椭圆历年高考题(选填题)

椭圆历年高考真题（选填题）
1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:x2
x2+x
2
4
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.√2
2
D.2√2
3
2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:x2
x2+x
2
x2
=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶
点,点P在过A且斜率为√3
6
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()
A.2
3B.1
2
C.1
3
D.1
4
3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()
A.1-√3
2B.2-√3C.√3-1
2
D.√3-1
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:
2
3
x
+
2
y
m
=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足
∠AMB=120°,则m的取值围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,
5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段
A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A.
B.
D.
1
3
6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a+
2
2
y
b=1(a>b>0)的左、
右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A.
B.
C.
3
D.
1
3
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
8.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
x y
a b
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别
为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
9.(2016·高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22
22x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=
b
2
与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
10.(2015·全国1
卷理科·T14)一个圆经过椭圆
x 2
16
+x 24
=1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的
标准方程为 .
椭圆历年高考真题（选填题）参考答案
1.(2018·全国卷I 高考文科·T4)已知椭圆C :x 2x 2+x 24=1
的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( ) A .1
3
B .1
2
C .√2
2
D .
2√23
【解析】选C .因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c =2, 所以a 2
=b 2
+c 2
=8,a =2√2,所以离心率e =√22
.
2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆
C :x 2x 2+x 2
x 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A
是C 的左顶
点,点P 在过A 且斜率为√3
6的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( ) A .2
3
B .1
2
C .1
3
D .1
4
【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√3
6(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,
∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√36
(x +a )得,√36
(2c +a )=√3c ,解得e =x x =14
. 3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√3
2
B .2-√
C .
√3-1
2
D .√【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.
【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=√3c ,PF 2=c ,
又PF 1+PF 2=2a ,所以√3c +c =2a , 解得e =x
x =
√3+1
=√3-1.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2
y m
=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足
∠AMB=120°,则m 的取值围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题. 【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则
a
b
≥
tan60°=
即
≥,得0<m ≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则
a b ≥
tan60°=,
即
得m ≥9,故m 的取值围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +2
2y b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段
A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )
A.
3
B. 3
C.3
D.13
【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离
d=
=a,整理得a 2=3b 2
,
即a 2
=3(a 2
-c 2
)⇒2a 2
=3c 2
,即22c a =23,e=c a
=3
.
6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
22
x a +22
y
b
=1(a>b>0)的左、
右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )
A.
B.
D.13
【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离
d=
整理为a 2=3b 2
,
即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2
,即2
2
c
a
=23,e=c a
=
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13 B .12 C .23 D .34
【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b
=1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +y
b =1,即
bx+cy-bc=0,
由题意可知
12
b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2
=14b 2a 2,
所以e=c a =1
2
.
8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同
已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:22
22x y a b
+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一
点,且PF⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则
C 的离心率为 ( )
A.13 B .12 C .23 D .34 【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系.
【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2
,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,
k k y x a,
22
⎧=+⎪
⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=1
3
.
9.(2016·高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22
22x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=
b
2
与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=
2
b
与椭圆的方程联立得
B b 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,C b 2⎫
⎪⎪⎝⎭
,F(c,0),
则k BF
=b 2CF
=b 2
, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF
b
b 整理得b 2
=3a 2
-4c 2
,所以a 2
-c 2
=3a 2
-4c 2
, 即3c 2
=2a 2⇒e=
c
a
=答案
:
10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆
x 2
16
+x 24
=1的三个顶点，且圆心在x
轴上，则该圆的标准方程为 。

【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a ，0），因此可得
4a =-
，或4a =-解得32a =±，因此圆的方程为22325()24
x y ±+=。