东高考《考试说明》，重点内容重点考查，试题注重考查高中数学的基础知识，并以重点知识为主线组织全卷，在知识网络交汇处设计试题内容，且有适度难度．而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识，难度不大．2．关注通性通法．试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求．数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识最高层次的概括与提炼，也是试卷考查的核心．通过命题精心设计，较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想．利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程，将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致．
3．体现数学应用，关注社会生活．文理科均通过概率统计问题考查考生应用数学的能力，以学生都熟悉的内容为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向．
【命题趋势】
2018年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测2018年应特别关注：
1．函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多于单调性相关；对具体函数的基本性质(奇偶性、周期性、函数图像、函数与方程)、分段函数及抽象函数考查依然是重点．导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，命题变换空间较大，直接应用问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，其难度应会保持在中档以上．
2．三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图像和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视．向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是，考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大．
3．不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一．不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图像等相结合．
4．数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点．由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征，确定应对方法．少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现．
5．立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明，理科则倾向于证算并重，理科将更倾向于利用空间向量方法解题．
6．解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化．7概率与统计知识：概率统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多考查基础知识、基本应用能力的内容应包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、
频率分布直方图(表)、正态分布、假设性检验、回归分析等，而对随机变量分布列、期望等的考查，则易于增大难度，在分布列的确定过程中，应用二项分布、超几何分布等．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．
1．设集合M ＝{x | |x －1|＜1}，N ＝{x | x ＜2}，则M ∩N ＝
A ．(－1，1)
B ．(－1，2)
C ．(0，2)
D ．(1，2)
【解析】由|x －1|＜1得，0＜x ＜2，故M ∩N ＝{x | 0＜x ＜2}，故选C ．
2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( )
解析 由z i ＝1＋i ，得z ＝1＋i i ＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝－2i. A ．－2i B ．2i C ．－2 D ．2
3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，
y ≤2，，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，
y ≤2，画出可行域及直线x ＋2y ＝0，如图所示，平移x ＋2y ＝0发现，
当其经过直线x －2y ＋5＝0与y ＝2的交点(－1，2)时，z ＝x ＋2y 最大为－1＋4＝3，故选D ．
4．已知cos x ＝34
，则cos2x ＝( ) A ．－14 B ．14 C ．－18 D ．18
【解析】由cos x ＝34得，cos2x ＝2cos 2x －1＝2(34)2－1＝18
，故选D ． 5．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0，命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ．下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧¬q
C ．¬p ∧q
D ．¬p ∧¬q
【解析】由x ＝0时，x 2－x ＋1≥0成立知，p 是真命题，由12＜(－2)2，1＞－2可知q 是假命题，故p ∧¬q 是真命题，故选B ．
6．执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为 ( )
A ．x ＞3
B ．x ＞4
C ．x ≤4
D ．x ≤5
【解析】输入x 的值为4时，由x ＋2＝6，log 24＝2知，x ＝4不满足判断
框中的条件，只能是x ＞4，故选B ．
7．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )
A ．π2
B ．2π3
C ．π
D ．2π 【解析】因y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，故其周期为T ＝2π2
＝π，故选C ．
8．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单
位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A ． 3，5
B ． 5，5
C ． 3，7
D ． 5，7
【解析】由题意，甲组数据为56，62，65，70＋x ，74，乙组数据为59，61，67，60＋y ，78．要
使两组数据中位数相等，有65＝60＋y ，故y ＝5，又平均数相同，则56＋62＋65＋74＋70＋x 5＝15
(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3．故选A ．
9．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，
若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝ ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
【解析】由已知得a ＞0，故a ＋1＞1，∵f (a )＝f (a ＋1)，故a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，故f (1a
)＝f (4)＝2(4－1)＝6．
10．若函数e x f (x )(e ＝2．718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )
A ．f (x )＝2－x
B ．f (x )＝x 2
C ．f (x )＝3－x
D ．f (x )＝cos x
【解析】若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x [f (x )＋f ′(x )]＞0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )＞0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x －2－x ln 2＝2－x (1－ln 2)＞0，符合题意．经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．
解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝(e 2
)x ，在定义域R 上为增函数，A 正确．对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B
不正确．对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x
在定义域R 上是减函数，C 不正确．对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝ ．
【解析】由a ∥b 可得，－1×6＝2λ，故λ＝－3．
12．若直线x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为 ． 【解析】因直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，2)，故1a ＋2b ＝1(a ＞0，且b ＞0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8．当且仅当b a ＝4a b
，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立．故2a ＋b 的最小值为8．
13．由一个长方体和两个14
圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
【解析】由三视图可知，长方体的长宽高分别为2，1，1，圆柱的高为1，底面圆半径为1，故V
＝14π╳12╳1＋2╳1╳1＝π2
＋2． 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，
则f (919)＝ ．
【解析】因f (x ＋4)＝f (x －2)，故f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，故f (919)＝f (153×6
＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，故f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6．
15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，
