结构力学(第五版)第六章_结构位移计算

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结构力学6 结构位移计算

例要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
L/3 P
A
△P △B
B
△B △P
虚位移
RB
P P RB B 0 B P RB B 0 RB P 3 3
四、变形体体系的虚功原理变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段两侧截面上的内力在其变形上所作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚功。
ω2 ω2
图图
ω 11 ω
图图
解：
I
I
2I I
2I
I
1 3 1 240 4 320, y1 4 3; 3 4
2 4 6 24, y 2
240 480 360； 2
ω
1
ω
3
1 2 8 3 480 4 960，y3 4＝。 2 3 3 1 y1 2 y2 3 y3 Ax EI 2 EI EI 8
h
h
l/2
顶点 l/2
形心
L
二次抛物线A=2hl/3 顶点
抛物线顶点如何确定？ h h
A=hl/2 a b
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3 顶点 h 3l/4 l/4 二次抛物线A=hl/3
(a+l)/3
(b+l)/3
l
A=hl/2
三、几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形图乘：
1 MM P dx EI 1 M (M Pa M Pb )dx EI
1
P1
2
B
△21
（4）虚功的两种状态
虚设力状态虚设位移状△12

结构力学结构的位移计算

k

F Ndu
Md

F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du

FNP d s EA
d

M Pds EI
d s

k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的水平位移
P=1
m=1 求A截面的转角
m=1
m=1
求AB两截面的相对转角
P=1
P=1
求AB两点的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主

结构力学第五版李廉锟结构位移计算1图文

F
Δ11
第六章结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C，称为C点的线位移或挠度；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为和，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】第6章结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。

虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。

根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。

表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。

表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。

拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。

广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。

单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。

表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。

六、图乘法（见表6-1-7）★★★★★。

建筑结构力学位移计算

2019/2/27 建筑结构力学 14

位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k

c2
K
K
ds

t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。产生位移的原因位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用

结构力学(第五版)第六章结构位移计算

相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。（3）为分析超静定结构打基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功实功：力本身引起的位移上所作的功。例如： W=
A 力在其它虚功：因素引起的位移上所作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、如图示。Ｒ１ c2 求任一指定截面K K c1 ２沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态Ｒ虚拟状态－力状态上的位移△K 。

结构力学位移计算公式

结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。

在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。

位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。

1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。

2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。

3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。

4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。

上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。

在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。

在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。

结构力学+结构位移计算

结构力学
郑州大学土木工程学院
§6–2 实功与虚功广义力与广义位移
11
2、广义力与广义位移
与力有关因素广义力P
在虚功式中包含了两个方面因素：广义力与广义位移的关系是：它
与广义力相应的位移因素
们的乘积是虚功。即：W=P
广义位移
广义力
相应的广义位移
单个力
力作用点沿力方向上的线位移
单个力偶
力偶作用截面的转角
(3)在结构的制作、架设、养护等过程中，常需预先知道结
构的位移，以便采取一定的施工措施。例如建筑起拱。图示
(4)在结构的动力计算和稳定计算中，也需计算结构的位移。
★结构位移是几何量，自然可以采用以杆件变形关系为基
础的几何法计算，但计算位移更好的方法是以虚功原理为基
础的虚功法。
3、线性变形体系
d2 y dx2
21
(2)虚设力求未知位移（虚力原理）
①求虚C设y 。平衡力系。在拟求位移点c1 A
沿拟求位移方向虚设一集中力。
②虚力原理之应用
l
BC
Cy
a
FΔCy FRAc1 0
F1
已可为根虚知任C简据力y位意的便虚状移假Δ值C起力态之设y与见与原间，F，实理的为的FFR令际建几计大A F位立c何算小1=移的1方方无，al状虚程便关c则态功1。，。(是方↓常彼程)取此，F 无实=A1关质F。RA的上这(是种al拟CVF利求与用的F无虚未B关功知)原位，理移故C沿与F
FS1
Wv FN1du2 FS1 2ds M1d2
M1+dM1 FN1+dFN1
ds FS1+dFS1
d2=2ds
对整个杆系结构：

结构力学第五版李廉锟第六章结构位移计算1

B B 令δA=1，且令δB表示位移 A和之间的比例系数： B A ，
由图中几何关系得： B c B A a c 将（1）式除以ΔA，得 FA FP a
第六章结构位移的计算
例：求 A 端的支座反力
A B
P
C
b
P
X
直线
C
(c)
a
(a)
X
(b)
待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态. 由外力虚功总和为零，即： X X P C 0
从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一
个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位
移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可
有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积
却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛
顿米(N· m)或千牛顿米(kN· m)。
第六章结构位移的计算
既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：（1）位移是由做功的力引起的例如图所示简支梁，在静力荷载 F1 的作用下，当 F1 由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿 F1方向产生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移Δ11上做了功。由于位移Δ11是由做功的力F1 引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。
第六章结构位移的计算
1 ）虚设位移求未知力
如图（a）所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA。把刚体取虚位移，如图（b）所示，根据刚体虚功原理得： (1) 其中： A和分别是沿 FA和FP方向的虚位移。 B
(a)

结构力学结构的位移计算

A1
ds
M N Q
此为局部变形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其计算步骤如下： (1)沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之虚位移原理虚功原理之虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移，应在杆CD上加一个单位力偶荷载，利用虚力原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理的一种表示形式。因为：

结构力学——第6章结构位移计算讲解

对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理：对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理：对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4

结构力学(李廉锟第五版)

