圆内接正多边形
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。
本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。
教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。
但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。
2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。
2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。
通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。
同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。
同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。
然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。
教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。
3.8圆内接正多边形(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆内接正多边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际作图，演示圆内接正多边形的基本原理。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆内接正多边形的定义及其性质，这是本节课的核心内容，教师应着重讲解并举例说明。
-学会作圆内接正多边形，掌握作图技巧，以便于在实际问题中应用。
-掌握圆内接正多边形的半径、边长、中心角之间的计算方法，能够解决相关问题。
举例：通过动态演示或实际操作，展示如何利用圆规和直尺作出圆内接正三角形、正四边形等，强调每个顶点在圆上，每条边是圆的切线。讲解圆内接正多边形中，半径与边长的关系，中心角与圆心角的关系，以及如何利用这些关系进行计算。
五、教学反思
在上完这节关于圆内接正多边形的课程后，我对自己教学过程中的优点和不足进行了反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问激发学生的好奇心和兴趣这一点做得不错，大家对这个话题产生了浓厚的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对圆内接正多边形的性质和计算方法掌握不够扎实。
在讲授理论部分，我意识到可能需要更多的实际例子来帮助学生更好地理解圆内接正多边形的性质。同时，对于难点部分，我应该更加细致地进行讲解，通过更多的互动和提问，让学生积极参与进来，加深对知识点的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接正多边形的基本概念。圆内接正多边形是指一个正多边形的每个顶点都在圆上，且多边形的每一条边都是圆的切线。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于艺术、建筑和工程设计等领域。
《圆内接正多边形》圆
圆内接正多边形的面积与周长的关系
面积与周长的关系
分析圆内接正多边形的面 积与周长的关系，如面积 与周长的比值、面积与周 长的变化规律等。
面积与半径的关系
分析圆内接正多边形的面 积与半径的关系，如面积 与半径的函数关系、面积 与半径的变化规律等。
周长与半径的关系
分析圆内接正多边形的周 长与半径的关系，如周长 与半径的函数关系、周长 与半径的变化规律等。
对称性在构造复杂图形中的应用
02
在构造复杂图形时，可以利用圆内接正多边形的对称性，快速
确定图形的形状和位置。
对称性在解决几何问题中的应用
03
在解决几何问题时，可以利用圆内接正多边形的对称性，寻找
解题思路和简化计算过程。
05
圆内接正多边形的作图方法
利用尺规作图法作圆内接正多边形
定义
尺规作图法是指使用直尺和圆规等基本作图工具进行作图 的方法。
所有顶点都在给定圆上。
外接圆的半径R与边心距r的关系为R = r + d/2 。
圆内接正多边形的分类
01
02
03
等边圆内接多边形
每个内角都相等的圆内接 正多边形。
等腰圆内接多边形
每条边的长度都相等的圆 内接正多边形。
正方形
特殊的等边等腰圆内接正 四边形，具有特殊的性质 和用途。
02
圆内接正多边形的面积与周长
步骤
首先使用直尺确定圆心和半径，然后使用圆规在圆上截取 等长的弧线，依次连接各弧线的端点即可得到圆内接正多 边形。
特点
尺规作图法是一种基本的作图方法，具有简单、直观的特 点，但只能作出有限的几种圆内接正多边形，如正三角形 、正方形、正六边形等。
利用几何变换法过平移、旋转、对称等几何变换手段进行作图的方法
九年级数学《圆内接正多边形》
解：
∵ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA. ∴ B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴ ∠A=∠B.
同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
A
B O·
E
C
D
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点， 所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等— 弦相等（多边形的边相等）
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，
则一个内角为
_1_2_8度74.（不取近似值）
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直 径最小要_4___2cm.
也就是要找这个正方形外 接圆的直径
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形 什么叫做正多边形？
吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的 正多边形才是中心对称图形.
