荆州中学2020年高一3月月考数学(理)试卷及答案

荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷（理科）命题人： 审题人：一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，A=}02|{2≤-x x x ，B=},cos |{R x x y y ∈=， 则图中阴影部分表示的区间是（ ） A.[0,1]B.[-1,2]C.),2()1,(+∞--∞YD.),2[]1,(+∞--∞Y 2．若0.5222,ln 2,log sin 5a b c π===，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知3,3a b A π===，则角B 等于 （ ）A. 4πB. 34πC. 4π或34π D. 以上都不对4．若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）① {}12+n a ， ② {}2n a ， ③ {}1n n a a +-， ④ {}2n a n +A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．若3log 41x =，则44x x -+=（ ）A. 1B. 2C. 83D. 1036．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-r r ra xb yc 且//,⊥，则=a b +r r ( )B.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =- ,564a a +=-,n S 取得最小值时n =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度o 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为o 60和o 30，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为( )（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．将函数()3cos sin f x x x =+的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的函数图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值是（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．512π10．在D ABC 中,(cos18,cos72)AB =︒︒u u u v ,(2cos63,2cos27)BC =︒︒u u u v,则D ABC 面积为（ ） A ．42 B ．22 C ．23 D ．211．已知函数()sin 6f x A x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,02A πϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则函数()y f x =的最大值及ϕ的值分别是( )A ．3,6πB ．3,3πC ．23,6πD ．23,3π12．已知数列{}n a 是等差数列，且52a π=，若函数2()sin 22cos 2xf x x =+，记56()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数213log log y x=（）的定义域为 ． 14．在ABC △中,1,45a B ==︒,ABC △的面积=2S ,则ABC △的外接圆的直径为 ．15.．在边长为1的等边ABC ∆中，点P 为边BC 上一动点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值为 .16．设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立，则t 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分 ）已知|a |=1，|b |=2，|a -b ,求:(1)a ⋅b ；(2) a -b 与a +b 的夹角的余弦值；18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n a 满足2312a a a =，求数列{||}n a 的前10项的和10S .19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且满足c =cos (2)cos 0c B b a C +-=（1）求角C 的大小; （2）求△ABC 面积的最大值.20．(本题满分12分)已知函数f(x)=x x x 22cos 2)cos (sin -+(R x ∈)．(1)求函数f(x)的周期和递增区间；(2)若函数m x f x g -=)()(在[0，2π]上有两个不同的零点x 1、x 2，求实数m 的取值范围．并计算tan(x 1＋x 2)的值． 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，点, nS n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线4+=x y 上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且84=b ，前11项和为154.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==).,2(,),,12(,)(**N l l n b N l l n a n f n n 是否存在*m N ∈，使得)(3)9(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=x mx x f 11lg )(为奇函数.(1)求m 的值，并求f (x)的定义域；(2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；(3)若对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ,是否存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )31sin (cos 2>--+θλθf .若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷（理科） 参考答案13、(0,1) 14、、116- 16、220t t t ≥≤-=或或三、解答题;17、解、（1）由题意：222727a b a a b b -=⇒-⋅+=r r r r r r212471ab a b -⋅+=⇒⋅=-r r r r……………………4分（2）22()()143a b a b a b -+=-=-=-r r r r r ra b +===r r ……………………7分设a b -r r 与a b +r r 的夹角为α，则是()()cos a b a b a b a b α-+===-⋅+r rr r r r (10)分18、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. ……………………６分 （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a 不满足1a 2312a a a =；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 满足1a 2312a a a =. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+.所以10105S = (12)分19．解：（1） 由正弦定理得：∴ sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ……………2分 ∴ sin 2sin cos 0A A C -=∵ sin 0A ≠∴ 1cos 2C = (4)分∴ 3C π= ……………………………………………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin sin sin 3a b c A B C π===得， 4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=，23B A π=-，…………………………… 8分 ∴△ABC面积12sin sin sin()23S ab C A B A A π===-，化简得：)6S A π=- (10)分 当3A π=时，S有最大值，max S =。

(12)分20、解：(1)f(x)=)42sin(22cos 2sin cos 2)cos (sin 22π-=-=-+x x x x x x (R x ∈)．由224222πππππ+≤-≤-k x k ⇒838ππππ+≤≤-k x k (Z k ∈)，∴函数f(x)的周期为π=T ，递增区间为[8ππ-k ，83ππ+k ](Z k ∈)；………6分 (2)∵方程0)()(=-=m x f x g 同解于m x f =)(；在直角坐标系中画出函数f(x)=)42sin(2π-x 在[0，2π]上的图象，由图象可知，当且仅当1[∈m ，)2时，方程m x f =)(在[0，2π]上的区间[4π，83π)和 (83π，2π]有两个不同的解x 1、x 2，且x 1与x 2关于直线83π=x 对称，即83221π=+x x ，∴4321π=+x x ；故1)tan(21-=+x x ． ……………12分 21、解：（1）由题意，得4+=n nS n，即n n S n 42+=． 故当2n ≥时，1n n n a S S -=-=n n 42+-)1(4)1(2---n n 32+=n ． 注意到1n =时，511==S a ，而当1n =时，54=+n ， 所以， 32+=n a n *()n N ∈．又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈，所以{}n b 为等差数列，于是1542)(1184=+b b ． 而84=b ，故208=b ，34820=-=d ， 因此，43)4(34-=-+=n n b b n ，即43)4(34-=-+=n n b b n *()n N ∈． ……………………6分（2）⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=+=),2(43),12(32)(**N l l n n N l l n n n f ① 当m 为奇数时，9+m 为偶数．此时2334)9(3)9(+=-+=+m m m f ，96)(3+=m m f 所以96233+=+m m , *314N m ∉=(舍去) ② 当m 为偶数时，9+m 为奇数．此时，2123)9(2)9(+=++=+m m m f ，129)(3-=m m f ， 所以129212-=+m m ，*733N m ∉=（舍去）． 综上，不存在正整数m ，使得)(3)9(m f m f =+成立． …………12分22解. (1)∵函数⎪⎭⎫⎝⎛--=x mx x f 11lg )(为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立即22211,11lg )11lg(x x m x mx x mx -=-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++在定义域内恒成立， 111-==-=∴m m m （舍去），即或，011>-+xx故函数的定义域是)1,1(-.-----------------4分(2) )1(11lg )(<<-⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f ，任取1121<<<-x x设)1(11)(<<--+=x xxx u ，)1)(1()(21111)()(2121221121x x x x x x x x x u x u ---=-+--+=- ∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增 ------7分(3)假设存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )31sin (cos 2>--+θλθf恒成立)21(3lg )31sin (cos 2f f =>-+θλθ由（1），（2）知:131sin cos 212<-+<θλθ 对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-+-⇔2131sin sin 1131sin sin 122θλθθλθ, 当θ=0时成立；当⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ时，令sinθ=t,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-<+-⇔65332613122λλλλt t t t 即33265<<λ -----12分。