消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pb 2a 2，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，故y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，故2pb 2
a 2＝p ，即
b 2a 2＝12⇒b a ＝22．故双曲线渐近线方程为y ＝±22
x ． 法二 (点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2
，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1
＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩
⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22
x . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．
⑴．若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
⑵．若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．
【解析】⑴．由题意得，从这6个国家中任选2个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{ A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个，所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，故所求事件的概率为P ＝315＝15
； ⑵．从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}共9个，包含A 1
但不包括B 1的事件所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}共2个，故所求事件的概率为P ＝29．
17．(本小题满分12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC
→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a ．
【解析】因AB →·AC →＝－6，故bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，故bc sin A ＝6，故tan A ＝－1，又0＜A
＜π，故A ＝3π4．又b ＝3，故c ＝22．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×(－22
)＝29，故a ＝29． 18．(本小题满分12分)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD ．
(1)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；
(2)设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1．
证明 (1)取B 1D 1的中点O 1，连接CO 1，A 1O 1，由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是四棱柱，故A 1O 1∥OC ，A 1O 1＝OC ，因此四边形A 1OCO 1为平行四边形，故A 1O ∥O 1C ，又O 1C ⊂平面B 1CD 1，A 1O ⊄平面B 1CD 1，故A 1O ∥平面B 1CD 1．
(2)因AC ⊥BD ，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，故EM ⊥BD ，又A 1E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故A 1E ⊥BD ，因为B 1D 1∥BD ，故EM ⊥B 1D 1，A 1E ⊥B 1D 1，又A 1E ，EM ⊂平面A 1EM ，A 1E ∩EM ＝E ，故B 1D 1⊥平面A 1EM ，又B 1D 1⊂平面B 1CD 1，故平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1．
19．(本小题满分12分) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．
【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，
所以a n ＝2n ． (2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2
＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1．令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12
n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12
n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n
．
20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R ． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；
(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】(1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，故当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，故f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0．
(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，故g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )，令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，故h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，故，当x ＞0时，h (x )＞0；当x ＜0时，h (x )＜0．
①当a ＜0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a ＜0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(a ，0)时，x －a ＞0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．故，
当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16
a 3－sin a ，当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a ．
②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；故g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值．
③当a ＞0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a ＜0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a ＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．故，当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16
a 3－sin a ． 综上所述：当a ＜0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a ，0)上单调递减，函
数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16
a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，
在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16
a 3－sin a ．
21．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22
，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为22．
⑴．求椭圆C 的方程；
⑵．动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值． 【解】⑴．由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)．又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b
2＝2，故a 2＝4，b 2＝2，因此椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1． ⑵．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，由Δ＞0得m 2＜4k 2＋2(*)．且x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1
，故D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，又N (0，－m )，故|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m 2k 2＋1＋m 2
，整理得|ND |2＝4m 2（1＋3k 2＋k 4）（2k 2＋1）2，因|NF |＝|m |，故|ND |2
|NF |2＝4（k 2＋3k 2＋1）（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2．令t ＝8k 2＋3，t ≥3．故2k 2＋1＝t ＋14，故|ND |2|NF |2＝1＋16t （1＋t ）2
＝1＋16t ＋1t
＋2．令y ＝t ＋1t ，故y ′＝1－1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0，故|ND |2
|NF |2
≤1＋3＝4，由(*)得－2＜m ＜2且m ≠0．故|NF ||ND |≥12，设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，故θ的最小值为π6．从而∠EDF 的最小值为π3
，此时直线l 的斜率是0．
综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3
．。