渐近位移法
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结构力学李廉锟 第9章_渐近法
F BA
100kN.m
M
F BC
M
F CB
0
§9-2 力矩分配法的基本原理
M
F BA
u MB
B
F M BC
u F F MB MBA MBC 100 kN .m
放松状态: 需借助分配系数,
传递系数等概念求解
B
u MB
A
B
C
§9-2 力矩分配法的基本原理
20 kN / m 40 kN .m
M B ( M BA M BC ) ( S BA S BC ) B
§9-2 力矩分配法的基本原理
转角为:
MB MB B S BA S BC S ( B )
∑ S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。 MB S BA MB 近端弯矩MBA、MBC为 M BA S BA S( B ) S( B )
0 0 0
-1/4 1/4 1/8
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
M
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁
例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。
9 kN/m
A B
80 kN
4．不平衡力矩
固定状态:
固端弯矩---荷载引起
q 12kN / m
B
A
EI
B
EI
C
10 m
q 12kN / m
10 m
u MB
的单跨梁两端的杆 端弯矩，绕杆端顺 时针为正。
第6章 位移法
0
1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
结构力学中力法位移法区别
结构⼒学中⼒法位移法区别结构⼒学中⼒法，位移法和渐近法的区别
渐近法：
1．渐近法是位移法的变体。
2．计算过程：
（1）固定结点即加⼊刚臂。
此时各杆端有固端弯矩，⽽结点上有不平衡⼒矩（结点汇集的所有杆端弯矩的总合，不平衡的总和叫不平衡⼒矩），它暂时由刚臂承担。
（2）放松结点即取消刚臂，让结点转动。
这相当于在结点上⼜加⼊⼀个反号的不平衡⼒矩，于是不平衡⼒矩被消除⽽结点获得平衡。
此反号的不平衡⼒矩将按劲度系数⼤⼩的⽐例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各⾃向其远端进⾏传递，各远端得到传递弯矩。
最近，各近端弯矩等于固端弯矩加分配弯矩，各远端弯矩等于固端弯矩加传递弯矩。
3．理解：先固定结点得到固端弯矩，在⼒矩不平衡的结点处，加⼀个弯矩M1让结点平衡，将M1按分配系数分配到近端（相对节点的杆端），再以传递系数传递到远端。
如果多结点，别的结点会传递弯矩过来，传递过来后本节点⼒矩⼜不平衡了，重复上述步骤。
力矩分配法
1渐近法2用力法、位移法分析超静定结构，都需要求解多元联立方程组，求出基本未知量。
当未知量较多时，计算颇为繁重。
渐近法—采用逐步地逼近真实解的方法。
渐近法主要有：一、渐近法概述(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。
(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。
(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
3力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
4只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
？力矩分配法的适用范围：力矩分配法的适用范围：5只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
√6力矩分配法以杆端弯矩为计算对象，采用：固定放松分配、传递逐次逼近杆端弯矩的精确解。
计算原理及符号规则均与位移法相同，只是计算过程不相同。
7计算过程：1.固定结点求出固定状态的杆端弯矩FijM 附加刚臂处的不平衡弯矩iM依次将结点上的不平衡弯矩反号分配于各杆近端，并传向远端。
2.逐次放松各结点8若干次循环计算= 也即逐次恢复转角的过程直接表达为各杆端弯矩逐次修正的过程放松结束，也即变形（转角）、内力趋于实际状态。
9——基本运算A BCM ABM BAM BC A BCM FAB M FBAM FBCM BM BM F BAM F BCM B =M F BA +M F BCABC－M BBAM ′BCM ′AB M ′0－M BBAM ′BCM ′)(B BA BAM M −⋅=′μ)(B BC BCM M −⋅=′μ+=最后杆端弯矩：M BA =M F BA +BAM ′M BC =M F BC +BCM ′M AB =M F AB +AB M ′然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
固端弯矩带本身符号单结点的力矩分配分配系数分配弯矩10例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1）固定B 结点A BC 200kN 20kN/m M F AB =M F BA =M F BC=mkN ⋅−=×−15086200m kN ⋅150m kN ⋅−=×−9086202M B =M F BA + M F BC =m kN ⋅60－150150－90（2）放松结点B，即加-60进行分配60A B C－60设i =EI/l 计算转动刚度：S BA =4iS BC =3i分配系数：571.0344=+=i i iBAμ429.073==iiBCμ0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0−=−×=′BAM 7.25)60(429.0−=−×=′BCM －34.3－25.7－17.2+(3) 最后结果。
