圆周运动实例分析

半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙。以下说法正确的是
（A ）
A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙 C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
摩托车过弯道
2、倾斜路面上：
所以汽车在转弯的地方，路面也是外高内 低，靠合力提供向心力。
【例题1】如图所示，公路转弯处路面跟水平面之间的倾角
α=150，弯道半径R=40m，求：
【例题1】用一轻杆栓着质量为m的物体,在竖直平面内做 圆周运动,则下列说法正确的是（ A 、）B、D
A.小球过最高点时,杆子的张力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点是的速度是 gR
D.小球过最高点时,杆子对小球的作用力可以与球所受的 重力方向相反
R
【例题1】长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的
v2 N mg m
R
mg
随V的增大，N如何变化？N逐渐减少
当汽车速度多大时,N=0,此时汽车会如何运动?
v gR (临界速度) N 0
当v gR时汽车离开拱桥做平抛 运动
当V=0 N=mg
例一、质量为m的汽车以恒定的速率v通过半径为
r的拱桥，如图所示，求汽车在桥顶时对路面的压力是
T
解：(1)依题意得，物体恰好经过最高点，mg提供做
mg
向心力。mg=m v22 R
，v 2
=
gR = 4m / s
O T
根据机械能守恒得：1 2
mv12
=
1 2
mv22
+
mg 2R
得：V 1
=
4
5m / s
mg
（2）若在最低点V1=10m / s,则根据机械能守恒得：
1 2
mv12
=
1 2
mv22
T
L
mg
过最高点的最小速度是多大? v0 gL
O
T
当v

v
时
0
，T

m
v2 L

mg
当v

v
时
0
，
物
体
离
开
圆
面
做
曲线
运
动
mg
最低点：T mg m v2 R
【例题1】如图所示,一质量为m=2kg的小球,在半径大小
为R=1.6m的轻绳子作用下在竖直平面内做圆周运动。
（1）小球恰好经过最高点的速度V2=？此时最低点要给 多大的初速度V1=？（2）若在最低点的速度V1=10m/s, 则在最高点绳的拉力为多大？
多少？
N
解：汽车通过桥顶时，受力情况如图。
h
汽车通过桥顶时：
由牛顿第二定律：
mg N m v2 r
N m(g v2 )
FN’
G
r
r
由牛顿第三定律：
O
N / N m(g v2 )
r
注意:汽车过N桥' =的速N度=不m得(太g大- ,否v2则rN)’将消失,汽车将飞离桥面.
例题3、质量是1×103kg的汽车驶过一座拱桥，已 知桥顶点桥面的圆弧半径是90m，g=10m/s2。 求： （1 )汽车以15 m/s的速度驶过桥顶时，汽车对桥 面的压力； （2） 汽车以多大的速度驶过桥顶时，汽车对桥面 的压力为零？
小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所
示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则
此时轻杆OA将（ B ） A．受到6.0N的拉力
N
mA
B．受到6.0N的压力
mg
C．受到24N的拉力
O
D．受到54N的拉力
小结：
• 解决圆周运动问题关键在于找出向心力的 来源．
• 向心力公式、向心加速度公式虽然是从匀 速圆周运动这一特例得出，但它同样适用 于变速圆周运动．
H
L
当火车转弯时的速率等于V规定(临界速度)时, 内、外轨道对车轮（轮缘）都没有侧压力
当火车转弯时的速率小于V规定(临界速度)时,内 轨道对车轮（轮缘）有侧压力
当火车转弯时的速率大于V规定(临界速度)时, 外轨道对车轮（轮缘）有侧压力
1、水平路面上：
【例题2】汽车在半径为r的水平弯道上转弯,如果汽车与 地面的动摩擦因数为μ,那么汽车不发生侧滑的最大速率 是多大?
【例题1】火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道
一样高，则火车转弯（ A ）
A．对外轨产生向外的挤压作用 B．对内轨产生向外的挤压作用 C．对外轨产生向内的挤压作用 D．对内轨产生向内的挤压作用
F
4、当外轨略高于内轨时：
N
（1）火车受力：
竖直向下的重力 G
垂直轨道面的支持力 N
F
（2）火车的向心力： α
R
R
v2 F = m - mg
R
过最高点的速度VO为多大时?杆对球的作用力消失
当v0 = gR，N = 0
当v < v0时,F<0,杆对物有向上的支持力.
当v > v0时, F > 0杆对物有向下的拉力.
·O
质点在竖直放置的光 滑细管内做圆周运动
总结：
（1）V=0是小球是否过最高点的临界条件。 (2)v = gR是拉力还是推力的临界条件。 V> gR是拉力 V < gR是推力
N
v2
v2
F合 N mg m R
N mg m R
mg
随V的增大，N如何变化？N逐渐增大
拓展:汽车以恒定的速率v通过半径为r的凹型桥面，如图 所示，求汽车在最底部时对桥面的压力是多少？
解：汽车通过底部时，受力情况如图。
N
由牛顿第二定律：
N - mg = m v2 r
N = m(g + v2 ) r
+
mg 2 R
V2 = 6m / s
由向心力公式得：T+mg=m v22 R
T = 25N
A
A
在A点
:
mg