正多边形与圆的关系
探究归纳 问题1 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即A⌒B=B⌒C=C⌒D=⌒DE=E⌒A， 依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
E D
C
典例精析
例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
《圆内接正多边形》 说课稿
《圆内接正多边形》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《圆内接正多边形》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是在学生已经学习了圆的基本性质和正多边形的概念的基础上进行的。
圆内接正多边形是圆与正多边形相结合的重要内容，它不仅是对圆和正多边形知识的深化和拓展，也为后续学习圆锥的侧面积和全面积等知识奠定了基础。
在教材的编排上，通过实际问题引入圆内接正多边形的概念，然后引导学生探究正多边形与圆的关系，最后运用所学知识解决实际问题。
这样的编排既符合学生的认知规律，又体现了数学知识的应用价值。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了圆的基本性质和正多边形的概念，具备了一定的推理能力和计算能力。
但是，对于圆内接正多边形的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考等活动，自主探究圆内接正多边形的性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
1、知识与技能目标（1）理解圆内接正多边形的概念，掌握正多边形与圆的关系。
（2）能够根据圆的半径计算圆内接正多边形的边长、边心距和面积。
2、过程与方法目标（1）通过观察、操作、思考等活动，培养学生的动手能力和逻辑推理能力。
（2）经历探究圆内接正多边形性质的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对圆内接正多边形的学习，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）在探究活动中，培养学生的合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）圆内接正多边形的概念和性质。
（2）正多边形的边长、边心距和面积的计算。
圆内接正多边形的性质的推导和应用。
五、教法与学法1、教法为了突出重点，突破难点，我将采用直观演示法、启发引导法和讲练结合法进行教学。
通过多媒体演示、实物模型展示等直观手段，帮助学生理解圆内接正多边形的概念和性质；通过启发引导，激发学生的思维，让学生自主探究正多边形的边长、边心距和面积的计算方法；通过讲练结合，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
《圆内接正多边形》圆PPT教学课件
【检查评价】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
布置作业： 1、教科书习题3.10第1题，第2题，第3题．（必做题） 2、教科书习题3.10第4题，第5题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系； 2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点) 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （难点） 4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【讲授新知】
追问2：你会用用圆规和直尺来作一个已知圆的内接正方形吗？你是怎么做的？ 与同伴交流．
【| 下册
学生练习1：课本98页随堂练习． 学生练习2：用等分圆周的方法画出下列图案．
__各__边__相__等___，___各__角__也__相__等__的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边
形.
合作探究
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
H
A
D
E
0
B
C
圆内接正多边形教学设计
圆内接正多边形导学案授课时间_______________一、导入新课什么是正多边形?正多边形：各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.二、探究新知圆的内接正多边形：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形圆内接正多边形概念1.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心2.正多边形的半径: 外接圆的半径.3.正多边形的中心角: 正多边形的每一边所对的圆心角.4.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.1完成下面的表格：正多边形的外角=中心角 2.圆内接正多边形的计算问题1 正n 边形的中心角怎么计算问题2 正n 边形的边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？问题3 边长a ，边心距r 的正n 边形的面积如何计算？针对训练1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．511.22S nar lr ==360n222().2a R r =+4222BC ==，22422 3.r =-=2.如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是 （ ） A ．60° B．45° C ． 36° D． 30三、典例分析例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m 2)解：过点O 作OM ⊥BC 于M. 在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝ 利用勾股定理,可得边心距亭子地基的周长l =6×4=24(m) 亭子地基的面积变式1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么BF=______,CF=________变式2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么FM=1,若过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长为_____.圆内接正多边形的辅助线 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.211242341.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈例2 用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD内接于⊙O四、当堂检测1若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .2.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值板书设计课后反思。
圆内接正多边形
圆内接正多边形什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形，指的是一个正多边形可以恰好放在一个圆内，且正多边形的每个顶点都在圆周上。
圆内接正多边形也被称为圆内正多边形或圆多边形。
一个圆内接正多边形的特点是，它的每条边相等且每个角都是相等的。
这使得圆内接正多边形在数学、科学、工程和建筑等领域中有广泛的应用。
怎样构造圆内接正多边形？构造圆内接正多边形有多种方法。
以下介绍两种常见的方法：1. 中心构造法中心构造法是一种基于圆的方法。
它的步骤如下：1.以圆心为中心，画一个圆。
2.从圆心出发，以圆的半径为边长画出一个正四边形。
3.用圆上的点作为四边形的顶点，连接四个顶点和圆心，得到一个正八边形。
4.以同样的方式在正八边形的每个顶点上构造正四边形，得到一个正十六边形。
5.重复上述步骤，每一次都在前一个正多边形的顶点上构造正四边形，直到构造出一个足够接近圆内接正多边形的正多边形。
2. 分割法分割法是另一种构造圆内接正多边形的方法。
它的步骤如下：1.在圆上任取一点，作为第一个多边形的一个顶点。
2.以两个相邻点和圆心为中心，画出一个小扇形，将圆划分成若干个小扇形。
3.每个小扇形内部的角度等于圆心角（360度）的一部分，可以计算出每个小扇形的角度。
4.根据所要构造的正多边形的边数，将圆分割成相应的小扇形。
5.将每个小扇形的两个端点连线，得到一个近似圆内接正多边形。
可以根据实际需要逐渐增加分割的扇形数，使得构造出的正多边形更加接近于圆内接正多边形。
圆内接正多边形的性质除了每条边长度相等、每个角度相等外，圆内接正多边形还有其他几个重要的性质：1.圆内接正多边形的内角和等于360度。
2.圆内接正多边形的对角线相等，且交于圆心。
3.圆内接正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
此外，圆内接正多边形的周长和面积可以很容易地计算出来，便于在实际问题中应用。
圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在数学和其他领域中有广泛的应用，如：1.圆内接正多边形可以用来构建复杂的图形和形状，如著名的黄金分割比例、立体的正十二面体等。
3..8圆内接正多边形(教案)
-掌握正多边形边数与圆心角、弧的关系，以及边数与正多边形相似性质之间的关系。
举例解释：
-重点一：讲解圆内接正三角形时，强调圆心角为360°/3=1值关系。
-重点二：通过具体例子，如计算圆内接正四边形的外接圆半径，引导学生应用性质解题。
3.通过实际操作和观察，发现圆内接正多边形的边数与圆心角、弧的关系，以及边数与正多边形相似性质之间的关系。
本节课旨在帮助学生掌握圆内接正多边形的性质，提高学生的几何图形认识和空间想象能力，为后续学习几何图形的性质和计算打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过观察和分析圆内接正多边形的性质，提高学生对几何图形的认识，增强空间想象能力。