结构力学 第十章 渐近法
然后再依次放松1、2结点， 进行第二、三…轮计算。
最后：
1'
1
，
' 2
2
二、举例说明
例1：计算分配系数：
10
4i 4i 4i
0.5 , 12
50KN/m
4i 4i 4i
0.5 , 21
200KN
4i 4i 3i
4
7,
23
3i 4i 3i
3
7
0
1
2
3
i=1
i=1
i=1
0.5 0.5
M 13
M
13
M
F 13
M 14
M
14
M
F 14
远端弯矩(传递弯矩)：
M 21 0
M31 (
M
F 1j
S1 j
)S13
•
C13
M
F B1
C13 13(
M
F 1j
)
M
F 3M
C 31
—
—将各近端弯矩以传递系数的比例传递到各远端）
同理：
M
41
M
C 41
M
F 41
第十章 渐近法
§10-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
P
1
2
12
锁住结点1、2：
1
P 2
1 2 0
放松结点1 ：
P 1 1' < 1 2
1 1 2 0
第十章 渐近法
§10-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
重新锁住1结点，放松2结点：
P
1
2' < 2 2
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
渐近法
各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1 角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 9 数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。
得出上述规律后，可不必绘
MP图也不必列出和求解典
型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程分为 两步：
(1)固定结点 加入刚臂，此时各杆端有固端弯矩，结点上有不平衡 力矩，它暂时由刚臂承担。
B
4
(2)传递系数Cij
1
当近端转动时，远端也产生一 M AB 定的弯矩，好比近端弯矩按一定比 =4i 1 例传到远端一样。 A 远端与近端弯矩之比称为近端 MAB 向远端的传递系数，用CAB表示。 =3i
或MBA=CABMAB 远端固定时：
1 A
MAB =i
A
EI
L SAB=MAB=4i
B
MBA =2i
+1.16 -1.16
+4
17
注意:
1. 分配系数小于1，传递系数也小于1，一轮分配、 传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经 无限次分配、传递一定达到平衡，可获得精确解。 2.分配和传递从不平衡力矩最大的结点开始，经验证 明这样可加速收敛。 3.由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种 逐渐逼近精确解的近似方法。 4.实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递 (考试只进行二轮即可)。
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
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感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
第8章力矩分配法
1 4
传递系数
远端固定，CAB=0.5
远端简支，CAD=0
远端滑动，CAC=-1
D i
分配系数
AB
2 3
AC
1 12
AD
1 4
120kNm
A
2i
i
C
传递系数
CAB=0.5
CAD=0
CAC=-1
B
D
80kNm A 30kNm
B 40kNm
10kNm C
M图
杆端弯矩
M AB
AB M
2 *120
3
固端弯矩
分配和传 递弯矩 杆端弯矩
A -150 -17.2
-167.2
分配系数
4 7
150
3 7
B
-90
-34.3 -25.7
115.7 -115.7
167.2 A
115.7
300
90
B 32.1
158.5
M图(单位kNm)
C 0 0 0 单位kNm
C
单结点力矩分配法计算举例
3）非结点荷载作用刚架
渐近法概述
1、线性代数方程组的解法: 直接法，渐进法
2、结构力学的渐近法:
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。
3、位移法方程的两个特点:
(1)每个方程一般不超过五项式； (2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij，
适于渐近解法。
80kNm
M AC AC M 10kNm
M AD AD M 30kNm
M BA CAB M AB 40kNm
M CA CAC M AC 10kNm
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
渐近法——力矩分配法的基本概念
