矩阵的满秩分解及其应用
行(列)满秩矩阵的性质及其应用
摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。
关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; TheSystem of linear equations.目录1 引言 (1)2 预备知识 (2)3 可逆矩阵的性质及其应用 (3)4 行（列）满秩矩阵的性质 (5)5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11)5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11)5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12)5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15)5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17)参考文献 (20)行（列）满秩矩阵的性质及其应用1 引言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。
2-1 满秩、LU、QR分解
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
矩阵满秩分解的一些应用
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
矩阵的满秩分解
矩阵的满秩分解## 简介矩阵的满秩分解（Full Rank Decomposition，FRD）是矩阵分解的一种，它将矩阵分解为两个或更多满秩矩阵的乘积。
FRD可用来求解非奇异（non-singular）非对称矩阵（asymmetric matrix）。
FRD可以将矩阵分解成多个较小的矩阵，这可以提高矩阵求解的速度和准确度。
## 原理矩阵的满秩分解可以将非奇异非对称矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，即A=UL，其中L和U既不是行手乘以列向量，也不是列手乘以行向量，而是一个L矩阵和一个U矩阵的乘积。
L矩阵是下三角矩阵，U矩阵是上三角矩阵，两者都具有单位对角线，另外，L和U具有相同的秩，并且都是正定的满秩矩阵，而A是它们的乘积，因此A也是满秩矩阵。
求解满秩分解矩阵的一般过程是：先进行LU分解，将矩阵A分解为两个单位对角线的满秩矩阵L和U；接着求解A的列空间的基，即求解A的列块的空间；最后再从A的行空间中求解A的行块的空间。
LU分解的算法的时间复杂度主要以A的维度D（即A的行数和列数）为关键，因此矩阵FRD分解的时间复杂度也主要以D为关键。
在计算机编程中，可以采用不同的算法来实现FRD，比如基于LU分解的矩阵FRD算法，和基于Gauss消元法的矩阵FRD算法。
## 应用矩阵的满秩分解具有广泛的应用，既可以用来解决矩阵求解问题，还可以用来分解多项式。
例如，可以用矩阵FRD分解将矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，以求解线性方程组的系数矩阵，或者用于求解最小二乘问题；另外，可以用FRD分解将一个多项式分解成多个单项式，以求解多项式函数的数值解或其他曲线拟合问题。
同时，矩阵的满秩分解还可以用于图像处理，如图像中的边缘检测、图像去噪等。
矩阵的分解分析
矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它 的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶 酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得 （2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存 在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵 分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的 乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和 分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩 及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1
矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解
第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
初等变换的一个应用矩阵的满秩分解
23154 1 2 1 3 3
1 0 -1 1 -1
1 A=
2
1
3
3
→0
-1
-1
-1
-2 →0 1
1
1
2 ,
3 5 2 8 7 0 -1 -1 -1 -2 0 0 0 0 0
13245 0 1 1 1 2
00 0 0 0
23
于是矩阵 A 的秩为 2. 令 B = 1
2
1
,C=
0
-1 1
- 1 ,则 A = BC 为矩阵 A 的一个满秩分解.
0 …0 0 0 … 0 0 0 … 0 0 0
…0
其中 1 ≤i1 ≤i2 ≤…≤ir ≤max ( m , n) .
根据列向量组的性质 ,行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系. 从矩阵 A 的简化行阶梯形
矩阵可以读出下面结论 :
(i) 矩阵 A 的秩为 r ;
[ 收稿日期 ] 2007204209 [ 基金项目 ] 国家自然科学基金 (10671142) ;教育部高校博士点基金 (20040247024)
-
A|
1 =λn - 1 (λ- n) ,所以矩阵 A 的特征值为λ1 =λ2 = …=λn - 1 = 0 ,λn = n.
本文只讨论了行初等变换的情形. 对于列初等变换 ,有类似结果.
[参 考 文 献 ]
[ 1 ] 同济大学应用数学系. 高等代数与解析几何[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2005.
法. 内容虽然浅显简单 ,但笔者还未发现其他书刊论及. 权当抛砖引玉 ,敬请同仁批评指正.