N

m
v
2 A
R
D
(1)当N 0, v Rg (临界速度)
N
mg
B
NN
(2)当N 0, v Rg , N m v2 mg
C
R
mg
(3)当v gR时,物体离开圆轨道做曲线 运动
由G和N的合力提供
α
G
【例题1】火车铁轨转弯处外轨略高于内轨的原因是（ BD）
A．为了使火车转弯时外轨对于轮缘的压力提供圆周运 动的向心力
B．为了使火车转弯时的向心力由重力和铁轨对车的弹 力的合力提供
C．以防列车倾倒造成翻车事故 D．为了减小火车轮缘与外轨的压力
（3）什么情况下可以使铁轨和轨缘之间的挤压
N
汽车转弯时规定速度应是多大？
α
Fn
m g
竖直平面内的变速圆周运动
1、竖直平面内圆周运动的类型： （1）、拱形桥问题：
（2）、轻杆支撑型的圆周运动： （3）、轻绳牵拉型的圆周运动：
黄 石 长 江 大 桥
N
桥面的圆心在无穷远处 mg
F向心

mg

N

m
v2 R

0
N= mg
N
v2 F合 mg N m R
N/
=
N
=
m(g +
v2 )
r
h
G
N’
小节:此问题中出现的汽车对桥面的 压力大于或小于车重的现象，是发生 在圆周运动中的超重或失重现象
质量为m的汽车以速度V通过半径为R的凹型桥。它经桥 的最低点时对桥的压力为多大？比汽车的重量大还是小？ 速度越大压力越大还是越小？
解： 根据牛顿第二定律
F向=N1
G =m
3、内外轨道一样高时：
直道行使时，火车受力情况：重力、铁轨的支持力、机车 的牵引力、空气及铁轨的阻力。轮缘并不与铁轨相互作用。
在水平弯道上转弯时，
向心力 F 由外侧轨道对外轮轮缘
N
的压力提供
根据牛顿第二定律F=m V2 可知
N
R
火车质量很大
外轨对轮缘的弹力很大
G
外轨和外轮之间的磨损大， 铁轨容易受到损坏
匀 速圆 周运动 实例分析
水平面内的匀速圆周运动
一、水平面内匀速圆周运动
1、圆锥摆： 2、火车转弯： 3、汽车转弯：
讨论小球做圆锥摆运动时所需的向心力
F拉
l
F向
mg
r l sin F向 mg tan
F向 mg tan
F向

mg
tan
1、铁轨
讨论火车转弯时所需向心力
2、轮对结构
消失呢？
N
h是内外轨高度差，

L是轨距
h
L
注意这时的向心
F 力是水平的

G
F=mgtanα≈mgsinα=mgh/L
mg h = m v02 LR
v0 =
= m v02 R
Rgh L
Rgh v0 = L
在实际中，铁轨修好之后h、R、 L一定，又g是定值，所以火车拐弯 时的车速是一定值
（4）当火车行驶速率v>v0时，
v2 umg = m
r
v = ugr
汽车在水平路面转弯做圆周运动时，也需 要向心力，问这个向心力由什么力提供的？
是由地面给的静摩擦力提供向心力的。
【例题1】在水平面上转弯的汽车，向心力是（ B ）
A、重力和支持力的合力 B、静摩檫力 C、滑动摩檫力 D、重力、支持力和牵引力的合力
【例题3】汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同 一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。两车沿
外轨对轮缘有侧压力；
N
N‘ G
火车行驶速率v>vo
当火车行驶速率v<vo时，
内轨对轮缘有侧压力。
N N’
G 火车行驶速率v<vo时
【例题2】如图所示，火车道转弯处的半径为r，火车质量 为m，两铁轨的高度差为h（外轨略高于内轨），两轨间 距为L(L>>h)，求： (1)火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转 弯半径方向的侧压力？ (2)υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？ (3)υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？
V2 R
R
N1
=m
V2 R
+Ｇ
由上式和牛顿第三定律可知
O
N1
V
（ 1 ）汽车对桥的压力N1´= N1
G
（２）汽车的速度越大
汽车对桥的压力越大
比较三种桥面受力的情况
N
v2
N = G- m
G
r
N
v2 N = G+ m
r
G N
N=G
G
·O
质点在细绳作用下在竖 直面内做圆周运动
最高点：mg T m v2
在C点：N

mg

m
v2 C
R
在B点：N

m
v2 B
R
O
质点被一轻杆拉着在 竖直面内做圆周运动
小球经过最低点的时候杆对小 球的拉力为多少?
Байду номын сангаас
T
T - mg = m v2
R
mg
v2
T = m(g + )
R
过最高点的最小速度是多大? V=0
F
小球以速度V经过最高点的时候杆
mg
对小球的拉力为多少?
v2 F + mg = m