北师大版八年级数学下册1.1.2《等腰三角形》教案

以“等腰三角形两底角的平分线相等”为例:
如图：利用几何画板制作课件，绘制等腰△ABC，BD和CE是△ABC的角平分线．拖动点A或点C，会改变△ABC的大小，但不会它始终都是等腰三角形，同时可以测量出BD和CE始终相等。
通过学生的自主探究和同伴的交流，以及几何画板实验，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：
课前准备：
教师：几何画板课件；等腰三角形纸模。
学生：每生准备至少三张等腰三角形纸片
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动内容：用等腰三角形的美（对称性）引入新课
课件展示图片：
世界贸易中心一号楼武汉天兴洲长江大桥（世界上跨度最大的公铁两用斜拉桥）
崇圣寺（以“三塔”著称）
埃及金字塔
引出问题：（出示几何画板课件：等腰三角形——定点A可拖动，但无论怎样拖动依然是等腰三角形。）
课题：1.1.2等腰三角形课型：新授课年级：八年级（下册）
教学目标：
1．探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
问题一：等腰三角形以它那对称、和谐、庄重、典雅之美成为我们数学殿堂的一枚瑰宝，现实生活中有许多建筑要设计成等腰三角形的形状，那么你对等腰三角形有哪些了解？
问题二：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
处理方式：
问题一：
回答要点：
1.等腰三角形的两腰相等；
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
并对这些命题给予多样的证明。为提高课堂效率，可对以上三种情况进行分组证明，学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书。
对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，可运用下面的证明方法：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线．
3．在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；
4．在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉.教学重点与难点：
重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰（边）三角形的一些结论.
难点：万事开头难——寻找等腰三角形中的等量线段.
2.等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
3.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；
……
教师组织学生回答问题，并对学生的语言进行规范，除了以上要点，学生回答“等腰三角形的内角和的内角和为180°”等普通三角形也具备的性质，教师也要予以肯定，还有一点那就是等腰三角形具有轴对称性，这一点学生如果想不到教师要进行提醒，因为这一点在下面的教学中有助于开发学生的思路。
又∵∠3=∠4．
在△ABC和△ACE中，
∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
对于“等腰三角形腰上的中线相等”，可运用下面的证明方法：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的中线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，（已知）
求证：BD=CE．
证法1：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，（已知）
∴∠ABC=∠高线
∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直的定义）．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠CEB=∠BDC．
∴△BDC≌△CEB(AAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：
问题一：你可能得到哪些相等的线段？
问题二：你如何验证你的猜测？
问题三：你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；
问题四：还可以有哪些证明方法？
处理方式：
先安排学生在自己的等腰三角形纸片中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，然后进行直观猜测、测量验证。可能有的学生会借助等腰三角形的轴对称性得出比较一般的结论，如对称轴两边的所有“对应”线段都相等；或在△ABC中，AB=AC，D为AC上任意一点，连接BD，在△ABC中总存在一条过点C的线段与BD相等。也可能有学生以角平分线、中线、高线等特殊线段为对象进行思考，如将这些线段分为几个情况进行研究：
问题二
利用问题一引导学生回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题二。
设计意图：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：想一想，做一做
问题：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵BE= AB，CD= AC，且AB=AC
∴BE=CD．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，BE=CD．
∴△BDC≌△CEB(SAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
对于“等腰三角形两腰上的高线相等”，可运用下面的证明方法：
方法一：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的高线．
①两底角的平分线；②顶角的平分线与底角的平分线；③两腰上的中线；④一腰上的中线与底边上的中线；⑤两腰上的高线；⑥一腰上的高线与底边上的高线。教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在交流时可以利用几何画板针对以上情况进行验证，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明命题，并让学生分组进行证明。