设 A 是一个 m ×n 矩阵 , r 为其秩. 如果 m ×r 矩阵 B 和 r ×n 矩阵 C 满足 A = BC ,则称 A = BC 为矩
几类特殊矩阵的满秩分解及其应用doc
目录0 引言 (1)1 预备知识 (1)2 几类特殊矩阵满秩分解 (2)2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2)2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3)2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4)2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4)2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5)3 矩阵的满秩分解的应用 (6)3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6)3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6)3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7)3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8)参考文献致谢赵爱霞（天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001）摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解.Full Rank Decomposition and Application forsome kinds of Special MatrixZHAO Aixia(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001)Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix,Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.0 引言自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献[]5,4,3,2中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域P 上的某个已知矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法.1 预备知识定义[1]1.1(满秩分解)设A 是秩为>0r(r ）的m n ⨯矩阵,若存在m r ⨯列满秩矩阵F 和r n ⨯行满秩矩阵G ,使得=A FG (1) 则称（1）式为矩阵A 的满秩分解.定义[2]1.2(行酉对称矩阵)令m n A C ⨯∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义*12k 1R -L （A;G ,G ,,G ）为*12k 1011T km n k RC ⨯--∈L L （A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i A A A G A G ==⋅为酉变换矩阵,1,2, 1.i k =-L 矩阵*12k 1R -L （A;G ,G ,,G ）称为A 的k 次行酉对称矩阵.定义[2]1.3(列酉对称矩阵)令m n A C ⨯∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义*12k 1C -L （A;G ,G ,,G ）为*12k 1011m kn k C C ⨯--∈L L （A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i A A A A G G ==⋅为酉变换矩阵,1,2, 1.i k =-L 矩阵*12k 1C -L （A;G ,G ,,G ）称为A 的k 次列酉对称矩阵.定义[3]1.4设=a m n ij A ⨯∈（）R ,矩阵A 的行转置与列转置矩阵分别为12(1)1(1)2(1)2212211112m m mn m m m n R n n a a a a a a A a a a a a a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LL M MM L L11(1)121122(1)2221(1)(_1)(1)(1)2(1)1(1)21n n nn C m n m n m m m n mnm m a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LMMM M L L若()R C A A A A ==,则称A 为行（列）对称矩阵; 若()R C A A A A =-=-,则称A 为行（列）反对称矩阵.定义[4]1.5设m n A ⨯∈R ,若(),T B A -=则称A 为全转置阵,记为0B A =;若0A A =,则称A 为全对称矩阵.定义[5]1.6(广义行延拓矩阵)设m n A C ⨯∈,可逆矩阵121,,,m nk P P P Ck ⨯-∈L 为任意为给定的正整数.定义12k 1R -L （A;P ,P ,,P ）为12k 1011T km n k R C ⨯--∈L L （A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i A A A P A ==⋅1,2, 1.i k =-L 矩阵12k 1R -L （A;P ,P ,,P ）称为A 的广义行延拓矩阵.定义[5]1.7(广义列延拓矩阵)设m n A C ⨯∈,可逆矩阵121,,,m nk P P P Ck ⨯-∈L 为任意为给定的正整数.定义12k 1-L C(A;P ,P ,,P ）为12k 1011m kn k C ⨯--∈L L C(A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i A A A A P ==⋅1,2, 1.i k =-L 矩阵12k 1-L C(A;P ,P ,,P ）称为A 的广义列延拓矩阵. 2 几类特殊矩阵满秩分解 2.1 酉对称矩阵的满秩分解酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解.定理 2.1.1 设(0)m n r A C r ⨯∈>,存在,m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈使.A FG =令**121,(;,,,),T k G G F F G F G F G F -==L 则〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k 1=RG -⋅L （A;G ,G ,,G ）F . 