（虚）位移状态
注（1）属同一体系；
意（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件, 力状态应满足平衡条件。
：（3）位移状态与力状态完全无关；
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§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
结构力学
Wi FNd FSd Md
s
s
s
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。
结构力学
第六章结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
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FK
1在
K 上做负功
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§6-3 位移计算的一般公式单位荷载法结构力学
几点说明：
(1) 所建立的虚功方程，实质上是几何方程。 (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广
义力 P=1
(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚

结构力学5结构位移计算

结构力学5结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一项重要内容，它能够预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

本文将从结构位移计算的基本原理、常用的分析方法和一些实例进行详细介绍。

一、结构位移计算的基本原理：结构位移计算的基本原理是根据力学原理和力平衡条件进行求解。

结构在受载过程中会产生内力和变形，而结构的内力与结构的变形有密切关系。

根据结构材料的本构关系和边界条件，通过求解相应的方程组，可以得到结构的位移。

二、常用的分析方法：1.解析法：解析法是一种基于数学分析的位移计算方法，通常适用于简单的结构。

该方法通过建立结构的力学模型，利用数学分析的方法求解相应的方程，得到结构的位移。

2.数值法：数值法是一种通过数值计算的方法进行位移计算的技术。

常用的数值法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

这些方法通过将结构划分为很多小单元或控制体，在每个单元或控制体上建立适当的方程，通过数值迭代求解得到结构的位移。

三、结构位移计算的实例：1.简支梁的位移计算：考虑一个简支梁，长度为L，受到集中力F作用在中央，通过解析法可以得到梁的最大挠度为δ=F L^3/(48EI)，其中E是梁的杨氏模量，I是截面惯性矩。

2.悬臂梁的位移计算：考虑一个悬臂梁，长度为L，受到均布荷载w作用，可以通过数值法进行位移计算。

首先将梁划分为很多小单元，然后在每个单元上利用有限元法建立相应的方程组，通过数值迭代求解得到梁的位移分布。

最终可以得到梁的最大挠度和变形曲线。

结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它可以帮助工程师预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

通过解析法和数值法进行位移计算，可以得到结构的位移分布和最大位移值。

在实际工程中，结构位移计算对于评估结构的稳定性和安全性具有重要意义。

结构力学课后习题解答：6位移法习题解答

第6章位移法习题解答习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。

（除注明者外，其余杆的EI为常数。

）(a) (b) (c) (d)习题6.1图【解】各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8习题6.2是非判断(1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。

（）(2)位移法可用于求解静定结构的内力。

（）(3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。

（）(4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。

（）【解】（1）正确。

位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。

（2）正确。

无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。

（3）正确。

用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。

（4）错误。

只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。

习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。

习题 6.3图【解】30i π 。

发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平衡条件即可得M 。

习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。

习题 6.4图【解】315lEI。

结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。

习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。

m习题 6.5图【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40B EIθ=-。

结构力学静定结构位移计算习题解答

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

《结构力学》静定结构的位移计算

03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若干段，分别计算各段的位移再求和；或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解，考虑荷载、跨度、截面惯性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的梁，承受集中力、均布荷载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中力，引起梁产生弯曲和剪切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算弯曲和剪切变形引起的位移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析

结构力学结构位移计算

结构力学结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它用来分析和计算结构在受力作用下的整体位移情况。

结构位移计算可以通过静力分析和动力分析两种方法进行，静力分析是指结构在静态受力下的位移计算，而动力分析是指结构在动态受力下的位移计算。

静力分析是结构力学的基础，它主要根据结构的初始状态和受力情况，通过应力-应变关系、平衡条件和边界条件等原理进行分析。

静力分析常用的方法有刚度法和应力对应法。

刚度法是基于结构刚度矩阵的计算，通过对于标准结构单元的刚度矩阵进行组装和边界条件的处理，可以得到整个结构的刚度矩阵。

然后，通过对结构受力状态的分析，可以得到结构的受载位移。

应力对应法则是利用结构的应力分布情况，根据材料的本构关系，通过计算得到结构的应变分布情况，然后通过积分等方法，可以得到结构的位移。

动力分析是指结构在动态受力下的位移计算，主要用于计算结构在地震、风载等动力荷载作用下的反应。

动力分析通常包括模态分析和时程分析两种方法。

模态分析是指根据结构的固有振动模态，将结构的运动分解成一系列简谐振动，然后通过分析结构各模态的响应，得到结构的整体位移。

时程分析是指根据结构的动力方程，通过数值积分等方法，求解结构在动力荷载作用下的运动方程，进而计算结构的位移。

在进行结构位移计算时，需要考虑一些基本问题和原则。

首先是边界条件的确定，即结构模型中哪些部分是固定的，哪些部分可以自由移动。

边界条件的选择会直接影响位移计算的结果。

另外，还需要考虑结构材料的本构关系和应力-应变关系的确定，以及结构的几何形状和尺度的影响等。

最后，结构位移计算的结果需要进行后处理和分析。

一般来说，需要对结构的位移进行可视化处理，以便更直观地观察结构的变形情况。

此外，还可以对结构的位移进行动态分析，比如计算结构的振动周期、自由振动频率等，以评估结构的抗震性能和动态稳定性。

总之，结构位移计算是结构力学中一个重要的分析方法，它可以帮助工程师更好地理解和把握结构的受力和变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。

结构力学第六章位移法

由形常数作M i (D i 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起的弯矩图) ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的反力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；

结构力学(第五版)第六章_结构位移计算

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