矩阵的满秩分解
matlab 满秩分解
matlab 满秩分解满秩分解（RREF）是线性代数中一种重要的运算方法，也是MATLAB中提供的一个常用函数。
满秩分解是将一个矩阵化为阶梯形矩阵的过程，可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩以及求解矩阵的逆等问题。
本文将介绍MATLAB中的满秩分解函数以及其应用。
MATLAB中满秩分解函数名为rref，使用方法相对简单。
首先，我们需要构造一个矩阵作为输入参数，可以是整数、小数或者符号变量。
例如，我们定义一个3×4的矩阵A：A = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12];接下来，我们调用rref函数对矩阵A进行满秩分解，语法为：B = rref(A);rref函数会返回一个满秩分解后的阶梯形矩阵B。
对于上述给定的矩阵A，rref 函数得到的阶梯形矩阵B为：B = [1, 0, -1, -2; 0, 1, 2, 4; 0, 0, 0, 0];满秩分解函数rref在求解线性方程组时是非常实用的。
对于一个m×n的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数n，那么方程组存在唯一解；如果秩小于n，则方程组存在多个解或者无解。
通过满秩分解，我们可以快速判断线性方程组的解的情况。
例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y - 4z = 5;3x + 2y + z = 7;5x - y + 2z = 1;我们可以将系数矩阵和常数向量构造成一个增广矩阵，然后调用rref函数求解。
具体过程如下：A = [2, 3, -4; 3, 2, 1; 5, -1, 2];B = [5; 7; 1];AB = [A, B];R = rref(AB);rref函数返回的阶梯形矩阵R为：R = [1, 0, 0, 3; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -2];从矩阵R中可以得到方程组的解为x = 3, y = -1, z = -2。
另外，满秩分解还可以用来计算矩阵的秩。
矩阵分解在求解齐次线性方程组中的应用
矩阵分解在求解齐次线性方程组中的应用金少华;金大永;徐勇【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2016(036)004【总页数】1页(P61-61)【作者】金少华;金大永;徐勇【作者单位】河北工业大学理学院，天津 300401;河北工业大学理学院，天津300401;河北工业大学理学院，天津 300401【正文语种】中文矩阵的满秩分解及奇异值分解[1-2]在优化理论和统计学领域有着广泛的应用．本文研究了矩阵的满秩分解及奇异值分解在求解齐次线性方程组中的应用，并给出了算例．1 运用矩阵的满秩分解求解齐次线性方程组定理设矩阵的满秩分解为，则的充要条件是．证明必要性．如果，那么显然有，即．充分性．如果，那么显然有，由于为矩阵的满秩分解，所以矩阵的列向量线性无关，由此可知，方程组只有零解，于是有．证毕．例1 求解齐次线性方程组，其中：．解对进行初等行变换化为，则的满秩分解为，解方程组，得到方程组的通解为．2 运用矩阵的奇异值分解求解齐次线性方程组设（为实数域上秩为的全体阶矩阵的集合）的奇异值分解为，，其中：是阶正交矩阵；是阶正交矩阵；，为的正奇异值．于是可写为．方程两边左乘，得．令，则有，该方程的通解为，其中：为第个数为的单位列向量（）．设阶正交矩阵的第个列向量为（），则方程组的通解为（）．因为在矩阵的奇异值分解中，的列向量是的特征向量．所以恰为的属于特征根0的特征向量．所以应用奇异值分解求解齐次线性方程组的方法为：求出的属于特征根0的线性无关特征向量，则这些特征向量的任意线性组合即为的通解．需要指出的是，若无特征根0，说明可逆，即列满秩，从而只有零解．例2 求解齐次线性方程组，其中：．解的属于特征根0的线性无关特征向量为，因此方程组的通解为（，）．[1] 程云鹏，张凯院，徐仲．矩阵论[M]．西安：西北工业大学出版社，2000[2] 杨明，刘先忠．矩阵论[M]．武汉：华中科技大学出版社，2005。
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
矩阵满秩分解的一些应用
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
矩阵的满秩分解
§矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解
第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
矩阵分解的研究[开题报告]
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毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵分解的研究一、选题的背景、意义数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义。
在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。
因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。
矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。
矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。
寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。
因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。
其中的ij a 称为这个矩阵的元。
两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。
矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。
如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。
数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。
如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。
第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解案例
G r n PA B , G C r O
把 P 1 改写为分块阵 P 1 F 则有 G 1
, 或者 A P 1 B
S , F C
m r r
,S C
m ( n r ) nr
A P B F
S O FG
1 0 0 2 0 1 0 1 A 行 B 0 0 1 1 0 0 0 0 j1 1, j 2 2, j 3 3 ,根据定理2.8, A
4 1 0 2 F 1 2 1 2 而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 4 1
1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 A E 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 3 1 1 0 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
.