对于列酉对称矩阵,其满秩分解同行酉对称矩阵的满秩分解很是相似.定理 2.1.2 设(0)m n r A C r ⨯∈>,存在,m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈使.A FG =令**121,(;,,,),T k F F G G GG GG GG -==L 则〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k 1=C G -⋅L （A;G ,G ,,G ）F . 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解本小节主要介绍行列对称矩阵的满秩分解,首先介绍行对称矩阵的满秩分解.定理 2.2.1 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则行对称矩阵n m R B J B A ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2r m 的满秩分解为 .G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=这是偶数行的对称矩阵的满秩分解.下面介绍奇数行的对称矩阵的满秩分解. 定理 2.2.2 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,,n r r r m r αβ=∈∈=⨯⨯G R G R F FG B ，，n11,⨯⨯∈∈R R r αβ则行对称矩阵n m r m R B J B A ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)12(α的满秩分解为.m G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β上面已经对行对称矩阵给出了满秩分解,接下来将介绍列对称矩阵的满秩分解,类似的有,偶数列对称矩阵和奇数列对称矩阵的满秩分解.定理 2.2.3（偶数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ BA 2r ⨯∈=的满秩分解为)(n GJ G F A =.定理 2.2.4（奇数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 11r ,⨯⨯∈∈=m R R F αβαβ，则列对称矩阵())12(r n +⨯∈=n m R BJ B A α的满秩分解为)(n GJ G F A β=.前面已经给出了行列对称矩阵的满秩分解,现在我们仿照它来研究各种形式的行列反对称矩阵的满秩分解.2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解定理 2.3.1 (偶数行反对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则行反对称矩阵nm R B J B A ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2r m -的满秩分解为 .-G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=定理 2.3.2 (奇数行反对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，n r r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B r m r 则行反对称矩阵nm r m R B J B A ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)12(-0的满秩分解为.-0m G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=定理 2.3.3（偶数列反对称矩阵） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,⨯⨯∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ B A 2r ⨯∈-=的满秩分解为)(n GJ G F A -=.定理 2.3.4（奇数列反对称矩阵） 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,FG B =，，n r r r m r ⨯⨯∈∈R G R F 则列对称矩阵())12(r 0+⨯∈-=n m n R BJ B A 的满秩分解为)0(n GJ G F A -=.下面我们来介绍另一类特殊矩阵——全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解,同样地,有比较多的形式.2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解定理 2.4.1 (偶数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为,FG B =，，n r r r m r⨯⨯∈∈R G RF 则矩阵nm n mR BJ J BJBJ BA 22rm n ⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=的满秩分解为 .(n ）GJ G F J F A m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 定理 2.4.2 (偶数行奇数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，，，1r n r r r m r ,,⨯⨯⨯∈=∈∈=R F R G R F FG B ββα则矩阵)12(2+⨯∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m r n m m m n R BJ J J B J BJ BA αα的满秩分解为 ().n m GJ G F J F A β⎪⎪⎭⎫⎝⎛=定理 2.4.2 (奇数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G ，1r ,⨯∈=R G ααβ则矩阵n m r R J BJ BA 2)12(n m mn n BJ J B J ⨯+∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββ的满秩分解为 ().n m GJ GF J F A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G ，，n 1r 1,⨯⨯∈∈=R R G βαβα则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n 000BJ J B J J BJ BA mn ββ)12(12+⨯+∈n m r R ）（的满秩分解为().0n m GJ G F J F A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 1m 1r ⨯⨯∈∈=R R F αβαβ，，,则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m m n 000BJ J J B J BJ BA mαα)12(12+⨯+∈n m r R ）（的满秩分解为 ().0n m GJ G F J F A β⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.5广义延拓矩阵的满秩分解定理 2.5.1 (广义行延拓矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 则广义行延拓矩阵n k m r 1k 21),,;(⨯-∈=R P P P B R A Λ，的满秩分解为 .),,;(1k 21G P P P F R A -=Λ，定理 2.5.2 (广义列延拓矩阵) 设n m r ⨯∈R B 的满秩分解为，r m r ,⨯∈=R F FG B ，n r r ⨯∈R G 则广义列矩阵n m r 1k 21),,;(k R P P P B C A ⨯-∈=Λ，的满秩分解为 ).,,;(1k 21-=P P P G FC A Λ，3 矩阵的满秩分解的应用3.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵广义逆矩阵概念早在1920年就被提出,但是没有受到人们的关注.至到1955年R.Penrose 通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵,这才受到关注. 3.1.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵-A在这里首先介绍最一般的广义逆矩阵的概念,并利用矩阵的满秩分解来求解一个矩阵A 的广义逆矩阵.-A定义 ]6[1.1.1.3（广义逆矩阵-A ）设n m ⨯∈C A ,若存在m n ⨯∈C G ,使得A AG =A则称G 是A 的广义逆矩阵,并记为.-=A G有了矩阵的满秩分解和广义逆矩阵-A 的定义,现在给出对矩阵A 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵-A 的算法定理 3.1.1.1设n C A ⨯∈m r ,{}n m ,m in r rank <=A ,且存在可逆矩阵n n m C Q C P ⨯⨯∈∈,m 使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,A 有满秩分解FG A =, 则有 .000,rP I Q A F G A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----或 例 3.1.1.1 试利用矩阵的满秩分解求如下矩阵A 的一个广义逆矩阵-A ..111100011200⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 解 显然2rank =A ，先求A 的满秩分解:.000000100011111100011200⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011G ,从而FG A F =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，得11100120. 再求:,--G F.12145162111110210106112)(11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---HH F F F F⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--100210212002100101)(11-H H GG G G 于是.242-851-62-51-62-2211214516211110021021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---F G A 3.1.2 利用矩阵A 的满秩分解求M-P 广义逆矩阵+A接下来将介绍由Moore 和Penrose 研究出的M-P 广义逆,并研究利用矩阵满秩分解来求解一个矩阵A 的M-P 广义逆矩阵.+A定义]6[1.2.1.3（广义逆矩阵+A ）设n m ⨯∈C A ,若存在m n ⨯∈C G ,使得⑴;A A =AG ⑵;G GAG =⑶;)(AG AG H =⑷;)(GA GA H =则称G 是A 的P M -广义逆矩阵,并记为.+=A G定理 3.1.2.2 设n C A ⨯∈m r ,且FG A =是A 的满秩分解,则有,)()(11H H H H B B B DD D G --=就是A 的一个P M -广义逆矩阵，+A 并且+A 是惟一的.特别地, 对于行满秩和列满值秩矩阵,我们有⑴设n m C F ⨯∈是一个行满秩矩阵,则有;)(1-+=H H FF F F ⑵设n m C G ⨯∈是一个列满秩矩阵,则有.)(1H H G G G G -+=例3.1.2.1 设矩阵A 为,55444411⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=A 求A 的P M -广义逆矩阵.+A解 取[],5441,11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=G F 则A FG A 是=的满秩分解,由引理可得[])11()1111(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--+HH F F F F ）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2121, [],544158154415441544111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--+）（H HGG G G于是==+++F G A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1165291291116111652912911161212154415813.2 线性方程组的极小最小二乘问题在高等代数中,对于给定的矩阵n n ⨯∈C A ,向量n C b ∈,存在矩阵n n C G ⨯∈使得Gb x =是线性方程组b =Ax 有解的充要条件是1-=A G .