作业： 8－１，8－４
qL2 8
mB
1 8
qL2
4 56
qL2m
＝
＋
1 M (qL2 )
28
整个过程没有求解位移
q C
i
L
3 56
qL2
2 56
qL2
L
三、力矩分配法的一般概念
（1） 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上 等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的 力矩。用符号S表示。
转动刚度只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。
第八章 渐近法
§8-1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的特点与适用条件 1. 力矩分配法与无剪力分配法是求解超静定结构
的有效方法，是在位移法基础上发展起来的渐近法。
2. 渐进法的特点
3. 力矩分配法适合求解 连续梁与无侧移刚架
4. 力矩分配法顾名思意是对结构进行力矩分配,
因此研究对象是各杆端的 杆端弯矩。
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
例5: 作图示梁的弯矩图
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
0.6 0.4
问：固端力矩＝？ 最终杆端力矩＝？
例6: 用力矩分配法计算图示刚架
100kN
40kN/m
A i
Bi
C
2i
4m
D
2m 2m
4m
46
58 74
100
80
16
M图（ kN.m ） 8
二、力矩分配法的解题思路 例1：用位移法求解图示刚架 (1) 加约束,固定结点B
mB
C
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(渐进法及其他算法简述)【圣才出品】
第8章渐近法及其他算法简述8.1 复习笔记本章介绍了几种属于位移法类型的渐近方法。
这些渐近方法的基础是力矩分配法，在力矩分配法的基础上，衍生出了适用于不同结构类型的子方法，如无剪力分配法、分层计算法、反弯点法。
渐近法舍弃了一部分精度，但以此换来了更高的效率。
一、力矩分配法的基本概念（见表8-1-1）1．转动刚度、分配系数、传递系数表8-1-1 力矩分配法的基本概念2．基本运算环节（单结点转动的力矩分配）（见表8-1-2）表8-1-2 单结点转动的力矩分配图8-1-1图8-1-2二、多结点的力矩分配（见表8-1-3）表8-1-3 多结点的力矩分配图8-1-3三、无剪力分配法（表8-1-4）表8-1-4 无剪力分配法图8-1-4四、近似法（见表8-1-5）表8-1-5 近似法图8-1-5 分层法五、超静定结构各类解法的比较和合理选用（见表8-1-6）表8-1-6 超静定结构各类解法的比较和合理选用8.2 课后习题详解8-1 试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构，并作M图。
图8-2-1解：（a）求固端弯矩M AB F＝－F P l/8＝－20kN·m，M BA F＝F P l/8＝20kN·m求分配系数μBA＝EI/（EI＋EI/2）＝1/（1＋1/2）＝0.667，μBC＝（EI/2）/（EI＋EI/2）＝（1/2）/（1＋1/2）＝0.333放松B点进行力矩分配（B点的集中力偶应该与固端弯矩一起分配），分配过程如图8-2-2所示，并作出M图如图8-2-2所示。
图8-2-2（b）考虑去掉悬臂部分CD，去掉后在C点施加大小为10kN·m的顺时针力偶矩。
求固端弯矩（注意，C点的附加力偶传递到B点的作用不能忽略）M BC F′＝－3F P l/16＝－18kN·m（集中力引起）M BC F″＝1/2×10kN·m＝5kN·m（附加力偶引起）M BC F＝M BC F′＋M BC F″＝－13kN·m，M CB F＝10kN·m。
渐近法
第九章渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
渐近法
A
EI
B
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 8
6
150kN
m
C
MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
6m
FP 2=8 k N
1
A
6m
(a
FP 1 =1 0 k N
F P2=8kN
1
A
60kNm 1 14kNm
28kNm MA=63kNm
A
21kNm
解：计算结点力矩MA：
1）计算固端弯矩：参照图(b)
FP 1=1 0 k N
FP 2=8 k N
-9kNm
1
A
(b) M图F
M
F A1
1 8
68
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
1
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及
远端支承有关， 而与近端支承无关。
2019/11/30
25
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD SAB = 4i
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
渐近法
C
Aj
M M
jA Aj
在等截面杆件中，传递系数C随远端的支撑情况
而不同，数值如下：
远端固定， 远端铰支， 远端滑动，
应用：
1 C 2 C 0 C 1
M
jA
C Aj M Aj
2、计算。