在教学过程中，教师要针对重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，通过举例、练习、讨论等方式，帮助学生理解核心知识，突破难点，确保学生对圆内接正多边形的认识和应用能力得到提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“3.8圆内接正多边形”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过圆形和正多边形结合的图案？”（如硬币上的图案等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆内接正多边形的奥秘。
3..8圆内接正多边形（教案）
一、教学内容
本节课选自初中数学八年级下册第三章“几何图形”中的3.8节“圆内接正多边形”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.探索圆内接正三角形的性质，如圆心角、弧、弦的关系，以及正多边形的外接圆和内切圆半径的关系。
3.8 圆内接正多边形
∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足
为M，OM是这个正五边形圆心距.
（来自教材）
知1－讲
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆 内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
6
(2015· 随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
（来自《典中点》）
知1－练
2
(2016· 南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆
的半径为( A．1 ) B. 3 C．2 D．2 3
3
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ( )
A．1∶ 2
B．1∶2
C．2∶3
D．2∶π
（来自《典中点》）
知1－练
4
(2015· 青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
圆内接正多边形
北师大版《数学》九年级下册第三章 圆3.6 圆内接正多边形【知识要点】知识点1圆内接正多边形定义 ：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.【典例解析】在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴︒=︒=∠606360COD ∴COD ∆为等边三角形. ∴4==OC CD在COG Rt ∆中，4=OC ，2=CG∴32=OG∴正六边形ABCDEF 中心角为︒60，边长为4，边心距为32.分析 ：题目是有关正多边形的计算的具体应用，通过例题的学习，巩固有关正多边形的概念，能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.【达标测评】拓展练习1 （2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ． 3B ． 3C ．D ．考点： 垂径定理；等边三角形的性质．分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可． 解答： 解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 的面积为2π∴⊙O 的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选C．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．难度：中2 (2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=B D．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=O D．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．难度：中3 （2014•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．难度：中4 （2014•攀枝花，第23题12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．考点：圆的综合题．分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C 点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．解答：解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、MB、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．难度：难5．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．第5题图考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．难度：中基础题：1．（2014•四川成都,第14题4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．难度：中2．（2014•贵州黔西南州, 第18题3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．第1题图考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．难度：易3. （2014•湖北黄冈,第14题3分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4．第2题图考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=，即=，解得R=4，则OE=2，DE=OE=2，所以CD=2DE=4．解答：解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∵CD⊥AB，∴DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，∵cos∠EOD=cos60°=，∴=，解得R=4，∴OE=4﹣2=2，∴DE=OE=2，∴CD=2DE=4．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．难度：中4．（2014•广西来宾，第18题3分）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 40度．考点：圆周角定理．分析：由∠C=50°求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求得答案．解答：解：∵∠C=50°，∴∠AOB=2∠C=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==40°．故答案为：40．点评：此题考查了圆周角定理，用到的知识点是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，注意数形结合思想的应用．难度：易5．（2014•黔南州，第19题5分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．考点：勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．解答：解：连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵点C（0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．故答案为．点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．难度：易。
九年级数学第三章圆内接正多边形
正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点进阶：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点进阶：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点进阶：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….要点进阶：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1.如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．例2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为．举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（）A．3：4 B．：2 C．2： D．1：2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．例4. 如图（1）所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的13．图（1）举一反三：【变式】如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的13．【巩固练习】一、选择题1.已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：32．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( )A．233cm2B．334cm2 C．338cm2 D．33cm23．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°第3题第5题PDRCQBOA4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )． A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S35.如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为2，则正八边形的面积S为（）．A.22B. 42C. 8D.46．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（）A． B． C． D．二、填空题7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD 的周长的最小值是．11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r:a= ； r:b= ；（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是．第11题图第12题图12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r= ．三、解答题13.如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是，图③中∠APB的度数是；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于；②当“接近度”等于时，正n边形就成了圆．（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．。