同样的，对于相容线性方程组）)(b (,b A R Ax ∈=的解与广义逆矩阵-A 也有类似结果:对于给定的矩阵n m ⨯∈C A ,对任何)(A R b ∈,存在矩阵m ⨯∈n C G 使得b G x =是线性方程组b =Ax 相容的充要条件是.-=A G 进而, 线性方程组b =Ax 相容的充要条件是.b b AA =-事实上,由上面得到的结论b A x -=是b =Ax 的解,于是.b b AA =-另外,令b b AA A b A x ===--00x ,则,这说明方程组b =Ax 有解即)(A R b ∈，故线性方程组b =Ax 相容.现在利用线性方程组b =Ax 的系数矩阵A 的广义逆矩阵-A 可以给出相容线性方程组b =Ax 的通解.由于b -A x =是相容线性方程组b =Ax 的一个特解,并根据非其次线性方程组的解的结构可以得到,b =Ax 的通解是由它的特解和齐次线性方程组0=Ax 的通解)(,n 为任意向量）（y y AA I x --=组成.定理 3.2.1 设矩阵n m ⨯∈C A ,则相容线性方程组b =Ax 的通解为)(,b n 为任意向量）（y y AA I A x ---+=.例 3.2.1 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+103233x 3212131x x x x x x 的通解.解 因对 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103b ,111032301A有2),(rank rank ==b A A ，方程组相容.先求-A 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-000101001A于是所给方程组的通解为33213123023y 1002003-0002-3b y y y yAA I A x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=--）（现在,假设线性方程组b =Ax 是不相容的,即它是矛盾方程组.虽然它在一般意义下无解,但是在实际问题中所遇到的线性方程组都是不相容的.在这种情况下,实际应用要求我们找到一个近似解n 0C x ∈使得它的误差范数最小,即{}n C x A A ∈=,b -x min b -x 0并将这样的近似解称为不相容线性方程组的最小二乘解.然而,对于一般的不相容线性方程组的最小二乘解并不唯一,通常将其中范数最小二乘解称为极小最小二乘解,并且它是唯一的.定理 3.2.2对于给定的矩阵n m ⨯∈C A ,对任何)(A R b ∉,存在矩阵m ⨯∈n C G 使得b G x =是线性方程组b =Ax 相容的充要条件是，+=A G 且极小最小二乘解为b +=A x .例 3.2.2 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=++3642x 122x 0x 332x 3213131321x x x x x x 的极小最小二乘解.解 因对 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3101b ,642202101321A 有3),(rank 2rank ==b A A ，而,所以所给方程组不相容.先求+A 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+221148-4-22-1051-301A , 故方程组的极小最小二乘解为.3211013101221148-4-22-1051-3010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+bA x参考文献[1] 程云鹏. 矩阵论[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2000: 220-225.[2] 魏洪增. 矩阵理论与方法[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006: 250-280.[3] 蔺小林,蒋耀林. 酉对称矩阵的QR分解及其算法[J]. 计算机学报. 2005. 28: 817-822.[4] 邹红星,王殿军,戴琼海. 行（或列）对称矩阵的QR分解[J]. 中国科学. 2009. 32（9）: 842-849.[5] 郭伟. 全对称矩阵的满秩分解及其Moore-Penrose逆[J]. 四川师范大学学报. 2009. 32（4）: 454-457.[6] 许成峰,刘智秉. 广义延拓矩阵的QR分解[J]. 九江学院学报. 2009. 29（6）: 78-78.[7]黄延祝,钟字铭,李正良. 矩阵理论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 182-208.致谢光阴似箭，日月如梭，转眼间我的大学生涯即将结束了。
第4章-矩阵分解
于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或者 A P1B ． 将 P 1
分块为 P 1 (F , S ) ，其中
F C mr 且 rankF r ， S C m(mr) 且 rankS m r ，
则有
A P1B (F, S)G0 FG， 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
若 k 0 ，就取 k
1
kH k
k ，（ k
2,3,n) ．
可以验证 1, 2 , n 为“正交向量组”，且每个向量或为零向量， 或为单位向量．而且每个 j 是1, 2 j 的线性组合．反过来上述作 法也保证了每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．因此存在复数 rij 使得
P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是1,2,, n 的一个全排列．
0 0 1 0
例如，矩阵
P
(e3
,
e4
,
e1
,
e2
)
=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
就是一个
4
阶置换
矩阵．
置换矩阵 P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C mn ， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 ,, jn 的次序