例1：图示为无结点线 位移刚架，在结点A有 力偶荷载M=100KN.m 作用，用力矩分配法 计算各杆杆端弯矩。
AE
AE
各杆传递弯矩
M M M
C AB M AB 1 50 25 KN m 2 C AC M AC 0 37.5 0 KN m CA
BA DA
C AD M AD 1 12.5 12 .5 KN m
12.3 单结点的力矩分配——基本运算
12.2 力矩分配法的概念
一、正负号规定
1、杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩：对杆端
顺时针转为正号； 2、作用于结点的外力偶荷载、作用于转动约 束的约束力矩：对结点或约束顺时针转动为 正号。 二、结点力偶的分配和传递 1、位移法计算
k F M 4i M 3i M i
例题1：
例题2：
作业：
12.4 多结点的力矩分配——渐近运算
以一个三跨连续梁的模型说明渐近的过程：
第一步：在结点B、C加上约束，阻止结点转动，
求约束力矩MA和MB。 第二步：放松结点B，结点C仍然锁住，求结点B上 的分配弯矩，此时结点C上的约束力矩为 M M M 第三步：放松结点C，结点B再加上约束，求结点C 上的分配弯矩， 再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B和结点 C的约束，进行分配和传递，直到累计的连续梁的 变形和内力逐步渐近连续梁实际的变形和内力。
13次作业 渐近法 矩阵位移法作业
0 12 30 0 -12 30 0 300 0 0 -300 0
0 30 100 0 -30 50 -30 0 100 30 0 50
-300 0 0 300 0 0 -12 0 30 12 0 30
0 -12 -30 0 12 -30 0 -300 0 0 300 0
0 30 50 0 -30 100 -30 0 50 30 0 100
0 0 0
0
0 0 0
1
0 0 0
0
0 -1 0
0
1 0 0
0
0 0 1
12 0
0 300
-30 0
-12 0
0 -300
-30 0
-30
-12 0 -30
0
0 -300 0
100
30 0 50
30
12 0 30
0
0 300 0
50
30 0 100
超静定结构力法计算
300 0 0 -300 0 0 12 0 -30 -12 0 -30
超静定结构力法计算
第5题 C
3.8m
B
3.8m
A
8m
1）结构分析：对称结构，分解成正对称和反对称部分的和；
超静定结构力法计算
第5题 C C
B
B
A
A
1）结构分析：对称结构，分解成正对称和反对称部分的和； 反对称部分取半边结构，如图
超静定结构力法计算
第5题 C D
B
E
A 1）结构分析：对称结构，分解成正对称和反对称部分的和； 反对称部分取半边结构，如图
结构力学习题 讲解
Welcome
樊魁
超静定结构力法计算
结构力学第8章渐近法及其它算法简述
3Pl 16
3 ql 2 16
（3）力矩分配与传递，绘制弯矩图。
0.25
ql 2
6 17ql 2 192
5ql 2
64
0.75
3ql 2 16
51ql 2 192
5ql 2 64
ql2 3
17 ql 2 192
27ql2 64
5 ql 2 64 27 ql 2 64
3
EI 3
AG AC 0.5
结点C：
SCA
4iCA
4
EI 3
4 3
EI
SCE
4iCE
4 EI 3
4 EI 3
EI 2
S CH
iCH
1.5
EI 3
CA CE 0.4
CH 0.2
（3）计算固端弯矩
M
F AG
ql 2 3
15kN m
M
4 8
M
2 EI
M
1 EI 4
EI
3
L
L
围绕“1”结点每个杆端 的转动刚度之和
分母是围绕“1”结点每个 杆端的转动刚度之和
L
计算公式： ij
Sij Sij
i
● 求各杆的分配系数
显然
ij 1
i
12
3i
i i
4i
1 8
13
3i
4i i
4i
4 8
14
3i
3i i
例2.用力矩分配法计算图示刚架, 画M图。
解：1）求分配系数μ
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0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
0.03 0.06 0.03 0.02 －0.01 －0.01 －0.01
M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
51.8
56.4
A
B
68.2
求支座反力
B 68.2 56.4
6.9 C
Q图（kN） D
43.6
2019/11/30
124.6
10
上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法(Jacobi iterative method)：
10B 3C 240 0
B 3C 200 0
2019/11/30
18
结点7.11↓↓↓↓↓↓↓↓2↓0↓kAN/m
7.11
杆端 AG
AC
CA
μ
0.5
0.5
0.4
0m.78 －2.6135 2.63
7.5 7.5 1.58 －1.508.75
3.75 －1.50
0.37 0.38 M图（kN.m)
0.19
0.79
－ 0.04 0.79－0.08
92.6 -92.6 92.6
41.3 -41.3
0
41.3
A 20129/111.9/30
B
133.1
C
D
M图（kN·m）
iAB
1 6
iBC
2 8
1 4
iCD
1 6
B
S
BA
4
1 6
2 3
S
BC
4
1 4
1
2
BA
3 1 2
