第七节：圆的内接正多边形

3.7 圆的内接正多边形
教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；
（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．
教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
【知识要点】
1．正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2．正多边形与圆的有关定理
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；
(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。

注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；
②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？
我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.
从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。

3. 正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

(2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。

4. 正多边形的有关计算
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

正n边形的有关计算公式
注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边
心距与它的半径之比。

这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比
②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角
三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

【例题分析】
1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A．12 B．6 C．12D．6
2．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。

3．如图，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
4. 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M。

求证：BE·BM=EM2。

5．(1)已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：
(2)如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，
求证:
(3)如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请探究
三者之间有何数量关系，并给予证明.
图1 图2图3
【基础训练】
一、选择题
1．下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（ ）
(A)菱形 (B)矩形 (C)正方形 (D)等腰梯形
2．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ）
(A)36° (B)18° (C)72° (D)54°
3．下列命题正确的是（ ）
(A)正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；
(B)正六边形的边长等于其外接圆的半径；
(C)圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；
(D)各边相等的圆的外切四边形是正方形。

4．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
5．⊙O 的内接正三角形与正六边形面积之比为（ ） (A)2：1 (B)1：3 (C)1：2 (D)1：2
6．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
(A)1：2：3 (B)3：2：1 (C)3：2：1 (D)1：2：3
二、填空题 7．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ．
8．边长为a 的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 ．
9．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 ．
10．如图20-186，正六边形与正三角边形内接于同一圆⊙O 中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
11．已知正六边形边长为a ，则它的内切圆面积为_______．
12．如图20-187，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40o ，再沿直线前进10米后，又向左转40o ，……，照这样走下去，他第
一次回到出发地A 点时，一共走了 米．
三、解答题 13．等边△ABC 的边长为a ，求其内切圆的内接正方形DEFG 的面积．
14．如图20-188，•已知⊙O •的周长等于6 cm ，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．
15．已知：如图20-189，⊙O 的内接等腰三角形ABC ，AB =AC ，弦B(D)CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，BE =BC ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．
图20-186
40 A 40 40 图20-187 图20-188
16．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
17．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、•边心距和面积．
18．如图20-190 (1)有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24m的正六边形ABCDEF(如图20-191 (2))，点O为中心（下面各题结果精确到0.1m)．
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
【能力提高】图20-189
图20-190
1．如图20-191，PQR △是O 的内接正三角形，四边形ABCD 是O 的内接正方形，BC QR ∥，则AOQ ∠=（ ）
(A)60 (B)65 (C)72 (D)75
2．如图20-192是对称中心为点O 的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 ．
3．如图20-193，在边长为1的小正三角形组成的图形中，正六边形的个数共
有 个．
4．已知正n 边形的周长为60，边长为a ．
5．（1）当3n =时，请直接写出a 的值；
（2）把正n 边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为7n +，周长为67，边长为b ．有人分别取n 等于3，20，120，再求出相应的a 与b ，然后断言：“无论n 取任何大于2的正整数，a 与b 一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n 的值．
5．如图20-194(1)、图20-195(2)、图20-195 (3)、…、图20-195 (n )，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON ．
（1）求图 (1)中∠MON 的度数；
（2）图 (2)中∠MON 的度数是 ，图 (3)中∠MON 的度数是 ；
（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）．
P D R C Q B O
A 图20-191 O 图20-192 图20-193
图20-194
6．某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。

为了美观，种植要求如下：
（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。

（注意：面积相等必须由数学知识作保证）
（2）花卉总面积等于广场面积
（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。

请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）
7．已知下列图形20-195分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角4α、5α、6α的大小．探究它们存在什么规律？你能证明吗？
8．（1）如图20-196，计算边长为a 的正方形中的阴影部分面积分别为 ．
（2）通过计算观察阴影部分面积的求法规律是 ．
（3）请你再设计一个使阴影部分面积与图形中阴影部分面积值相等的一个图形（只需用尺规画图，不写作法）．
图20-195
图20-196。