结构力学位移法的计算

Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2
B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
一. 符号规则:
B MBC
MCB C
1．杆端弯矩:
规定杆端弯矩顺时针
MBA
方向为正，逆时针方向为 负。
杆端弯矩具有双重身份： A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向 为正，逆时针方向为负。
23
四.正确判别固端弯矩的正负号:
q
q
A
l
M
F AB
ql 2 8
q
M
F AB
ql 2 8
BA
B
B
ll
A
A
B
l
M
F BA
ql 2 8
q
M
F AB
ql 2 8
24
§8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算
一. 采用位移法求解无侧移的刚架 有两种建立位移法方程的方法：
1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的 典型方程。
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合 体系。为了顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁 在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
7
二.位移法的基本未知量的确定
位移法的基本未知量是结构内部的刚结点（不
包括支座结点）的转角 i和独立的结点之间的相对
线位移 j 。 不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是
1. 位移法的基本未知量
选取结构内部结点的转角位移或结点之间的相 对线位移作为位移法的基本未知量。
q
A
B
C
EI
B
EI
l
l
如上图所示的连续梁，取结点B的转角位移 B作
为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的
转角位移的连续协调( B BL BR )。
3
2. 位移法求解的基本步骤
1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。 附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
26
2）列出杆端弯矩的表达式:
10.67
B 0 B
D 0
i
8kN/m 42.67
10.67
i
Di
i
E 21.33
A
C
a) 由于荷载引起的固端弯矩
M
F BD
ql 2
12
8 42 12
10.67,
M
F DB
ql 2 12
8 42 12
10.67。
M
F DE
ql 2 3
8 42 3
42.67，
M
A
MAB 4iA,
M BA
2i
。
A
M AB 3iA,
MBA 0。
为了减少人工计算时基本未知量的数目，在采用 位移法求解时，确定结构的基本未知量之前，引入如 下的基本假设：对于受弯杆件，忽略其轴向变形和剪 切变形的影响。
亦即假定杆件在轴向是刚性的，杆件在发生弯曲 变形时既不伸长也不缩短。
9
1．刚结点的转角位移的基本未知量 Zi K的确定：
R1P 10.67
8kN/m 10.67 R2P
B
i
Di
B 10.67 i
42.67 i
0
MP 图
R1P= 10.67A
C
R2P E 21.33
10.67 D
42.67
0
R2P= 32
34
r11
Z1 B 1
r11
r21 Z2 D 0
2i
B
4i 4i
B
4i
i
D i E 2i
4i
i M1图 i
r11= 8i A 2i
C
r21 0
D 0
r21= 2i
r12
Z1 B 0 r22 Z2 D 1
r12
4i
r22
B
2i
B 2i
i 3i
D i
i
Ei
0 r12= 2i
i M2图 i
A
C
4i D i
3i r22= 8i
35
ii）求方程中的系数和自由项：
r11= 8i， r22= 8i，
R1P= 10.67，
AB
6i M AB M BA l AB15
由上图可得：
M AB
4i A
2i B
6i l
AB ;
M BA
2i A
4i B
6i l
。
AB
可以写成为：
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l 6i l
A B
AB
上式就是两端固定的梁的刚度（转角位移）方程。
式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生单位 杆端位移所需施加的杆端弯矩。
本未知量的数目就是 j个。
采用位移法求解的基本未知量的数目= i j
+
ຫໍສະໝຸດ Baidu
结构内部刚结点的转角位移 Zi K
结构中独立的结点之间的相对线位移
Zj
11 KL
增加附加链杆：
B EA C
Z1 BH CH
B EA = 有限值 C
Z1 BH
Z2 CH
A
DA
Z3 D
D
Z1 B
Z2 C
C
Z1 B
r12 = r21 = 2i，
R2P= 32.00。
4）回代入方程中，求解得：
82iiZZ11
2iZ 8iZ
2 2
10.67 32.00
0, Z1 0。Z2
B D
0.356 / 3.911 /
未知量： Z1
B 和
Z2
，选取基本体系如下图所
D
示。
Z1 B 0 Z2 D 0
B
i
基本体系
i
Di E i
A
C
33
2）列出位移法的典型方程：
rr1211ZZ11
r12 Z2 r22 Z2
R1P R2 P
0， 0。
3）计算系数和自由项：
i）作出基本体系的
M P 图，M1图，M
图：
2
R1P
因为：
1）为了减少人工计算时基本未知量的数目； 2) 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座 可能位移（转角位移，相对线位移）的影响，如下图
所示。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
,
M
F BA
0。
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql2 。 128
i EI / l
A A
BA
i EI / l B
B
A
FP
FP l 8
B
FP l
l/2
8
l/2
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql 2 。 12
M
F AB
FP l 8
,
M
F BA
FP l 8
。
21
2. 一端固定，一端可动铰支座的梁:
ql 2 8 A
q
ql 2 16
l
3FP l 16
FP
BA
B 5FP l 32
l/2 l/2
M
F AB
ql 2 8
2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移 法的典型方程。
25
例8-3-1 采用位移法求作图示刚架的 M 图，已知各杆 的 EI 相同。
B
i
Di E
i
A
4m
i
C
4m
4m i EI
4
解：
1. 直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建 立位移法的一般方程。
1）确定基本未知量为：θB ( )和 θD ( )
M BA
3i
，
B
M BC
3i B
ql 2 。 8
4）建立位移法方程，并求解:
由结点B的力矩平衡条件，可得:
MB 0， MBA MBC 0。 5
3i B
3iB
ql 2 8
0，
6i B
