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时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.空间几何体、多面体的概念 （1）空间几何体 如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体。
（2）多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面 体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个 面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多 面体的顶点。
【类题·通】 棱柱结构特征问题的解题策略
1.有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行。求解时，首先 看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征。 2.多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除。
【习练·破】 1.下列几何体是棱柱的有 （ ）
【思维·引】根据棱柱的结构特征判断。
【解析】1.选D。A选项不符合棱柱的特点；B选项中， 如图①，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD 是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面 不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可 以是平行四边形；D选项是棱柱的特点。
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【解析】选D。棱柱的结构特征有三方面：有两个面 互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形 面中，每相邻两个面的公共边都互相平行。当一个几 何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才 是棱柱。很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有① ③符合。
2.下列关于棱柱的说法错误的是（ ） A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相 邻两个面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面
（3）棱柱的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四 棱柱ABCD-A′B′C′D′。
【思考】 棱柱具有哪些重要的特征？ 提示：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边 形。 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
3.棱锥 （1）棱锥的结构特征： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三 角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形 面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱 锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧 面的公共边叫做棱锥的侧棱。
2.（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的 两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形， 且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义。 （2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N， 左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。
【内化·悟】 怎样判断棱柱的底面？ 提示：棱柱的底面，不是看到直观图“位置”上的上 下底面，而是平行且全等的那两个多边形。
2.棱柱 （1）棱柱的结构特征： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的 多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做 棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相 邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公 共顶点叫做棱柱的顶点。
（2）棱柱的图形表示：
答案：4
类型一 棱柱的结构特征
【典例】1.下列说法中，正确的是（ ） A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1。
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什 么？ （2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分 形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用 符号表示；如果不是，请说明理由。
（2）棱台的图形表示：
（3）棱台的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四 棱台ABCD-A′B′C′D′。
【思考】 棱台具有哪些重要的特征？ 提示：棱台的上下底面必须平行，各侧棱延长后必相 交于一点，否则不是棱台。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）棱柱的侧面都是平行四边形。（ ） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥。（ ） （3）正三棱锥也称为正四面体。（ ）
【解析】选D。由棱柱的定义，知A不正确，例如长方 体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C 不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然 正确。
3.下面四个几何体中，是棱台的是 （ ）
【解析】选C。由棱台的概念知侧棱延长应交于一点。
4.面数最少的多面体有________个面。 【解析】面数最少的多面体是四面体（三棱锥），有4 个面。
（2）棱锥的图形表示：
（3）棱锥的表示方法：如上图所示，该棱锥可表示为 四棱锥S-ABCD。
【思考】 棱锥的结构特征中应注意什么？ 提示：对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面 都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各 面是共顶点的三角形。
4.棱台 （1）棱台的结构特征： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面 之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做 棱台的下底面和上底面。
【思考】 多面体怎样分类？
提示：（1）按多面体是否在任一面的同侧关系 分，可分为凸多面体（把一个多面体的任意一个 面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的 同一侧）和凹多面体。我们所研究的多面体若不 特别说明，都是指凸多面体。 （2）多面体按围成它的面的个数分，可分为四 面体、五面体、六面体…
【解析】（1）√。棱柱的两个底面是全等的多边形， 侧面是平行四边形。
（2）×。其余各面都是有一个公共顶点的三角形。 （3）×。正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正 四面体。
2.下列关于棱柱的说法中正确的是 （ ） A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平 行四边形
B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
1.空间几何体、多面体的概念 （1）空间几何体 如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体。
（2）多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面 体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个 面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多 面体的顶点。
【类题·通】 棱柱结构特征问题的解题策略
1.有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行。求解时，首先 看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征。 2.多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除。
【习练·破】 1.下列几何体是棱柱的有 （ ）
【思维·引】根据棱柱的结构特征判断。
【解析】1.选D。A选项不符合棱柱的特点；B选项中， 如图①，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD 是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面 不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可 以是平行四边形；D选项是棱柱的特点。
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【解析】选D。棱柱的结构特征有三方面：有两个面 互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形 面中，每相邻两个面的公共边都互相平行。当一个几 何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才 是棱柱。很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有① ③符合。
2.下列关于棱柱的说法错误的是（ ） A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相 邻两个面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面
（3）棱柱的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四 棱柱ABCD-A′B′C′D′。
【思考】 棱柱具有哪些重要的特征？ 提示：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边 形。 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
3.棱锥 （1）棱锥的结构特征： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三 角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形 面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱 锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧 面的公共边叫做棱锥的侧棱。
2.（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的 两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形， 且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义。 （2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N， 左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。
【内化·悟】 怎样判断棱柱的底面？ 提示：棱柱的底面，不是看到直观图“位置”上的上 下底面，而是平行且全等的那两个多边形。
2.棱柱 （1）棱柱的结构特征： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的 多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做 棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相 邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公 共顶点叫做棱柱的顶点。
（2）棱柱的图形表示：
答案：4
类型一 棱柱的结构特征
【典例】1.下列说法中，正确的是（ ） A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1。
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什 么？ （2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分 形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用 符号表示；如果不是，请说明理由。
（2）棱台的图形表示：
（3）棱台的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四 棱台ABCD-A′B′C′D′。
【思考】 棱台具有哪些重要的特征？ 提示：棱台的上下底面必须平行，各侧棱延长后必相 交于一点，否则不是棱台。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）棱柱的侧面都是平行四边形。（ ） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥。（ ） （3）正三棱锥也称为正四面体。（ ）
【解析】选D。由棱柱的定义，知A不正确，例如长方 体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C 不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然 正确。
3.下面四个几何体中，是棱台的是 （ ）
【解析】选C。由棱台的概念知侧棱延长应交于一点。
4.面数最少的多面体有________个面。 【解析】面数最少的多面体是四面体（三棱锥），有4 个面。
（2）棱锥的图形表示：
（3）棱锥的表示方法：如上图所示，该棱锥可表示为 四棱锥S-ABCD。
【思考】 棱锥的结构特征中应注意什么？ 提示：对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面 都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各 面是共顶点的三角形。
4.棱台 （1）棱台的结构特征： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面 之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做 棱台的下底面和上底面。
【思考】 多面体怎样分类？
提示：（1）按多面体是否在任一面的同侧关系 分，可分为凸多面体（把一个多面体的任意一个 面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的 同一侧）和凹多面体。我们所研究的多面体若不 特别说明，都是指凸多面体。 （2）多面体按围成它的面的个数分，可分为四 面体、五面体、六面体…
【解析】（1）√。棱柱的两个底面是全等的多边形， 侧面是平行四边形。
（2）×。其余各面都是有一个公共顶点的三角形。 （3）×。正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正 四面体。
2.下列关于棱柱的说法中正确的是 （ ） A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平 行四边形
B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行