3.4基本不等式(公开课必备)

不满足“一正”
不满足“二定”
不满足“三相等”
三、归纳总结：
1. 两个不等式
(1)a, b R,那么a 2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
比较重要不等式和基本不等式：
a2 b2≥2ab
a b≥ ab 2
适用范围
a,b∈R
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
口诀：一正、二定、三相等
练习 1 (1)已知 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值；
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解:(1) ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2
1x2·3x＝12，
当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号.
∴f(x)的最小值为12.
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
第三章 不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
问题导学
题型探究
归纳总结
问题导学1：
该图是在北京召开的 第24界国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表中国 人民热情好客。
＝240
000＋720×x＋1
600
x

≥240 000＋720×2
1 x·
6x00＝297
600(元)，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，y 取得最小值 297 600.
答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为
归纳总结 基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是 正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 定值；求和x＋y的最 小值时，应看积xy是否为 定值； (3)等号成立的条件是否满足.
即：已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S

xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
错 大家来找茬： 在哪里？
(
1)已知
x
<
0, 求
x

1 x
的最值;
解
:
x

1 x

2
x×
1 x
2,
\原式有最小值 2.
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
问题导学2：
观察下图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
AC a,BC b A
C
E
基本不等式
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号.
分
析 法
①
②
(a 0,b 0, a ( a )2,b ( b )2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式定义
若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
练习2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800
m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造
价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是
多少？
解
设水池底面一边的长度为x
m，
则另一边的长度为4
800 3x
m.
wenku.baidu.com
又设水池总造价为y元，根据题意，
得 y＝150×4 8300＋120×(2×3x＋2×3×4 38x00)
“=”成立条 件
a=b
a=b
二、题型探究
题型一 基本不等式与最值
例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋4x的最小值，并求此时 x 的值；
一正
二定
解 当 x>0 时，x＋4x≥2 x·4x＝4，
三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
解 ∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，
“1”的代换
∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16，
当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正： 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大 值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
(2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值；
一正
解 ∵0<x<32，∴3－2x>0，
二定 凑项：使和成定值
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
三相等
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab
(a 0,b 0)
问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
证明：要证 a b ≥ ab
只要证 2 a b≥ _2___a_b__ 要证①，只要证 a b _2__a_b_ ≥0
你能在这个图案中找 出一些相等关系或不等关 系吗？
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
a b 2
2
S=＿＿＿＿＿
C ２、四个直角三角形的
面积和 S’
=＿2a＿b
３、S与S’有怎样的不 等关系？
B
S>S′
那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S

xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
口诀：一正、二定、三相等
由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得 xy≤81，
当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最 大面积为81 m2.
反思与感悟
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标 量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大 (小)值及取最大(小)值的条件.
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
题型二 基本不等式在实际问题中的应用 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形 的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
(3)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值；
一正
解 ∵x>2，∴x－2>0，
二定 凑项：使积成定值
∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2
三相等
x－2·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立.
∴x＋x－4 2的最小值为 6.
(4)已知 x>0，y>0，且 1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值.
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
问题一 如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a,b, 可得到什么结论？
由x＋2 y≥ xy，可得 x＋y≥2 100，2(x＋y)≥40.
等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱 笆为40 m.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.