最后有
1 0 1 0 1 2 A FG 1 1 0 2 0 3 2 1
于是, 的最大秩分解为
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5
4 1 1 1 0 0 2 3 0 0 2 A FG 0 1 0 1 2 1 2 4 0 0 1 1 5 1 2 1
B12 AP1 P ( BP1 ) F F FB12 O 上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1 , j2 , , jr
列构成的矩阵. 证毕.
Er S O
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 准形法. 例:用 Hermite 行标准形法求矩阵 1
A P 1 B
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
矩阵的满秩分解及其方法
矩阵的满秩分解及其方法
房月华;陈萍
【期刊名称】《衡水学院学报》
【年(卷),期】2011(013)004
【摘要】The full rank decomposition of the matrix is a special kind of decomposition in the matrix decomposition.In the article,we give the proof of two theorems of the matrix decomposition;we have got two methods of full rank decomposition of the matrix accordin%矩阵的满秩分解是矩阵分解中一类特殊的分解,给出了矩阵满秩分解的2个定理的证明以及求矩阵满秩分解的2种方法.
【总页数】3页(P16-18)
【作者】房月华;陈萍
【作者单位】衡水学院数学与计算机科学学院,河北衡水053000;衡水学院数学与计算机科学学院,河北衡水053000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵满秩分解的二种方法 [J], 王金林
2.一种实现矩阵满秩分解的简单方法 [J], 郭晓斌;尚德泉
3.矩阵的满秩分解和强满秩矩阵的三角分解的初等变换法 [J], 李先崇
4.矩阵满秩分解的一种简易方法 [J], 曾姣华;
5.可验证的大规模矩阵满秩分解的安全外包 [J], 杜志强;郑东;赵庆兰
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矩阵论-A+的几种求法
54
1
32
234 130
34
75 43 182 53
33
21
78
15
2)因B列满秩，B+
=(BH B) 1 BH
=
(1,
3)
3 1
1
(1,
3)
1 10
(1,
3).
二、奇异值分解求A+
定理2：设A
Crmn，奇异值分解为A=U
Sr 0
0 0
V
H，其中
Sr diag{1, , n}，i >0,1 i r,则
1
1
=tr
0
nm
2
tr(AH A)
j 1
aij
i 1
, 于是有
0
秩1公式：若r( A) 1,则A+ =
1 2 AH . aij
i, j
A
+
=V
Sr1
0
0
0
U
H
, 此处Sr1
diag{1-1,
, n-1}.
上述定理可简化：
定理3：设A
Crmn，在A奇异值分解A=U
Sr 0
0 0
VH中
令V=(x1, , xr ,xr1, ,xn )=(V1,V2 ).则
A+
=V1
-1 1
V1H AH.
