结构力学(第五版)第六章_结构位移计算

1
c
yc
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
31
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
d
dS du dS
位移状态
dS 9返d回x
§6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
k PK=1
设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 P1
t2
ds c3
K′ k
du、d、dS
K ds
k Ｒ３
N、M、Q
如图示。 求任一指定截面K
有
tEgIxC
△KP=
(6－9)
yC E16I
返回
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
形心
L
h
h
❖a
b
形心
（L+a)/3
(L+b)/3
L
返17回
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4
5ql 3
( )
128 EI
30
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
32
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
Pl
l
PP
AB
ABY
对称yc 结构的对称弯矩图与
其E反I 对称弯矩图图乘,结果
MP 1 (1 为l P零l. 2 l 4 l Pl l 2)
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 ()
26
3 EI
例 6—7 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2 8
B
M图
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
M图
解： 1. 作MP图、 ；
2. 图乘计算。
△ = Ay
∑
yC
EI
=
1 EI
(
L‧L 2
)
PL 2
-
21EI(L‧
32L) P4L=
1P6LE2I返（23回↓）
例 6—4 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。
EI=常数。
q
解：1. 作MP图
2. 作 图 3. 图乘计算
y1=
y2=
y3=
△Cy=
A
MP图
8
返20回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
1 2 3
y1
y2
y3
1
I1
y1
2
I2
y2
3
I3
y3
△= (1y1+ 2y2+ 3y3) △=
返21回
例 6—2 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。
C
D
1
1
q
qL2
A
B
L
8
形心 h
1. 梁和刚架
△KP=
（6－6）
2.桁架
△KP= 3. 组合结构
（6－7）
△KP=
（6—8） 返13回
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段：
x, BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
1返4 回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
L
qL2 8
B
L
C
2
qL2
8
1
M图
2
+
qL2 3
8
L
2
y3 y2
y1
1
24
返回
例 6—5 试求图示梁B端转角
A
P
B B
A
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
解:
B
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
1 Pl2 ( ) 16 EI
M 1 B 1
Mi
25
例 6—6 试求图示结构B点竖向位移
MP图 此时
b
ya=2/3×c－1/3×d
d
ya
yb M图
yb=2/3×d－1/3×c
返19回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
qL2
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
2l ql2 2 l 2 4 32 3
2l ql 2 1 l ) 8 22
29
例 6—11 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc
1
1 ql2 3 l l
EI EI 3 2 4 2
1 ql3 () 16 EI
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内 或写成 W=Wi
l
ll
11
反对称弯矩图EI 2
3
10 Pl3 ()
3 EI
M i ABX
yc 0
EI
AB
yc 0
EI
11
对称弯矩图
11
1
Mi
Mi
l
l
1
33
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
PP
1
1
1
1
34
练习
求B点水平位移。
4EI
Pl
l
EI
EI
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
27
例 6—9 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1 1 1
A
B
Mi
ll
1/ l
ql2 / 4
ql2 / 4
0
q
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
变形：是指结构形状的改变。
位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D
相对位移 △CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
MP
P
Mi
A
B
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l 1
注意:各杆刚度 可能不同
B
yc 1 1 Pl l 2 l 2 1 Pl l l
EI EI 2
3
4EI
5Pl 3 ()
8EI
35
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B 3m
2kN/m
6kN
4
MP
4m
12
A 2m
1
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数；
（3） 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
M
xA
Bx
上述 积分可以得到简化。
设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意
形状， 则上式中的ds可用dx代替。故有 =xtg,且tg=常数，则
∫ ∫ tg
EI
tg xMPdx = EI
xd
返15回
y
d=MPdx
面积
形心
A MP
C
MP图 B
yC EI
则积分运算化简为
dx
一个弯矩图的面积乘
O
M
xA
xC
yC
Bx
yC=xCtg
以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。
tEgI∫ xd
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计
而
算公式（6—6）可写成
ql2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2C l/2 B
l/2
1
Mi
C
q ql / 2
ql2 / 8
ql2 / 8 q
ql2 / 4
ql / 2
c
yc
EI
1 (1 l ql2 3 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2
l ql2 1 l ) 2 8 22
B
yc 1 ( 1 4 12 1 1 2 4 4 1 )
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
36
求B点水平位移,EI=常数。
2Pl
2l
A
MP
l
Pl Pl l B
A
MP
l
1
B
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
ql3 ( 24 EI
)
28
例 6—10 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
A ql2 / 4
l/2
l
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 ( 1 l ql2 2 l 1
EI EI 2 4 3 2 2
2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理 2
§6—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（6—2)
虚功方程为
W=
（6—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１ Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、M、Q、Ri、PK 1
外力虚功 W=
=
(6－4)
内力虚这功便是W平i=面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结
果可为得 正，所求位移△K与假设的 这种方法又称为单位荷载法。
MP图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设置虚拟状态并作 。
yC=h h
M图
3. 按式（6—9）计算
∆CD=∑
yC
EI
=
1 EI
(
2 3
qL2
8 L)h =
qhL2 12EI
（→←）
返22回
例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
PL
C
B
2
PL
2
L
EI
EI
P
A
PL
PL
2P
4
1
DL
PL
MP图
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
△KP=
（a）
式中：
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
duP=
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
△KP=
（6—5）
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5） 可以简化：
w= dW = P Cos dS
（a）
返5回
常力功
变力功 力偶功
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
1 2
P△ Cos
（c）
P
A
d
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
△1
W=
A
P2
2
B
虚功：力在其它
PK=1同向，(反7－之5)反向10返。回
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返11回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
二次抛物线
பைடு நூலகம்
L
L/2 顶点
二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL)
3L/8 5L/8
1
2
顶点
4L/5
L/5
L
返18回
4 .图乘的技巧
当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
c
a
c
L
则
b
MP图
ya
yb d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d