二次函数与最大利润问题

这种白T恤现在的售价为每件60元，每星期可卖 出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
请同学们带着以下几个问题读
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量 是自变量？哪些量随之发生了变化？
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
运用新知
❖ 阿姨想买一双鞋，问导购
员：“这双鞋前两天卖40元，
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨
价x元,则每星期少卖 10件x，实际卖出 (30件0,-10x)
每件利润为 (60+x-4元0，) 因此，所得利润
为 （60+x-40）(300-1元0x.) y=(60+x-40)(300-10x)
2F
❖ 进价为4０元的篮球，市场调查发现，若以每个5０元的价格 销售，平均每月销售500个，价格每提高１元，平均每月少 销售10个．
❖ （1）求平均每月销售量y个与涨价x之间的函数关系式；
❖ （2）要想获得8000元的利润则篮球的定价应是多少？
❖ （3）当每个篮球的销售价为多少元
❖ 时，可以获得最大利润？最大利润
❖ 聪明的同学们，利用我们所学的数学知识，谁能帮 阿姨想个办法打个折扣？
信 和 ， 我 来 了 ！
1、冰激凌售价3元， 成本1元，每天卖20 个冰激凌，每天的 利润是多少元？
2、每天冰激凌所获 利润y（元）与销售 量x（个）之间的函 数解析式为
y=－2x2＋200x -4900则当卖出_____个冰激凌时，可获得 的最大利润为___元。
w =(50+x-40) (500-10x) (0<x<50)
=(10+x)(500-10x) =-10x2+400x+5000 =-10(x2-40x-500) =-10［(x-20)2-100)] =-10(x-20)2+9000
当x=20时，y的最大值是9000.
答：定价为70元时，利润最大为9000.
这条抛物线的顶点是函数
图像的最高点，也就是说
当x取顶点坐标的横坐标时，
这个函数有最大值.由公式
可以求出顶点的横坐标.
30
x\元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程 得出答案.
解析：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，
实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，
因此，得利润
பைடு நூலகம்
y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6125 =-20（x-2.5）²+6125（0＜x＜20）
怎样确 定x的取 值范围
∴x=2.5时，y极大值=6125
答：定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗?
怎么现在卖50元了呢？”
❖ 导购员说：“前几天是中秋节活动打八折，现在恢 复原价了。”阿姨说: “我只带了45元，能不能打个 折扣。”这时候经理过来了，告诉阿姨：“我们经 过调查，如果每双鞋盈利10元，每天可售出50双； 若每双鞋涨价1元，日销售量将减少两双，现在商场 要求，每天盈利600元，所以，只能恢复原价。”
40 (500-10x )
8000
列表分析2: 总利润 =单件利润×数量
总利润=单件利润×数量 利润
(50+x-40) (500-10x)
8000
问题3 在这个问题中，总利润是不是一个变量？ 如果是，它随着哪个量的改变而改变？
若设每个涨价为x元，总利润为W元。你能 列出函数关系式吗？
解：设每个涨价为x元时获得的总利润为W元.
设 1、审题，由题意设出适当未知数； 列 2、求出函数解析式和自变量的取值范围； 最 3、配方变形，或利用公式求它的最大值或最
小值。
检 4、检查求得的最大值或最小值对应的自变量 的值必须在自变量的取值范围内。
答 5、写出最后答案。
1.实际问题与二次函数在期末考试中是必考 的一个知识点，分值在10～15分；
2.在河北省、邢台市中考中，2016年以前一 般出现在最后一道大题中，分值 14分.
学习目标： 1、会用二次函数解决实际生活中的最大
利润问题； 2、培养学生的数学建模思想和化归思想
学习重点： 列二次函数解析式解决实际生活中的最
怎样确定x
的取值范 围
即y=-10（x-5）2+6250(0≤x≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的图
像是一条抛物线的一部分，
大利润问题 学习难点：
列二次函数解析式及确定自变量的取值 范围
情景导入
❖ 阿姨想买一双鞋，问导购员：“这双鞋前两天卖40 元，怎么现在卖50元了呢？”导购员说：“前几天 是中秋节活动打八折，现在恢复原价了。”阿姨说: “我只带了45元，能不能打个折扣。”这时候经理过 来了，告诉阿姨：“我们经过调查，如果每双鞋盈 利10元，每天可售出50双；若每双鞋涨价1元，日 销售量将减少两双，现在商场要求，每天盈利600 元，所以，只能恢复原价。”
❖ 是多少？
[点拨 ]（１）原来每个销售价5０元，价
格每提高１元少销售10个，若涨价为x，
元，则每月少销售
个,则提价后每
天销售
个，所以
y＝ 500-10x
（10x） [500-10x]
列表分析1: 总售价-总进价=总利润
设每个涨价x元，则
总售价=
总进价=
利润
单件售价×数量 单件进价×数量
(50+x) (500-10x)