机械波基础

沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u a ·
传播方向
b ·
x
x
图中b点比a点的相位落后 2 x 三. 波形曲线(波形图)

o u
t

x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线
• 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
四. 波的特征量
1.波长 : 两相邻同相点间的距离 2. 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数
2
三.平面波、球面波的能流(略)
*§16.4 声波
声强级
I (W / m2) I上=1
1. 正常人听声范围 20 < < 20000 Hz. I下 < I < I上
o
·
· I =10
下
-12
20 1000
200Βιβλιοθήκη Baidu0
(Hz)
2. 声强级 以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0,
I L 10 log 10 I0
p: A, 均与a 点的相同, 但相位落后
振动表达式
( x , t ) A cos[ t a
2
2

(x d)

( x d )]
一维简谐波的波的表达式 选: 原点为参考点 初相 a为零 则 2 ( x , t ) A cos( t x) 或 ( x , t ) A cos( t kx ) 2 k 称作角波数 u
p S1 S2 r1 r2
·
相位差: = ( 20- 10) - k(r2-r1)
k
2
• p点合振动 1 2 A cos( t ) 合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2
强度
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos
3. 波速u : 单位时间波所传过的距离
u

T

波速ｕ又称相速度(相位传播速度)
§16.2 .1 平面简谐波的表达式
一. 一维简谐波的表达式(波函数) 讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u , ) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A)
波速ｕ
参考点 a
o d
·
任一点ｐ
·
x
x
已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t)=Acos( ta)
V p k V0
V0+ V
p
p 容变
二. 固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x x处截面 t 时刻 : 应变为 /x 应力为 F(x,t)/S F Y 应力 、应变关系
t
x0
x 2 2 Y 2 x2 t
§16.3
波的能量和能流
一. 弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1 弹性波的能量密度 (以细长棒为例) 动能 动能密度
1 1 2 Wk mV Sx 2 2 t 2 W k 1 wk S x 2 t
波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动 常见的波有: 机械波 , 电磁波 , …
波动是一种最常见也是最重要的运动形 式，波动的最基本的特征就是它的干涉和衍 射，不仅机械波、光波会呈现出干涉和衍射 现象，而且（量子力学中的）微观粒子的几 率波也会呈现出干涉和衍射现象。因此波动 是物质运动的最普遍最基本的运动形式。
2
1 Fl 1 F l 势能密度 w p 2 Sl 2 S l 2 1 棒中有纵波时 w p Y
2 x
2 2 能量密度 1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
§16.6 .2 波的干涉
一. 干涉现象和相干条件
1. 干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和 减弱的分布
2. 相干条件 (1) 频率相同 (2) 有恒定的相位差 (3) 振动方向相同
二. 波场的强度分布 1 波场中任一点的合振动 设振动方向屏面 S1 10 = A10cos( t+ 10) S2 20 = A20cos( t+ 20) • p点两分振动 1 = A1cos( t+ 10-kr1) 2 = A2cos( t+ 20-kr2)
2 加强、减弱条件 • 加强条件 ( 相长干涉 ) = ( 20- 10) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,……) I max I1 I 2 2 I1 I 2 若 A1 = A2 ,则 Imax = 4 I1
• 减弱条件 (相消干涉) = ( 20- 10) - k(r2-r1) = (2m+1) (m=0,1,2,……) I min I1 I 2 2 I1 I 2 若 A1=A2 ,则 Imin= 0 特例： 20= 10 • 加强条件 • 减弱条件
A1 ( r , t ) cos( t kr ) r
简谐波的复数表示式 i ( t kx ) ikx i t ( x , t ) Ae Ae e
2.复振幅
波场中各点谐振动的频率相同,它们有相同的 时间因子。因此,相位主要由空间因子决定。 U(x)=A e ikx
2. 波动方程的线性决定了波服从叠加原理
• 波的强度过大非线性波 叠加原理不成立 ★电磁波 • 麦可斯韦方程组的四个方程都是线性的 , 如果 D E 和B H 也是线性关系 -----解满足叠加原理。
• 光波在媒质中传播时 弱光 媒质可看作线性媒质 强光 媒质非线性,波的叠加原理不成立
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
ut 平面波
球面波
3. 不足 二. 波的衍射 1. 现象 波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。
2. 作图 比较两图
可用惠更斯原理作图
· a · ·
·
★ 如你家在大山后 ,听广播 和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧) 三.波的反射和折射 1. 波的反射 (略)
dt k
4. 表达式也反映了波是振动状态的传播 (x+ x, t+ t) = (x,t) 其中 x=u t
5. 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 空间周期性 T 时间周期性
u

