矩阵的满秩分解及其应用

１ 准备知识
设 表 示 元 素 取 自于 Ｃ 的 ｍ￣ ｎ矩 阵集 合 ， 其 中 Ｃ为 复 数 域 ．设 Ａ ∈Ｃ一 ，用 Ａ 表 示 Ａ 转 置 （ 或
Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ共 轭 ） ． Ａ 的行 向量 生 成 的 Ｃ 的子 空 间 ， 称 为 Ａ 的行 空 间 ， 行空间的维数称 为 Ａ的行秩． 同样 ， Ａ 的列 秩是 由列 向量 生成 的 Ｃ 的 子 空 间 维 数 ． 因矩 阵 Ａ 的行 秩 等 于 列 秩 ， 故统称为矩阵的秩 ， 记作 ｒ （ Ａ） ． 用 Ｃ
第二步 ， 构 造 矩 阵 Ｆ， 其巾Ｊ Ｆ的 列 由 Ａ 的 对 应 于
Ｒ ＲＥ Ｆ （ Ａ） 轴 列 的列 ， 按 照 它 们 在 Ａ 中相 同 的 顺 序 组
成；
２ 满秩分解
２ ． １ 一般 满 秩 分解
第三步 ， 构 造 矩 阵 Ｇ， 其 中 Ｇ 的行 由 Ｒ ＲＥ Ｆ ｆ Ａ） 的
第３ ６卷第 ６期
２ ０ １ ５年 １ １ 月
喀什师范学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｋａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｖｏ ｌ － ３ ６ ＮＯ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２０１ ５
Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ ３ ９ ３ ３ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｊ ． ｋ ａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ ． ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ． ｃ ｏ ｉ ｌ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ６ ． ０ ０ １
并 且 Ａ＝ ＦＧ ． 此外 ， Ｉ 强ｒ ＝ ｒ （ Ａ） ＝ ｒ （ ＦＧ） ≤（ Ｇ） ≤ｒ ，
故ｒ （ Ｇ） ＝ ｒ ， 于 是推 得 Ｇ∈ Ｃ “ ．
设 Ａ ∈ｃ （ ｒ ＞ ０） ． 我 们 已经 知 道 ， Ａ 的 满 秩 分 解
Ａ＝ ＦＧ 的 方 法 之 一 是 把 Ａ 列 空 间 的 一 组 基 底 作 为 列
非 零 行 按 照 它 们 在 ＲＲ Ｅ Ｆ （ Ａ） 巾相 同 的 顺 序 组 成 ， 从 而 Ａ 的 满 秩 分解 就 是 Ａ＝ ＦＧ．
设Ａ∈ Ｃ 且ｒ ＞ ０ ． 若存在 Ｆ∈ ｃ ■和 Ｇ∈ ｃ 使得
Ａ＝ ＦＧ则 Ａ 称 有 满秩 分 解 ． 然 ，任 何 矩 阵 Ａ ∈Ｃ … （ ｒ ＞ ０ ） 都有满秩分解． 事实上 ， 设 Ａ 的 列 空 问 基 底 组 成 的矩 阵 为 因 Ａ 的 每 一 列 可被 Ｆ 的 列 唯一 线 性 表 出 ，故 由 这 些 线 性 组 合 系 数 可 唯一 地 确 定 一 个 矩 阵
取 Ｆ＝ Ｒ， ， 因 Ｒ 可逆 ，故 它 的 ｒ 个 列 线 性 无 关 ，从 而
Ｆ∈ ｃ ■且 Ａ ＝ Ｆ Ｇ ． 于是我们得到计算矩阵ＡＥ ｃ 满
