熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立

(8-4)
式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还 可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)
2i
A
+ 4 i B
6i l
AB
=0
(a)
B
1 = ( 2
A
3 ab ) l
将(a)式代入式(8-1)第一式可得
M = 4 i 1 + 2 i [ ( 2
第8章 位 移 法
目的要求
1. 熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立、位移法的 典型方程及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意 义及其计算、弯矩图的绘制。 2. 熟记常用的形常数和载常数。 3. 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 4. 掌握利用对称性简化计算。 5. 重点掌握荷载作用下超静定结构的内力计算，了解其它因素下的 计算。 6. 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。要 求熟练掌握一种，另一种了解即可。 7. 知道位移法既能解超静定结构也能解静定结构。
(a)
B
ωB
F
C
(b) B
4EI
ωB
l
ωB
l
ωB
(d) C M BA
(e) 3 Fl 28 M BC 11 Fl 56
A A
l 2 l 2
3 Fl 56 2EI
l
M图
ωB
3Fl 16 F
(c) B
ωB
F
C
ωB
3EI
l
ωB
图8-1
M =
BA
4 EI l
B
(左侧受拉为正)
(a)
M AB =
3EI 3Fl B l 16
(下侧受拉为正)
(b)
若取图8-1(a)中B结点为隔离体如图8-1(d)所示，则及必须满足B结 点的平衡条件，于是有: M +M =0 7 EI 3Fl 3Fl = 0 =0 l 16 16
BA BC B
3Fl = 112 EI
2 B
(c)
3Fl , MBC = 0 由图8-1(b)、(c)可得 : MAB = 56 有了杆端弯矩，则刚架的弯矩图即可求出，如图8-1(e)所示。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
1．杆端力、杆端位移的有关规定 ．杆端力、
为了计算方便，对杆端力及位移的正负号作一些新规定：杆 端弯矩以顺时针方向为正，反之为负；杆端剪力的规定同以前规 定，如图8-2(a)所示(最后内力图的绘制仍按第三章的规定不变)， 支座处的反力应与杆端力的方向相反。杆端转角位移、也均以顺 时针方向为正，两端相对线位移AB则以使整个杆件顺时针转动 为正，根据位移连续条件，支座(或结点)处的位移方向应与杆端 力方向一样如图8-2(b)所示。
n = 2, n = 1. 由上述分析可知，
l
独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架， 独立的角位移数目也就是刚结点的数目 E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可 知不是独立的，故该刚架, 。 n = 2, n = 1.
l
独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采 用下述“结点铰化”的方法进行判断：将结构所有刚结点和固定 支座都改为铰结，从而得到一个相应的铰结图形，若此铰结图形 为几何不变体系，则原结构所有各结点均无线位移。若铰结图形 为几何可变体系，则视应在结点处加几个支承链杆才能保证其几 何不变性时，所加链杆数目即为结点的独立线位移数，这种方法 适用于任何有刚结点的结构。图8-5(b)、(e)分别为图8-5(a)、(d)对 应的铰结图形。所加的链杆数与上述分析的线位移数目相同。结 构中若有考虑轴向变形的杆件如图8-6(a)、(b)中的CD杆，则结点 的独立线位移数目不能用以上方法判断。
(d)
Z1
图8-8
当结构有个独立的结点位移时，基本结构就有个附加联 系，根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写 出个方程
r11 Z 1 + r12 Z 2 + r13 Z 3 + + r1n Z n + R1 P = 0 r21 Z 1 + r22 Z 2 + r23 Z 3 + + r2 n Z n + R2 P = 0 (8-5) r31 Z 1 + r32 Z 2 + r33 Z 3 + + r3 n Z n + R3 P = 0 rn1 Z 1 + rn 2 Z 2 + rn 3 Z 3 + + rnn Z n + RnP = 0
F F AB BA
M M
AB
= 4 i = 2 i
A
+ 2 i B + 4 i B
BA
A
6i l 6i l
AB
+ M + M
F AB F BA
AB
(8-1)
式(8-1)称为AB梁的转角位移方程。 根据平衡条件又可得AB杆的杆端剪力为
FS A B = F SB A 6i 6i 12 i A B + 2 A B + F SF B A l l l 6i 6i 12 i = A B + 2 A B + F SF A B l l l
§8-1 概 述
对一个结构来讲，当外因确定后，内力与位移就存在一恒 定关系。解超静定问题时，先求力后求位移叫力法，若先求位 移后求力则称位移法。力法的基本未知量是多余未知力，建立 求解未知量的方程是根据变形协调条件，而位移法则是以某些 结点的位移作为基本未知量，通过力的平衡条件建立求解未知 量的方程。下面以图8-1(a)所示刚架来说明位移法的基本概念， 在受弯杆件不计轴向变形的情况下，由变形协调条件可知，汇 交于B结点的两杆BA及BC在B端均无线位移，只有角位移均为 fB。假若把AB、BC梁视为图8-1(b)、(c)所示单跨梁，当AB梁 的固定端发生转角fB时，内力可用力法求得，BC梁的内力可看 作由fB及F分别引起的内力然后叠加而得，同样可由力法求出 .