1
P
1
A
P
0
r12 2
r n11n 1
r
n2 2n
n
0
b12
2
b1n
b2n
，
n
对给定的 0 ，可选择 r ，使得 bij 成立． 1i jn
10 满秩分解
第十讲 满秩分解1. 定义：设(0)m n rA C r ⨯∈>，若存在矩阵m r rF C⨯∈及r n rG C⨯∈，使得A FG =则称上式为A 的满秩分解.☆说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩. （2）满秩分解不唯一:r rrD C⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则1()A FG F DD G -==111()()FD D G F G -== ，且11,m r r n rrF CG C⨯⨯∈∈.（3）当A 是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时，A 可分解为一个因子是单位矩阵，另一个因子是A 本身，即A I A =或A A I =，称此满秩分解为平凡分解.2. 定理1 [存在性定理]： 任何非零矩阵均存在满秩分解. 证：采用构造性证明方法. 设(0)m n rA Cr ⨯∈>，则存在初等变换矩阵（即初等矩阵的乘积）m mmP C ⨯∈，（即对A 进行初等行变换）使 ()G r PA B O m r ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 行行，其中r n rG C⨯∈将A 写成1A PB -=，并把1P -分块成[]1()r m r P FS --= 列列，其中m r rF C⨯∈，[]G A F S FG O ⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩分解. [ 证毕 ] 例1. 求矩阵101212112221A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦的满秩分解.解：对[]A I 进行初等行变换，当A 所在的位置成为阶梯形矩阵B 时，则I 所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积P .1012100[]12110102221001A I -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 101210002031100000111-⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行，所以 101202030000B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100110111P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 于是PA B =，1A PB -=，可求得 1100110211P-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，于是有10101211020321A ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦. 3. Hermite 标准形（行最简形） 定义 设(0)m nrB Cr ⨯∈>，且满足（1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后()m r -行的元素全为零（称为零行）；（2）若B 中第i 行的第一个非零元素1在第i j 列(1,2,,)i r = ，则12r j j j <<< ; （3）矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…，第r j 列恰为m 阶单位矩阵m I 的前r 列（即12,,,r j j j 列上除了前述的1外全为0）， 则称B 为Hermite 标准形。
（完整word版）矩阵分解及其简单应用
（完整word版）矩阵分解及其简单应用对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。
矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。
秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。
1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即?k≠0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。
由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：{Ly=b Ux=y先由Ly=b依次递推求得y1, y2,......，y n，再由方程Ux=y依次递推求得x n，x n?1， (x1)必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P 左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：{Ly=pb Ux=y这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
分裂四元数矩阵的满秩分解及应用
分裂四元数矩阵的满秩分解及应用武秀美【摘要】利用分裂四元数矩阵的复表示研究了分裂四元数矩阵满秩分解的代数方法.把广义逆的概念推广到分裂四元数矩阵代数上,最后利用广义逆研究了分裂四元数线性方程组解的问题.【期刊名称】《江汉大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(046)004【总页数】6页(P314-319)【关键词】分裂四元数;分裂四元数矩阵;复表示;满秩分解;广义逆【作者】武秀美【作者单位】菏泽学院数学与统计学院,山东菏泽 274015【正文语种】中文【中图分类】O1511843年Hamilton研究了四元数体H，并记作其中i2=j2=k2=-1,ijk=-1。
1849年James Cockle探讨了分类四元数环Hs，并记作其中i2=-1,j2=k2=1,ijk=1。
分裂四元数环是结合代数和不可交换的4维Clifford代数，并且它包含零因子、幂零因子和非平凡的幂等元。
分裂四元数环和四元数环是两种不同的非交换四维Clifford代数，后者是一个非交换的体，而前者不是。
因此分裂四元数环的代数结构比四元数体的代数结构更为复杂。
分裂四元数的研究是最近比较新的一个课题，国内外许多专家学者对分裂四元数的性质及应用展开了探讨。
