图像处理之逆透视变换
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x0 x x0 x y y T y0 T y0 A A z z z z 0 0 1 1 0 0
第零章 前言
• 本文以智能车摄像头图像处理为背景 • 解决了根据图像信息逆透视变换得到赛道 信息的问题 • 以线性变换阵作为理论基础给出了矩阵变 换公式
第一章 基础知识
• • • • 点的表示 向量的表示 线性变换 线性变换的表示
点的表示
• • • • • • 三维空间中的点用1×4的矩阵表示： (x, y, z, 1) 一般的： (x, y, z, w) 与 (x/w, y/w, z/w, 1) 表示同一点 其中 w==1 为标准型
a 11 ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) a 21 (x, y) (x0, y0) A
二维旋转变换
设 初始点 为 (x 0 , y 0 )，以原点为中心逆时针 re i 0 re e
i 0 i
旋转 后得新点 (x, y)
re i ( 0 )
向量的表示
• 三维空间中的向量用1×4的矩阵表示： • (x, y, z, 0) • 最后一位不得非零，否则表示点
点与向量之间的运算
• 向量±向量=向量 • 点±向量=点 • 点±点±点=点
x 0 x 0
n
y x x 0 z 0 0 1 y 1 z 1 0 2 y 2 z 2 0 y x x 0 z 0 1 1 y 1 z 1 0 2 y 2 z 2 1
• 或简记为：
1 2
y y f ( x x )
1 2
四维向量空间
• 三维点由1×4的矩阵表示 • 三维向量由1×4的矩阵表示 • 1×4的矩阵构成四维向量空间
四维向量空间中线性变换的表示
• 对于三维空间中的点和向量，都由四维向 量表示 • 四维向量空间中线性变换可由四阶方阵表 示
x 0 x 0
y A x yz1 0 z 0 1
y A xyz0 0 z 0 0
• A是线性变换阵，前者表示三维点，后者表 示三维向量 • 乘法按照矩阵相乘的计算法则计算
线性变换的表示
• 也可将四维向量看成列向量，此时线性变 换可表示为左乘线性变换阵 • 相应的变换阵转置
第二章基本线性变换
• • • • • • • 恒等变换 变换阵分区 平移变换 缩放变换 旋转变换 切变变换 投影变换
– 平行投影变换 – 透视投影变换
• 组合变换 • 逆变换
恒等变换
• 任意三维点与向量乘以单位阵后不变
1 1 z 1 x y z 1 1 1 1 1 z 0 x y z 0 1 1
x0 r cos 0 y0 r sin 0
r [cos( 0 ) i sin( 0 )] r [(cos 0 cos sin 0 sin ) i (sin 0 cos sin 0 cos )] ( x 0 cos y 0 sin ) i ( y 0 cos x 0 sin ) x x 0 cos y 0 sin y y 0 cos x 0 sin cos x y x 0 y 0 sin
x
y
x
y
变换阵分区
a 11 a 21 a 31 a 41
旋转缩放与切变变换区
a 12 a 22 a 32 a 42
平移变换区
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
透 视 变 换 区
平移变换
• 平移变换只对点有效，对向量无效
1 1 x y z 1 x x y y z z 1 1 x y z 1 1 1 x y z 0 x y z 0 1 x y z 1
缩放变换
• 主对角线前三维能分别缩放某个维度 • 第四维整体缩放所有维度
x y z 1 x y z w w
x y z 1 w w w
旋转变换
• 二维旋转变换： • 已知点 ( x0 , y0 ) • 求该点绕原点逆时针旋转θ后的坐标 ( x, y )
x y x y f (x0, y0) g (x0, y0) a 11 x 0 a 12 y 0 a 21 x 0 a 22 y 0 a 12 a 22
a11 a 21 A a31 a 41 a12 a13 a 22 a32 a 42 a 23 a33 a 43 a14 a 24 a34 a 44
Hale Waihona Puke Baidu
四维向量空间中线性变换的表示
• 若将四维向量看成行向量，则线性变换可 表示成对四维向量右乘变换阵的形式：
图像处理之逆透视变换
——智能车背景理论知识 系列专题讲座之一
主讲人：虞坤霖
目录
• • • • • • • • 第零章 前言 第一章 基础知识 第二章 基本线性变换 第三章 智能车摄像头透视变换阵 第四章 不可逆与信息丢失 第五章 逆透视变换阵的求解与应用 第六章 用逆透视变换阵处理图形 附 线性变换阵在空间定位中的应用
x y z x y z x y z n 1 i i i 1 n n n i 1
线性变换