秩 分解 的初 等变 换 算 法 ： 第 一 步 ，用 初 等行 变 换 将 Ａ 化 成 行 最 简 阶 梯 形 ，
记作 Ｒ ＲＥ Ｆ （ Ａ） ；
矩阵的满秩分解及其应用
源自文库邓 勇
（ 喀什大学 数学与统计学 院， 新疆 喀什 ８ ４ ４ ０ ０ ８ ）
摘 要： 把一个矩 阵分解成两个或三个特殊矩阵乘 积是数值计算的核心内容． 从矩阵的满秩分解 出发 ， 揭 示了其
与高等代数一些重要 主题 ， 如广义逆 、 基本 映射和奇异值分解等 的联系 ， 同时 ， 给 出了正交投影矩阵和对角化矩
阵的计算方法． 关键词 ： 满秩分解 ； 正交满秩分解 ； 初等变换 ； 正交投影 ； 矩 阵对角化
中图 分 类 号 ： ０１ ５ １ ． ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ ２ Ｘ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — ０ ０ １ — ０ ３
Ｇ ∈Ｃ…
，
注意 ， 矩 阵 的满 秩 分 解 不 唯 一 ． 事实 上 ， 若 Ａ＝ ＦＧ 是Ａ在 Ｃ … 中 任 意一 个 满 秩 分 解 ， Ｒ是 Ｃ 中 任 意 可
逆矩阵 ， 则 Ａ＝ ＦＧ＝ Ｆｉ ｃ Ｒ Ｇ＝ （ 朋 ） （ Ｇ） ＝ Ｆ Ｇ 就 是 Ａ 的 另一 个 满 秩分 解 ． ２ ． ２ 特 殊 满秩 分 解
Ｒ Ａ 【 Ｉ Ｌ ｌ ｒ ￣ｊ ，
其中ｒ ＝ ｒ （ Ａ） ＝ （ Ｇ） ， 即 Ｇ ∈ｃ …； ０ …） 是零 矩 阵． 于是
、
Ａ ＝ Ｒ ｌ
ｊ ＿
令 Ｒ～ ＝ ｔ ｉ ｃ 。 ｌ Ｒ 】 ，其 中 Ｒ。 由足 的 前 ｒ 列组成 ， Ｒ
由 Ｒ 剩余 的 列 组 成 ， 即 尺 是 Ｒ 的 ｍＸ ｒ 阶分块 ， 足 是 足 的 ｍＸ （ ｍ— ｒ ） 阶 分块 ， 并 且
表 示 Ｃ一 中秩 为 ｒ 的矩 阵 集 合． 若 ｒ （ Ａ） ： ｍ或 ｒ （ Ａ） ＝ ｎ， 则 称 矩 阵 Ａ 行 满 秩或 列 满 秩 ， 关 于 矩 阵 的秩 有 如 下 重要 结 果 川 ： （ １ ）若 Ａ ∈Ｃ一 ， 则 ｒ （ Ａ） ≤ ｍｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ ｌ ； （ ２ ）若 Ａ， Ｂ∈Ｃ一 ， 贝 Ｕ ｒ （ Ａ＋ Ｂ） ≤ｒ （ Ａ） ＋ ｒ （ 曰） ； （ ３ ）若 Ａ， Ｂ ∈Ｃ一 ， 则 ｒ （ Ａ’ ） ＝ ｒ （ Ａ． Ａ） ；
关 于 任 何 矩 阵 均 存 在 满 秩 分 解 的 证 明 过 程 实 际 上就 是 分 解 的方 法 ， 但计 算 却 非 常 复杂 ． 若利Ｊ 【 ｛ ＿ ｊ 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 Ａ 化 成 行 最 简 阶 梯 ， 则 同 样 可 得 Ａ 的 满秩分 解 ， 而计 算 较前 法 却 大 为 简 化 ． 具体来说 ， 就 是 找一 个 Ｃ～ 巾 的可 逆 矩 阵 露， 使 得
（ ４）若 Ａ ｅＣｔ ａ ｒ ｍ 且 Ｂ ｅＣ ， 贝 Ｕ ｒ （ ＡＢ） ≤ｍ ｉ ｎ ｛ ｒ （ ｒ （ Ａ） ， ｒ （ Ｂ） ｝ ； （ ５ ）若 ， Ｃ可 逆 ， 则 ｒ （ ＡＢ） ＝ ｒ （ Ａ） ＝ ｒ （ Ｃ Ａ） ．
Ａ Ｉ Ｒ ｌ ｌ ＝ Ｒ ￣ Ｇ ＋ Ｒ ＿ ， Ｏ ＝ Ｃ Ｉ Ｇ ，