几何学的发展概述

5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1） 图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形，
（2）
比较（1）与（2），得
弦方 = 勾方 + 股方。
图5. 11 阿基米德的双 重方法求面积
5.2.3 多边形数
最早的演绎几何学
中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是
OM 的长度。
[插入图5.27]
曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的
含x和y有限次代数方程来表示的曲线
费马的工作
费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。
5.6 罗巴切夫斯基几何学
在欧几里得几何学中第五公设（即 平行公理）的研究过程中，人们不自觉 地将得到了许多第五公设的等价命题。 发现了罗巴切夫斯基几何学
5.6.1 第五公设及其等价命题
等价命题 普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作 一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等 于两个直角； 每个三角形的内角和都相同； 通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截 线； 存在两个相似而不全等的三角形； 毕达哥拉斯定理； 过不在一直线上的三点可作一圆； 圆内接正六边形的一边等于此圆的半径； 四边形的内角和等于四个直角；
笛卡尔的工作
几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果
首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图
实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未
知长度x，经过代数运算知道x满足
x= a a2 b2
，
他2画出4x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
5.3.1 《原本》的公理化体系
《原本》的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由简到 繁的顺序编排出一系列的定理(465个命 题)。使整个几何知识形成了一个演绎 体系
公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直线不 断循直线延长是可能的。（注意，这里 所谓的直线，相当于今天我们所说的线 段。）（3） 以任一点为中心和任一距 离为半径作一圆是可能的。（4） 所有 直角彼此相等。（5） 若一直线与两直 线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直角，则两直线无限延长后必相交于 该侧的一点（现今称为平行公理）。
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪
5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用几何 一词来称谓这门学科，而汉语中“几何” 具有“多少”的意思。
5.2.1 经验公式
古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法
三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示
圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是
直径。这就等于取π为3.1605。
四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。
高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
《几何原本》（约公元前300年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系——几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，
《几何原本》共十三卷，其中第一、 三、四、六、十一和十二卷，是我们今天 熟知的平面几何和立体几何的知识，其余 各卷则是数论和（用几何方法论证的）初 等代数知识。全书证明了465个命题。
圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现 了圆锥曲线： [插入图5.24] 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》将圆锥曲 线的性质全部囊括
其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25]
5.5 坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
∠B1AB= －a＞∠CAB= － ，（因为α
一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角
和都等于π，那么过线a外一点A只能引进 一条直线与a不交。
[证明] 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b， 则a与b必定不交。
假如另有一条直线AC
与a不交，记锐角∠BAC为
2
－ ，在直Байду номын сангаасa上取点B1，使
B1、C在AB同侧，且使
∠AB1B=α＜
。
按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以
5.3.2 《原本》中的几何方法
《原本》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几 何证法,等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。
举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证 法如下：
如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形 BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正 方形AK等积。
5.4 三大作图问题与《圆锥曲线》
三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使
该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角
为三个相等的部分； 化圆为方，即作一正方形，使其与
一给定的圆面积相等。
直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来 求解这三个作图题的不可能性，然而对这 三个问题的深入探索引出大量的发现。 其中包括