文献［1-3］研究了分裂四元数在几何上的应用，文献［4-7］系统地给出了分裂四元数的分析性质和代数性质，文献［8-9］探讨了分裂四元数矩阵的可对角化问题及最小二乘问题。
本文利用分裂四元数的复表示研究了分裂四元矩阵满秩分解的代数方法，定义了分裂四元数矩阵的广义逆，利用分裂四元数矩阵满秩分解定理给出了广义逆的若干性质，最后利用分裂四元数矩阵的广义逆，给出了分裂线性方程组的解。
1 分裂四元数矩阵的复表示R表示实数域，C=R⊕Ri表示复数域，H s=R⊕Ri⊕Rj⊕Rk表示分裂四元数环，其中i2=-1,j2=k2=1,ijk=1。
Fm×n表示环F上的m×n矩阵的全体。
矩阵分解及应用
引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。
许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。
在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。
在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。
英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。
凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。
后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。
而在我国，矩阵的概念古已有之。
从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。
尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。
而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。
这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。
随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。
矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。
矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。
在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。
如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。
这就是矩阵分解的主要目的。
而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。
第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解
AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、 矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、 矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、 矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、 矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ， 对 角 阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，
矩阵的满秩分解及其应用
矩阵的满秩分解及其应用矩阵的满秩分解（rank factorization）是一种用于矩阵的分解的方法，可以将矩阵A 分解为两个秩相同的数量级较小的矩阵U和V，即：A = U·V。
这里，A看作一个mxn矩阵，U看作一个mxk矩阵，V看作一个kxn矩阵，k ≤ min(m,n )，其中m为A的行数，n为A的列数。
矩阵的满秩分解有助于将矩阵A重新组合成多个子矩阵，这样就可以更加方便快捷地处理问题。
因此，它是线性代数中非常有用的一种矩阵分解方法。
它在利用矩阵数据，比如数字图像和视频数据，解决机器学习的问题上也有重要的作用。
满秩分解的应用主要体现在机器学习、计算机视觉、机器智能等方面，主要是矩阵因素分解（matrix factorization）。
其认为给定mxn大小的值矩阵A，存在某种方式，使A可以被重新写成为形式U·V，其中U是一个mxk矩阵，V是一个kxn矩阵，k 为A的秩rssss。
该方法的目的在于发现具有特定意义的两个矩阵U和V，以因素（factor）的形式表示给定的矩阵A。
在机器学习领域，满秩分解的应用有：1）对于推荐系统，可以使用满秩分解技术分析用户的评价历史，从而更好地发现更多的推荐点；2）矩阵因素分解可以在框架形式学习（frame-based learning）中用于发掘特定用户之间存在的复杂关系；3）在自然语言处理（natural language processing）中，满秩分解可以作为文本聚类算法（text clustering algorithms）或文本情感分析（text sentiment analysis）的工具；4）满秩分解同样可以作为概率图模型（probabilistic graphical model）的基本元素，用于解决有向图的推理问题。
满秩分解的另一种用途是数据压缩，这是因为使用rank factorization可以将n×n原矩阵压缩成r×r小矩阵，大约可以减少90%的存储空间。
利用满秩分解的结果计算
利用满秩分解的结果计算
满秩分解是将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个矩阵是上三角矩阵。
利用满秩分解的结果，可以方便地进行矩阵的计算。
具体来说，设矩阵A为n×n的方阵，它可以进行满秩分解为A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
利用这个分解结果，可以计算矩阵A的逆矩阵、行列式、特征值、特征向量等一系列重要的矩阵运算。
例如，要求矩阵A的逆矩阵，可以利用满秩分解的结果进行计算，即A^-1=R^-1Q^-1。
由于Q是正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，即Q^-1=Q^T，因此A^-1=R^-1Q^T。
这样，只需要求出R的逆矩阵即可求得A的逆矩阵，而由于R是上三角矩阵，其逆矩阵也是一个上三角矩阵，因此可以通过回带法等简单的方法求得R的逆矩阵。
类似地，利用满秩分解的结果还可以方便地计算矩阵的行列式、特征值、特征向量等，这对于矩阵的求解、线性方程组的解法、矩阵的谱分解等都有重要的应用价值。
