第二章 平面向量 单元测试2含试卷分析高中数学人教A版必修4

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)

1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( )

A ．3A

B → B.AB →

C.BA →

D.CA →

解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选B .

2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )

A ．3i ＋2j

B ．－2i ＋3j

C ．－3i ＋2j

D ．2i －3j

解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．

3．下列说法正确的是( )

A ．两个单位向量的数量积为1

B ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝c

C.AB →＝OA →－OB →

D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b

解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方

向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b·c ＝

0，所以(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝a·b ，故D 正确．

4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.

5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．|a |＝|b |

D ．a ＋b ＝a －b

解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.

6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( )

A.13 B ．－13

C ．3

D ．－3

解析：选D.由题意，得a·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，

则cos θ＝a·b |a ||b |＝－5510＝－110

. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310

， ∴tan θ＝sin θcos θ

＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶

点D 的坐标为( )

A ．(2，72)

B ．(2，－12

)

C ．(3，2)

D ．(1，3)

解析：选A.设D (x ，y )，

则BC →＝(4，3)，AD →＝(x ，y －2)．又BC →＝2AD →，

故⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.

8．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )

A ．40 N

B ．10 2 N

C ．20 2 N D.10 N

解析：选B.对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.

9．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC

的形状是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

解析：选B.∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)

＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)

＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，

∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．

10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条

件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和

OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1，1)垂直，

则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )

A ．－3

B ．3

C ．1

D ．－1

解析：选D.设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，

于是OP 3→＝(x ，－x )，

设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，

(x ，－x )＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)

11．已知点A (－1，－5)，a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．

解析：设B (x ，y )，(x ＋1，y ＋5)＝3(2，3)，

⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋5＝9，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5，4)

12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．

解析：由a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2，

得e 1＝15a ＋25b ，e 2＝110a －310b ， ∴e 1＋2e 2＝25a －15b ，即λ＋μ＝25－15＝15

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