-1 r
利用奇异值分解求A+的简化步骤：
1)求出AH A的r个非零特征值1， , r , i 0;
2)求出AH A对应于特征值1， , r的标准正交特征向量
1, ,r .令V1=(1, ,r );
3)则A+
广义延拓矩阵的满秩分解和广义逆
应用 问题等 领 域 不 仅有 广 泛 的实 际 应 用 ，而 且 也 有重要 的理 论 研 究价 值 ．文 献针 对 工 程 应 用 领 域 中大量 出现 的对 称 图像 ，给 出 了延 拓矩 阵 （ 或 行 列对称 矩阵 ） 的概 念 ，本 文在 文 献 ［ ４ 的 基 １～ ］ 础上给 出 了广 义延 拓 矩 阵 的满 秩 分 解 、秩分 解 和 广 义逆 的公 式及快 速算法 ，从而拓 宽 了文 献 ［ １— ４ 的理论应 用范 围． ］
广 义延拓 矩 阵 的满 秩 分 解 和 广 义 逆 米
简芳 洪 伍 亚魁 董永红 许 成锋 刘 智 秉
（ 江学院理 学院 江西九江 九 ３２ ０ ） ３０ ５
摘 要 ：本文研 究 了广 义延拓 矩 阵的性 质 ，利 用分块 矩 阵理论 获得 了许 多新 的 结果 ，给
出 了广义延拓 矩 阵的满秩分 解 、秩 分解和 广 义逆 的公 式及 快 速算 法． 它们 可极 大地 减 少广 义延拓 矩 阵的满秩 分解 、秩 分解 和广 义逆 的计 算 量与存储 量 ，并且 不会 丧失数 值精度 ．
关键词 ：广义延拓矩阵；满秩分解 ；广义逆 中图分类 号 ： ５ ． １ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１７ — ５５（００ ３ ０３ （３ ０ １ １２ ６４ ９４ ２ １）０ — ０４一 ０ ）
满秩 分解 是 矩 阵 的基 本 分 解 方法 之一 ，在 求
Ｃ Ａ； Ｐ ， ， ）＝［ 。 （ Ｐ ，ｚ… Ｐ一 ，Ｐ ， ， ， 一］∈ …
１广义延 拓矩阵 的概念
阵）时 ， （ ； Ｐ ， Ｐ ） Ｒ Ａ Ｐ ， …， ¨ 为文献 ［ ５—６ ］的第
一
类ｋ 次行延拓．当 Ｐ ＝Ｐ ２＝… ＝ 一 （ ，＝ 单
第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解
AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、 矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、 矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、 矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、 矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ， 对 角 阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，
15 矩阵的满秩分解
即存在可逆矩阵P2，使得 P2 A B
1
(2)
由(1)式和(2)式得到 B P2 A P2 PH 1 A
令P P2 P 1 ，则有
PB H A
B的Hermite标准形也是H A .
高等工程数学 8
高等工程数学
理学院 杨文强
第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
第四章矩阵分析及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解 一、矩阵的Hermite标准形：
矩阵行的初等变换：
(1)交换矩阵的任意两行；
(2)对矩阵的某一行乘以一非零的任意常数；
(3)矩阵的某一行乘以一个常数加到另一行.
注：
矩阵的行初等变换等价于矩阵左乘一相应的初等矩阵；
矩阵的列初等变换等价于矩阵右乘一相应的初等矩阵；
即 PAi Bi，i 1 ， 2， ，n.
Ai P1Bi，i 1 ， 2， ，n.
若矩阵A的列向量Ai1， Ai2， ， Aik 有线性关系：
x1 Ai1 x2 Ai2
则有 P x1 Ai1 x2 Ai2
为Hermite标准形H，即存在可逆方阵P，使得 PA H H 称为A的Hermite标准形 . 高等工程数学
高等工程数学
4
理学院 杨文强
第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
例2：求矩阵A的Hermite标准形及变换矩阵P，其中
1 2 1 2 1 A 2 4 1 2 3 3 6 3 6 3
单形式是什么矩阵？
高等工程数学 2
高等工程数学
理学院 杨文强
第四章矩阵分解及其应用
放映：《矩阵论及其应用》第4章§3矩阵的Hermite标准形及满秩分解
？
A C mn , rankA r 0，对 A 进行行初等变换 a11 a12 a1n 1 a1 2 a1n A a21 a22 a2 n 0 a2 2 a2 n H am1 am 2 amn 0 am 2 amn 其中 H 为Hermite 标准形. 首个非零列 P 使得 从而存在满秩方阵 相同处理 PA H 称 H为 A 的 Hermite 标准形，P称为变换矩阵.