圆内接正多边形 (教学设计)九年级数学下册(北师大版)
3.8圆内接正多边形教学设计等边三角形和正方形各有什么特点?什么是正多边形?观看下面这些美丽的图案,都是在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?你知道正多边形与圆的关系吗？如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上．如图，正六边形ABCDEF，连接AD，CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B，C，D，E，F都在这个圆上．引出圆内接正多边形概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．因此，正多边形和圆的关系十分密切．把一个圆n 等分(n ≥3)，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．下面我们来学习圆内接正多边形的有关概念．如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，圆心O 叫做这个正六边形的中心；OA 是这个正六边形的半径；∠AOB 是这个正六边形的中心角；OG ⊥AB ，垂足为G ，OG 是这个正六边形的边心距．例1 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．解：连接OD ，∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴∠COD ＝360°6＝60°.∴△COD 为等边三角形． ∴CD ＝OC ＝4.在Rt △COG 中，OC ＝4，CG ＝2， ∴OG ＝2 3.∴正六边形ABCDEF 中心角为60°，边长为4，边心距为2 3.做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R.所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形．作法如下：(1)作⊙O的任意一条直径FC，如图①；(2)分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于A，E和B，D，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，F A，便得到正六边形ABCDEF，如图②.图①图②1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )A．两角互余 B．两角互补C．两角互余或互补D．不能确定2.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝( )A．2√2：√3 B．√2：√3C.√3：√2 D．√3：2√23. 已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为 cm.4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.。
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180 ° （ n - 2） n 一个内角的度数是____________;
360 ° 正多边形的外角和是____________;
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
一、阅读课本97页说出并以下概念
1.圆内接正多边形；
2.圆内接正多边形的中心； 3.圆内接正多边形的半径； 4.圆内接正多边形的中心角； 5.圆内接正多边形的边心距。
E
C
D
∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E 定义： 把圆分成n（n≥3）等份： ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 依次连结各分点所得的多边形是这个圆 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上 ∴五边形ABCDE 的内接正多边形 . 是⊙O的 内接正五边形.
练习 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
1、正多边形和圆有什么关系？你能举例说明吗？
2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、
边心距？你能举例说明吗？
3、如何计算正多边形的半径、边心距及边长？
4、说说作正多边形的方法有哪些?
解：连接 OC、OD ∵六边形ABCDEF为正六边形
360 ∴ ∠COD= =60° 6
∴ △COD为等边三角形 ∴ CD=OC=4 在Rt△COG中，OC=4，CG=2 ∴ OG= 2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60°， 边长为4，边心距为 2 3。
随堂练习
求出半径为6的圆内接正三角形边长，
F
E O ·
A
D
B
C
你能尺规作出正八边形吗？
据此你还能作出哪些正多边形？
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方 形，再过圆心作各边的垂 线与⊙O相交，或作各中心 角的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形，照此 方法依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十四 边形……
哪些?
地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解:
由于ABCDEF 是正六边形，所以 360 它的中心角等于 60， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
E
. .O
r R
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2 根据勾股定理，可得边 心距r
二、正多边形有关的概念
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
E
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
中心角
. O
半径R
C B
边心距d
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF中， 半径OC=4，OG⊥BC ，垂足为点G，求正六 边形的中心角、边长和边心距。
1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算； 2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和 正六边形。
E
A
D
正多边形定义
B C
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
正多边形内角和、外角和
你能说出几个正多边形吗？
温故知新
- 2） 180 ° n （ 正n边形的内角和是____________;
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距， 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。 它是正五边形ABCDE的
中心 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角， 它的度数是 72度 D
E C
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
还有哪些疑问？
检测题：
外接 1、O是正 △ABC的中心，它是△ABC的 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的半径，它是正
△ABC的
圆的半径。 外接 3、OD叫作正△ABC的 边心距 ， .O 它是正△ABC的 内切 圆的半径。
B
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
E
D
F
.O
C
A
B
都是 轴对称图形，一个正n边 正多边形＿＿＿＿＿＿＿＿ n 条对称轴，每条对称轴都通过正 形共有＿＿＿ 中心 。 n边形的＿＿＿＿＿＿＿＿
边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
B
P
4 -2
2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
做一做 用尺规作一个已知圆的内接正六边形
你还能借助尺规作出圆内接正三角形吗？ 你是怎么做的？与同伴交流。
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
边心距和面积.
A
O · B D C
正n边形与圆的关系 思考：当把正n边形的边数无限增多时, 这时正多边形就接近于什么图形？
正六边形
正八边形
正十二边形
正十七边形
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到正多边形呢？
思考: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, A 得到正多边形吗?? ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA B ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ∵BCE=CDA=3AB