X Y 或 y f ( x ) • 变换即映射，记为： f: • 满足如下两个条件的变换为线性变换
y f ( x )
y x 1 y 2 f( 1 x 2)
第零章 前言
• 本文以智能车摄像头图像处理为背景 • 解决了根据图像信息逆透视变换得到赛道 信息的问题 • 以线性变换阵作为理论基础给出了矩阵变 换公式
第一章 基础知识
• • • • 点的表示 向量的表示 线性变换 线性变换的表示
点的表示
• • • • • • 三维空间中的点用1×4的矩阵表示： (x, y, z, 1) 一般的： (x, y, z, w) 与 (x/w, y/w, z/w, 1) 表示同一点 其中 w==1 为标准型
a 11 ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) a 21 (x, y) (x0, y0) A
二维旋转变换
设 初始点 为 (x 0 , y 0 )，以原点为中心逆时针 re i 0 re e
i 0 i
旋转 后得新点 (x, y)
re i ( 0 )
向量的表示
• 三维空间中的向量用1×4的矩阵表示： • (x, y, z, 0) • 最后一位不得非零，否则表示点
点与向量之间的运算
• 向量±向量=向量 • 点±向量=点 • 点±点±点=点
x 0 x 0
n
y x x 0 z 0 0 1 y 1 z 1 0 2 y 2 z 2 0 y x x 0 z 0 1 1 y 1 z 1 0 2 y 2 z 2 1
• 或简记为：
1 2
y y f ( x x )
1 2
四维向量空间
• 三维点由1×4的矩阵表示 • 三维向量由1×4的矩阵表示 • 1×4的矩阵构成四维向量空间
四维向量空间中线性变换的表示
• 对于三维空间中的点和向量，都由四维向 量表示 • 四维向量空间中线性变换可由四阶方阵表 示
x 0 x 0
y A x yz1 0 z 0 1
y A xyz0 0 z 0 0
• A是线性变换阵，前者表示三维点，后者表 示三维向量 • 乘法按照矩阵相乘的计算法则计算
线性变换的表示
• 也可将四维向量看成列向量，此时线性变 换可表示为左乘线性变换阵 • 相应的变换阵转置
第二章基本线性变换
• • • • • • • 恒等变换 变换阵分区 平移变换 缩放变换 旋转变换 切变变换 投影变换
– 平行投影变换 – 透视投影变换
• 组合变换 • 逆变换
恒等变换
• 任意三维点与向量乘以单位阵后不变
1 1 z 1 x y z 1 1 1 1 1 z 0 x y z 0 1 1
x0 r cos 0 y0 r sin 0
r [cos( 0 ) i sin( 0 )] r [(cos 0 cos sin 0 sin ) i (sin 0 cos sin 0 cos )] ( x 0 cos y 0 sin ) i ( y 0 cos x 0 sin ) x x 0 cos y 0 sin y y 0 cos x 0 sin cos x y x 0 y 0 sin
x
y
x
y
变换阵分区
a 11 a 21 a 31 a 41
旋转缩放与切变变换区
a 12 a 22 a 32 a 42
平移变换区
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
透 视 变 换 区
平移变换
• 平移变换只对点有效，对向量无效
1 1 x y z 1 x x y y z z 1 1 x y z 1 1 1 x y z 0 x y z 0 1 x y z 1
缩放变换
• 主对角线前三维能分别缩放某个维度 • 第四维整体缩放所有维度
x y z 1 x y z w w
x y z 1 w w w
旋转变换
• 二维旋转变换： • 已知点 ( x0 , y0 ) • 求该点绕原点逆时针旋转θ后的坐标 ( x, y )
x y x y f (x0, y0) g (x0, y0) a 11 x 0 a 12 y 0 a 21 x 0 a 22 y 0 a 12 a 22
a11 a 21 A a31 a 41 a12 a13 a 22 a32 a 42 a 23 a33 a 43 a14 a 24 a34 a 44
Hale Waihona Puke Baidu
四维向量空间中线性变换的表示
• 若将四维向量看成行向量，则线性变换可 表示成对四维向量右乘变换阵的形式：
图像处理之逆透视变换
——智能车背景理论知识 系列专题讲座之一
主讲人：虞坤霖
目录
• • • • • • • • 第零章 前言 第一章 基础知识 第二章 基本线性变换 第三章 智能车摄像头透视变换阵 第四章 不可逆与信息丢失 第五章 逆透视变换阵的求解与应用 第六章 用逆透视变换阵处理图形 附 线性变换阵在空间定位中的应用
x y z x y z x y z n 1 i i i 1 n n n i 1
线性变换
X Y 或 y f ( x ) • 变换即映射，记为： f: • 满足如下两个条件的变换为线性变换
y f ( x )
y x 1 y 2 f( 1 x 2)