三. 平面波和球面波 1. 波的几何描述
波线 波面
波面 波 线
T


k
波前(波阵面)
平面波
球面波
单位:分贝(db)
§16.5
惠更斯原理
一. 惠更斯原理 1. 原理 : • 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波的子波源 (点波源)。
• 在以后的任一时刻 , 这些子波面的包络 面就是实际的波在该时刻的波前 。
2. 应用 : t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面
· · · · ·
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传 播 同相点----质元的振动状态相同 (4) 相邻 波长 相位差2 二. 波是相位的传播
平面波
球面波
2. 平面简谐波的表达式
沿+x 向传播
( x , t ) A cos( t kx )
3. 球面简谐波的表达式 点波源 各向同性介质
四. 简谐波的复数表示 复振幅 1. 简谐波的复数表示 沿+x方向传播的平面简谐波 ( x , t ) A cos( t kx ) Re( Ae i ( t kx ) )
u Y
F
F

l0 l0 + l
长变
Y-杨氏弹性模量 -体密度
(3) 固体中的横波
u
F Y S 0
G

F切

切变
∵G
<
G - 切变模量 Y, 固体中 ｕ横波<ｕ纵波
*
震中
(4) 流体中的声波
u k

0
k-体积模量, 0-无声波时的流体密度
理想气体:
u
RT
p
p
= Cp/Cv , 摩尔质量
§16.1 机械波的形成与传播 简谐波的特征
一. 机械波的产生
1. 产生条件: 波源 媒质
2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播 • 横波 • 纵波
3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · ·· ·
S x
2. 波动方程
o F1
x1
x
x2
x
x F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2
( Sx ) 2 F2 F1 t
x1截面
,
F2 F1 2 x S S t
2
将应力、应变关系代入 2 ( / x ) 2 ( / x )1 2 Y
二. 一维简谐波表达式的物理意义 由(x,t) cos( t-kx)从几方面讨论 1. 固定 x, (x= x0) ( x0 , t ) A cos( t kx0 ) 2. 固定 t, (t = t0 ) ( x , t 0 ) A cos( t 0 kx )
3. 如 看定某一相位 , 即令 ( t-kx)=常数 dx u 相速度为
w能 1 2 2 A 2
• 物理意义 (1/4) 2A2 (1) 固定x o wk、w p均随 t 周期性变化 w k= w p (2) 固定t wk、w p随x周期分布 =0w k w p最大
最大 wk w p为 0
(1/4) 2A2
u
wp wk
x = x0

T t
2. 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向 BC=u1(t2-t1) AE=u2(t2-t1)
sin i1 u1 sin i2 u2
媒质1
B t1 i1 A· i2 E
·
媒质2
·
C
t2
由图有 波的折射定律
折射波传播方向
i1--入射角, i2--折射角
§16.6 .1 波的叠加原理
一. 波传播的独立性 媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自 己原有的特性 ( 传播方向、振动方向、频率 等), 不受其它波的影响 。 二. 波的叠加原理 1. 叠加原理: 在几列波相遇而互相交叠的区域中，某 点的振动是各列波 单独 传播 时在该点 引起的振动的合成。
t = t0 wp
wk o


x
二. 能流(能通量)、波的强度 1. 能流(能通量) w 能uS 能流 : 能流密度 : w能u 平面简谐波 w 能u=u 2A2sin2( t-kx)
2. 波的强度
u
S x u
能流密度的时间平均值 1 2 2 I w能 u u A 平面简谐波 2 1 特性阻抗: Z = u I Z 2 A 2
振幅的平方( 代表波的强度 )
A2= U(x)· U*(x)
§16.2 .2 波动微分方程 一. 平面波波动方程
x 2 u2 2 2
t 2
ｕ为波速
一维简谐波的表达式就是此波动方程的解 具体问题 (1) 弹性绳上的横波
u
T

T-绳的初始张力, -绳的线密度
(2) 固体棒中的纵波
2 平面简谐波的能量密度 (x,t)=Acos( t-kx) • 能量密度 1 w k 2 A2 sin 2 ( t kx ) 2 1 2 2 2 w p A sin ( t kx ) 2
2 2 2
w能 wk w p A sin ( t kx )