ql 2 8
0。
5）作弯矩图:
B
ql 2 48i
(
)
将求得的B 代入杆端弯矩表达式，得到：
M BA
3i B
F ED
ql 2 6
8 42 6
21.33。
27
θB
D 0
B
i
i
A
Di E i C
b) 由于θB 产生的杆端弯矩
i EI 4
M BA
4i
，
B
M AB
2i
。
B
M BD
4i
，
B
M DB
2i
。
B
28
B 0
D
B
i
i
A
Di E i C
i EI 4
c) 由于θD 产生的杆端弯矩
M BD
2i
，
D
M DC
8kN/m 27.02 38.76
1.42
B 1.78 i
D
i 11.73 i
i
E 25.24
4m
M 图( KN m) A 0.71
C
4m
4m
32
2. 典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法 的典型方程。
解:
1）确定基本未知量的个数，并选取基本体系:
容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本
A AB
l
AB
l
B
AB
AB A
B
14
二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程
1. 两端固定的梁:( i EI )
l
A
EI
B
A
AB
l B
M AB 4i A M BA 2i A
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
MBA
A
B
A
l B
AB
A
i
B
B
A MAB i MBA B
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯 矩图仍画在受拉侧。
13
2．结点的转角位移 i :
规定结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为
负。
A
B
FP C
D
B
C
3．杆件两端的相对线位移
:
ik
杆件两端的相对线位移 ik 的正负号与弦转角β
的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
3i
，
D
M DE
i
，
D
M DB
4i
。
D
MCD 0。
M ED
i
。
D
29
叠加以上三种情况下的杆端弯矩，其表达式为:
M BA
4i
，
B
M DC
3i
，
D
MBD 4iB 2iD 10.67。 MDB 2iB 4iD 10.67，
MDE iD 42.67。
M AB
2i
。
B
MED iD 21.33。
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 8
ql 2 。 16
ql 2 16
A B
C
M 图 3ql2 32
6
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括 支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。
2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结 构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中 包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条 件。
结构内部有多少个刚结点就有多少个结点的转角
位移被只确限定制为转基角本位未移知量，增加附加刚臂。结点的转
角位移的基本未知量的数目就是 i 个。
A
B
Z1 B
B
Z1 B
C
C 似乎看D起来
Z2 C 比较容易。
A
B
C
Z1 B
Z2 C
A
D
E
10
2．独立的结点之间的相对线位移的基本未知量Z j KL
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA
0,
M
F BC
ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角
(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
B
A
B
放
i
松
3i B
A
i B
BB
3i B
3）杆端弯矩的表达式:
i
B i
Ci EI l C
的确定：
采用增加附加链杆的方法只确限定制独相立对的线结位点移之间的
相对线位移的基本未知量 Z j KL。
从两个不动点（没有线位移的点）引出的两根无 轴向变形的杆件，其交点没有线位移。
若一个结构须要附加 j 根链杆才能使所有内部的
结点成为不动点（没有任何结点之间的相对线位移发 生），则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基
16
2. 一端固定，一端滚轴支座的梁:
A M AB EI
A
l
i EI l
B
AB
A
M AB 3i A
i
B
A
A
i
3i M AB l
B AB
M AB
3i A
3i l
AB ;
MBA 0。
17
3. 一端固定，一端定向滑动支座的梁：
MAB A
A
EI MBA
B
i EI l
M AB i A ,
,
M
F BA
0。
M
F AB
3FP l 16
,
M
F BA
0。
22
3. 一端固定，一端滑动支座的梁: q
ql 2 3
FP l 2
A
BA
l
ql 2 6
l
FP
B FP l 2
M
F AB
ql 2 3
,
M
F BA
ql 2 6
。
M
F AB
FP l 2
,
M
F BA
FP l 2
。
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
第八章 位移法
§8-1 位移法的基本概念 §8-2 等截面直杆的刚度方程 §8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 §8-4 对称结构的简化计算 §8-5 支座移动，温度变化及具有弹性支座结构的计算 §8-6 带有斜杆刚架的计算 §8-7 剪力分配法
1
2
§8-1 位移法的基本概念
一. 位移法的基本概念
D 3.911/ i( )。
31
4）作弯矩图：
将求得的 θB，θD 代入杆端弯矩表达式，得：
M AB 0.71KN m MBA 1.42KN m MBD 1.42KN m
MDB 27.02KN m MDC 11.73KN m MDE 38.76KN m
MED 25.24KN m
3i A
3i l
AB
3) A
MAB
i
EI l
MBA B
A
MAB i EI
l
MBA
B
A
A
M AB i A
MBA i A
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
M BA
i
。
A
18
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应 的杆端力也相同。
1)
AB
A
MAB
MAB
A i EI MBA
l
AB
EI
i
A
l
BA
MBA B
M AB
4i A
6i l
AB
M BA
2i A
6i l
AB
19
2)
AB
MAB
i
A
EI l
MAB
EI
AB
i
A
l
A
BA
B
M AB
30
3）建立位移法方程，并求解：
由结点B和结点D的平衡条件，可得：
B
MBD
MDB
D MDE
MBA
MB 0,
MBA MBD 0,
8iB 2iD 10.67 0, 1
MDC
MD 0,
M DB M DC M DE 0,
2iB 8iD 32.00 0，2
B 0.356 / i( )。