因此，熟练掌握满秩分解的原理和应用方法，对于矩阵计算的效率和准确性都有很大的提升作用。
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并 且 Ａ＝ ＦＧ ． 此外 ， Ｉ 强ｒ ＝ ｒ （ Ａ） ＝ ｒ （ ＦＧ） ≤（ Ｇ） ≤ｒ ，
故ｒ （ Ｇ） ＝ ｒ ， 于 是推 得 Ｇ∈ Ｃ “ ．
设 Ａ ∈ｃ （ ｒ ＞ ０） ． 我 们 已经 知 道 ， Ａ 的 满 秩 分 解
Ａ＝ ＦＧ 的 方 法 之 一 是 把 Ａ 列 空 间 的 一 组 基 底 作 为 列
（ ４）若 Ａ ｅＣｔ ａ ｒ ｍ 且 Ｂ ｅＣ ， 贝 Ｕ ｒ （ ＡＢ） ≤ｍ ｉ ｎ ｛ ｒ （ ｒ （ Ａ） ， ｒ （ Ｂ） ｝ ； （ ５ ）若 ， Ｃ可 逆 ， 则 ｒ （ ＡＢ） ＝ ｒ （ Ａ） ＝ ｒ （ Ｃ Ａ） ．
Ａ Ｉ Ｒ ｌ ｌ ＝ Ｒ ￣ Ｇ ＋ Ｒ ＿ ， Ｏ ＝ Ｃ Ｉ Ｇ ，
关 于 任 何 矩 阵 均 存 在 满 秩 分 解 的 证 明 过 程 实 际 上就 是 分 解 的方 法 ， 但计 算 却 非 常 复杂 ． 若利Ｊ 【 ｛ ＿ ｊ 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 Ａ 化 成 行 最 简 阶 梯 ， 则 同 样 可 得 Ａ 的 满秩分 解 ， 而计 算 较前 法 却 大 为 简 化 ． 具体来说 ， 就 是 找一 个 Ｃ～ 巾 的可 逆 矩 阵 露， 使 得
阵的计算方法． 关键词 ： 满秩分解 ； 正交满秩分解 ； 初等变换 ； 正交投影 ； 矩 阵对角化
中图 分 类 号 ： ０１ ５ １ ． ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ ２ Ｘ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — ０ ０ １ — ０ ３
第３ ６卷第 ６期
２ ０ １ ５年 １ １ 月
喀什师范学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｋａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｖｏ ｌ － ３ ６ ＮＯ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２０ ９ ３ ３ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｊ ． ｋ ａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ ． ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ． ｃ ｏ ｉ ｌ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ６ ． ０ ０ １
非 零 行 按 照 它 们 在 ＲＲ Ｅ Ｆ （ Ａ） 巾相 同 的 顺 序 组 成 ， 从 而 Ａ 的 满 秩 分解 就 是 Ａ＝ ＦＧ．
设Ａ∈ Ｃ 且ｒ ＞ ０ ． 若存在 Ｆ∈ ｃ ■和 Ｇ∈ ｃ 使得
Ａ＝ ＦＧ则 Ａ 称 有 满秩 分 解 ． 然 ，任 何 矩 阵 Ａ ∈Ｃ … （ ｒ ＞ ０ ） 都有满秩分解． 事实上 ， 设 Ａ 的 列 空 问 基 底 组 成 的矩 阵 为 因 Ａ 的 每 一 列 可被 Ｆ 的 列 唯一 线 性 表 出 ，故 由 这 些 线 性 组 合 系 数 可 唯一 地 确 定 一 个 矩 阵
取 Ｆ＝ Ｒ， ， 因 Ｒ 可逆 ，故 它 的 ｒ 个 列 线 性 无 关 ，从 而
Ｆ∈ ｃ ■且 Ａ ＝ Ｆ Ｇ ． 于是我们得到计算矩阵ＡＥ ｃ 满
秩 分解 的初 等变 换 算 法 ： 第 一 步 ，用 初 等行 变 换 将 Ａ 化 成 行 最 简 阶 梯 形 ，
记作 Ｒ ＲＥ Ｆ （ Ａ） ；
１ 准备知识
设 表 示 元 素 取 自于 Ｃ 的 ｍ￣ ｎ矩 阵集 合 ， 其 中 Ｃ为 复 数 域 ．设 Ａ ∈Ｃ一 ，用 Ａ 表 示 Ａ 转 置 （ 或
Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ共 轭 ） ． Ａ 的行 向量 生 成 的 Ｃ 的子 空 间 ， 称 为 Ａ 的行 空 间 ， 行空间的维数称 为 Ａ的行秩． 同样 ， Ａ 的列 秩是 由列 向量 生成 的 Ｃ 的 子 空 间 维 数 ． 因矩 阵 Ａ 的行 秩 等 于 列 秩 ， 故统称为矩阵的秩 ， 记作 ｒ （ Ａ） ． 用 Ｃ
Ｇ ∈Ｃ…
，
注意 ， 矩 阵 的满 秩 分 解 不 唯 一 ． 事实 上 ， 若 Ａ＝ ＦＧ 是Ａ在 Ｃ … 中 任 意一 个 满 秩 分 解 ， Ｒ是 Ｃ 中 任 意 可
逆矩阵 ， 则 Ａ＝ ＦＧ＝ Ｆｉ ｃ Ｒ Ｇ＝ （ 朋 ） （ Ｇ） ＝ Ｆ Ｇ 就 是 Ａ 的 另一 个 满 秩分 解 ． ２ ． ２ 特 殊 满秩 分 解
第二步 ， 构 造 矩 阵 Ｆ， 其巾Ｊ Ｆ的 列 由 Ａ 的 对 应 于
Ｒ ＲＥ Ｆ （ Ａ） 轴 列 的列 ， 按 照 它 们 在 Ａ 中相 同 的 顺 序 组
成；
２ 满秩分解
２ ． １ 一般 满 秩 分解
第三步 ， 构 造 矩 阵 Ｇ， 其 中 Ｇ 的行 由 Ｒ ＲＥ Ｆ ｆ Ａ） 的
表 示 Ｃ一 中秩 为 ｒ 的矩 阵 集 合． 若 ｒ （ Ａ） ： ｍ或 ｒ （ Ａ） ＝ ｎ， 则 称 矩 阵 Ａ 行 满 秩或 列 满 秩 ， 关 于 矩 阵 的秩 有 如 下 重要 结 果 川 ： （ １ ）若 Ａ ∈Ｃ一 ， 则 ｒ （ Ａ） ≤ ｍｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ ｌ ； （ ２ ）若 Ａ， Ｂ∈Ｃ一 ， 贝 Ｕ ｒ （ Ａ＋ Ｂ） ≤ｒ （ Ａ） ＋ ｒ （ 曰） ； （ ３ ）若 Ａ， Ｂ ∈Ｃ一 ， 则 ｒ （ Ａ’ ） ＝ ｒ （ Ａ． Ａ） ；
矩阵的满秩分解及其应用
邓 勇
（ 喀什大学 数学与统计学 院， 新疆 喀什 ８ ４ ４ ０ ０ ８ ）
摘 要： 把一个矩 阵分解成两个或三个特殊矩阵乘 积是数值计算的核心内容． 从矩阵的满秩分解 出发 ， 揭 示了其
与高等代数一些重要 主题 ， 如广义逆 、 基本 映射和奇异值分解等 的联系 ， 同时 ， 给 出了正交投影矩阵和对角化矩
Ｒ Ａ 【 Ｉ Ｌ ｌ ｒ ￣ｊ ，
其中ｒ ＝ ｒ （ Ａ） ＝ （ Ｇ） ， 即 Ｇ ∈ｃ …； ０ …） 是零 矩 阵． 于是
、
Ａ ＝ Ｒ ｌ
ｊ ＿
令 Ｒ～ ＝ ｔ ｉ ｃ 。 ｌ Ｒ 】 ，其 中 Ｒ。 由足 的 前 ｒ 列组成 ， Ｒ
由 Ｒ 剩余 的 列 组 成 ， 即 尺 是 Ｒ 的 ｍＸ ｒ 阶分块 ， 足 是 足 的 ｍＸ （ ｍ— ｒ ） 阶 分块 ， 并 且