3
0.4
BC 0.6
6
例1. 用力矩分配法作图示连续梁
的16弯7.2矩图。 200kN115.7 300
M图(kN·m) 20k9N0/m
A
EI
B
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 8
6
150kN
C
MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
m
200kN 60 20kN/m
D
A
1B
3
1C 1
4
1
E
2
F
4m 5m
4m
43.5 46.9 3.45
A
24.5 14.7 9.8
1.7 4.89
M图 (kN m)
2019/11/30
2m 4m
BBA 0.3
BC 0.4 BE 0.3
C
CB CD
0.445 0.333
CF 0.222
15
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
结点 杆端
μ
m
A
E
B
C (-20) F
AB EB BE BA BC CB CF FC
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
B
I2
l2
C
解：取等代结构如图。
设梁柱的线刚度为i1，i2
SBE 2i1 SBF 2i2
BF
i1
i2 i2
BE
i1
i1 i2
m 2019/11/30BE
q 3
(
l1 2
)
2
ql12 12
μ
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D
q
l1
q
↓↓↓↓↓↓↓
E
2i1
B
2i2
F
BE
i1 i1 i2
C=-82.89
-82.06
MBC=
4iBCB+2
iBCC-100
=4
1 4
48.84
2
1 4
(82.89)
100
92.6
2019/11/30
11
力矩分配法小结：
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：
BF
i2
i1 i2
20
i2 ql12 i1 i2 12
i2
M图
i2 ql12
i1 i2 12
μ
i1
m
i2
i1
M
BE
i1 i1 i2
ql12
12 i1 ql12
i1 i2 12 i2 ql12
i1 i2 12
BF
i2 i1 i2
i2 ql12 i1 i2 12
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
2力019偶/11/3(0顺时针为正)
16
§8-3 对称结构的计算
利用对称性，在对称结构中取半边结构进行计算。 力矩分配法
2019/11/30
17
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2i
i
i
i
i
i
3m
3m
3m
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
4i
G
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
-1.5 -0.7
Mij -43.6 43.6
A M AB
M B A B M B C
最后杆端弯矩：
C 0
MBA = MBAP+M B A
MBC =MBCP+M B C
M B A
M B C
MB A BA (MB ) M B C BC (M B )
20M19A/1B1=/30 MABP+ M AB
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
i
SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i
C
2i H i
μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4
μAC=0.5 μCH=0.2
E
1.5m
mAG
201.52 3
15 k N.m
结点
A
C
杆端 AG
AC
CA
CH
μ
0.5
0.5
0.4
0.2
E
CE
CH
0.4
m －15
1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
2019/11/30
5
单结点的力矩分配 ——基本运算
A MAB
B MBA MBC
固端弯矩带本身符号 C
MB
=
MB
MBA
MBC
A MABP
MBAP B MBCP
+
C
-MB
MB= MBA+MBC -MB
SAB= i A
MAD
C
M
MAB
m0
M AD 3iAD A SAD A
M (S AB S AC S AD ) A
1
M AC
S AC S
A
M
MAC
A
A
M SAB SAC
SAD
M S
M AD
SAD M S
A
A
Aj
S Aj S
M Aj Aj M
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：BA
第八章
2019/11/30
1
渐近法概述
1、线性代数方程组的解法: 直接法 渐近法
2、结构力学的渐近法
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其
突出的优点是每一步都有明确的物理意义。
3、位移法方程的两个特点:
(1)每个方程最多是五项式；
kij
(2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij，
E
5m
F
5m
1m
结点 A 杆端 AB
μ
m0
2019/11/30
E