(8-2)
F 式(8-2)中的 FSAB ,
FF SBA
为荷载F引起的杆端剪力，即上面提到
的固端剪力。 （2）一端固定一端铰支梁 在图8-4(a)中，AB梁除受到荷载作用外，A支座还有转角，A、B两 端相对线位移为，仍用力法计算，基本结构为图8-4(b)所示。
X1
3 EI = l
1 AB
A
3 EI 2 l
§8-3 位移法基本未知量及基本结构
1．基本未知量 ．
在位移法中，基本未知量是指结构中各结点的独立位移，什么 样的位移是独立位移可用下面例子说明。图8-5(a)所示刚架在荷 载作用下，刚结点C、D除产生角位移C、 D外，还有线位移
C及D。由于受弯杆件忽略轴向变形的影响，C、D结点无 竖向线位移，只有水平位移，且C=D=，即为结点的独 立线位移， C、 D 则为独立的角位移，该刚架结点的独 立位移总数应为3。若用n 表示独立的角位移数目，用nl表 示独立的线位移数目，即,
“附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示， 这是一个广义的位移，并用“ ⌒”及“→”分别表示原结点处 的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证 基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。 对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别 用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3 表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点， 即BF、EF杆在F处为刚结,该结构 7(d)。
r11 Z 1 + r12 Z 2 + R1 P = 0 r21 Z 1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
(c)
(a)
q C 2EI D
(b)
Z1
q
Z2
C (i)
(2i)
EI
EI
(i)
l
A
l
B
"原结构"
A
l
B
"基本体系"
R11
Z2 Z2
R12
R1P
q
R22 (e) R2P
R21 Z1
由以上分析可以看出，用位移法解题时，存在一个拆、 合的过程，即先把原结构如图8-1(a)“拆”成若干个单跨超静 定梁，计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把 这些单跨梁“合”成原结构，利用平衡条件求出，这就是位 移法的整个思路。 在介绍位移法时，还必须首先解决： (1) 各种单跨超静定梁在杆端位移及荷载作用下的内力计算； (2) 哪些结点位移可以作为位移法的基本未知量； (3) 怎样建立求解未知量的方程。
(a)
C EA
D
(b)
C
D
EI
EI
A
B
A
B
n =0 nl =2
n =2 n =2
l
图8-6
2．基本结构
由§8-1节可知，用位移法计算时，先把每杆件都看成一个单跨超静 定梁，因此位移法的基本结构就是暂时将每根杆件看成两端固定或 一端固定一端铰支或一端固定一端为定向支承的单跨梁的集合体， 可假想地在每个刚结点上加一个“附加刚臂”以阻止该结点的转动 (但不阻止该结点的移动)，在刚结点或铰结点处沿线位移方向加上 一个
EA l
AB
+ M
F AB
∵ X = M 、i =
M M
AB
=
BA
3EI 3EI A 2 AB + M l l =0
F AB
(8-3)
F (a) A
"原结构"
B
ωA