指出下列矩阵哪些为 Hermite 标准形
1 1 0 0 2 0 0 1 0 4 , 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 5 0
则
设 A, B C mn ,若存在 m 阶可逆阵 P 使得 PA B
Ax0 0 PAx0 0 Bx0 0
即 A, B 的列向量之间具有相同的线性组合关系。 对 A 施行行初等变换不会改变 A的列向量之 间的线性组合关系。
设
2 A 1 1
4 6 30 2 1 7 [ A1 2 4 19
0 4 , G 1 0 0 5
1
3
0 2 0 0
1 4 1 1
3 12 3 3
2 13 2 2
5 2 0 0
则 A 有满秩分解
7 F 1 3 2
2 0 0 5 0 1 3 2
A FG
矩阵的满秩分解是否唯一？ 设 A 的满秩分解为 任取 r 阶满秩阵 D，则
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
毕业论文终稿 矩阵分解的初等方法
X X X X 大学本科毕业论文（设计）题目：矩阵分解的初等方法学院：学生姓名：学号：专业：年级：2008级完成日期：2012年5月10日指导教师：矩阵分解的初等方法摘要：矩阵是大学数学中一个重要的、有着广泛的应用的工具,它涉及到矩阵分析，线性代数和泛函分析等多个数学科目. 本文从矩阵的三角分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解、矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解和矩阵的极分解等几个方面，对矩阵分解的初步方法进行了概括总结性论述。
关键词: 矩阵；初等；分解；应用The Elementary Method of Matrix DecompositionAbstract：Matrix is an important tool in the study of university mathematics, which has a wide range of applications. It involves several mathematical subjects, such as matrix analysis, linear algebra and functional analysis. From the triangular decomposition of the matrix, the matrix of the QR decomposition, the matrix of the full rank decomposition, singular value decomposition, the spectral decomposition of the matrix , the matrix polar decomposition and other aspects, this paper discusses the initial method of matrix decomposition systematically in the summary.Keywords: matrix; elementary; decomposition; application目录1 矩阵的三角分解 (1)1.1 Gauss消元法的矩阵形式 (1)1.2 矩阵的三角分解 (2)1.3三角分解的紧凑计算格式 (3)1.4 矩阵的三角分解与解线性方程组 (7)2 矩阵的QR分解 (8)2.1 矩阵的QR分解基本概念、定理与方法 (8)2.2 直线度误差数学模型的建立及矩阵QR分解 (10)3 矩阵的满秩分解 (12)3.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 (12)3.2 矩阵的满秩分解的方法 (13)4 矩阵的谱分解 (15)4.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 (15)5 矩阵的奇异值分解与极分解 (17)5.1 矩阵的奇异值分解基本概念、定理 (17)5.2 矩阵的极分解基本概念、定理 (19)6 矩阵分解的应用与举例 (20)参考文献 (26)引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据. 本文从矩阵的L U 分解； 矩阵的QR 分解； 矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述: 探讨矩阵分解的初等方法. 1 矩阵的三角分解1.1 Gauss 消元法的矩阵形式 定义1.1.1 形如k L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+10010101,1nkkk l l )1,,2,1-=n k的矩阵称为初等下三角矩阵，其中ik l =kkik a a ()n k i ,,1 +=且主对角线元素皆为 1 ，其余元素皆为零。
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§4.3矩阵的满秩分解
本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。
当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。
证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵，
其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积，
记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。
则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。
▌
但是，矩阵的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有。
例1、求矩阵的满秩分解。
解：对矩阵进行初等行变换
其中所以，；而，其中
由此可见，所以有。
定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件：
1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零；
2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列，
则；
3）矩阵的列是单位矩阵的前列；
则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。
由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。
定义4.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。
其中是的一个全排列。
定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。
例2、求矩阵的满秩分解。
解：先求出矩阵的Hermite标准形
，的第1列与第2列构成的前两列，所以矩阵为的第1列与第2列构成的矩阵，为的前2行构成的矩阵，即，，
所以。
对比例1，可以看出矩阵的满秩分解不唯一。