圆内接正多边形.8圆内接正多边形共16页文档
3.8 圆内接正多边形 教案
一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】 圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积． 解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝32，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为180°×（6－2）6 ＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2× 3＝6 3.方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 【类型二】 圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型三】 正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a .(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解． 解：(1)设正三角形ABC 的中心为O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环＝π·OB 2－π·OD 2＝πOB 2－OD 2＝π·BD 2＝πa 2；(2)只需测出弦BC (或AC ，AB )的长； (3)结果一样，即S 圆环＝πa 2； (4)S 圆环＝πa 2.方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型四】 圆内接正多边形的实际运用如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m 的正五边形ABCDE (如图②)，点O 为中心(下列各题结果精确到0.1m)．(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m 和最窄处为1.6m 的观光通道，进行计算．解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连接OA 、OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角．由正五边形性质得∠AOB ＝360°÷5＝72°，∴∠AOM ＝36°.∵AB ＝15×26＝5.2，∴AM ＝2.6.在Rt △AMO 中，边心距OM ＝AM tan36°＝ 2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m ；(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以，塑像底座的半径最大约为1m.方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．三、板书设计圆内接正多边形1．正多边形的有关概念2．正多边形的画法3．正多边形的有关计算作业设计1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)2．以下说法正确的是A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )A．1:2:3B．3:2:1C．1:2:3D．3:2:14.如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则ABBA11的值为（）A．21B．22C．41D．425．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．第5题图第6题图6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是度．OB CDAEF EDCBA O8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．求证：五边形ABCDE是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下
第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。
北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形
n
其中正确的命题有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 A ①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆, 圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不 一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角 相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图 形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心
2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20 cm2,则正八边
形的面积为
cm2.
答案 40 解析 如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N, 则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形 BCPO、四边形GFNM为全等的矩形. 设正八边形的边长为a cm,
初中数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
知识点一 圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正
多边形的外接圆. 把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边 形. (1)相关定义:
名称 中心
半径 中心角 边心距
概念
图形
ห้องสมุดไป่ตู้
一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心
1.正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A. 3 ∶3 B. 3 ∶2 C.1∶2 D. 2 ∶2
答案 B 如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连 接OA、OB,作OM⊥AB于M, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM= 3 a, 则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB= 3 a∶2a= 3 ∶2,故选B.
北师大数学九年级下册第三章-圆内接正多边形(含解析)
第04讲_圆内接正多边形知识图谱正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三. 正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则：222111422n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，，三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算．易错点：对正多边形相关的概念混淆不清．正多边形的相关概念例题1、 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】 ②⑤【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．例题2、 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360660=，所以正六边形的中心角的度数为360606︒=︒．例题3、 正六边形的边心距与边长之比为（ ）A.3：3B.3：2C.1：2D.2：2【答案】 B【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案．如图：设六边形的边长是a ， 则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC=12AB=12a ，∴OC=22OA AC -=32a ，a n d nR O CBA∴正六边形的边心距与边长之比为：32a：a=3：2．故选B．例题4、已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=______cm，边心距r=______cm，周长p=______cm，面积S=______cm2．【答案】（1）（2）2，3，12，63【解析】（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×332cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×2×3=63（cm2）．相关计算例题1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=__________________°．【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．例题2、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.23【答案】B【解析】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．例题3、如图1、2、3、…..、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON．（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是____________，图3中MON∠的度数是____________；（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360 n︒【解析】解：分别连接OB、OC，（1）AB AC=ABC ACB∴∠=∠OC OB=，O是外接圆的圆心，CO ACB∴∠平分30OBC OCB∴∠=∠=︒30OBM OCN∴∠=∠=︒BM CN=，OC OB=OMB ONC∴∆∆≌BOM NOC∴∠=∠60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒120MON BOC∴∠=∠=︒（2）同（1）可得MON∠的度数是90︒；图3中MON∠的度数是72︒（3）由（1）可知，360==1203MON︒∠︒；在（2）中，360==904MON︒∠︒；在（3）中360==725MON︒∠︒…..，故当n时，360 MONn︒∠=．随练1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=___________度．【答案】 36【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB =BC =CD =DE =EA =72°，∴∠CAD=12×72°=36°．随练2、 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 ∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴360606︒÷︒=，∴正多边形的边数为6，随练3、 若等边三角形的边长是12厘米，则其内切圆的面积为 ． 【答案】 12π平方厘米． 【解析】 如图，作OD ⊥AB ， ∵等边三角形的边长为12厘米， ∴AD=6厘米．又∵∠DAO=12∠BAC=12×60°=30°，∴tan30°=6DO DOAD ==33， ∴DO=23厘米，∴其内切圆的面积=π（23）2=12π． 故答案为：12π平方厘米．随练4、 如图，ABCD 是O ⊙的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS 与正方形ABCD 的面积之比为____________．【答案】 2:5 【解析】随练5、 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．SOR Q P D CBA【答案】 3【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长，∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==． ∵EF 是外切正六边形的边长，∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，，∴323CE ==， ∴43EF ，∴263436683EOF S S ∆===⎝⎭随练6、 已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ） A.32 B.34 C.27 D.28 【答案】 D【解析】 暂无解析弧长与扇形的面积知识精讲一．弧长公式1.圆的周长：2πR C =2.弧长公式：π180nl R =（其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）．二．扇形面积公式1.圆的面积公式：2πS R =2.扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：1=22S r l rl ππ=侧（以下公式中的l 均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：221=+=+22S S S r r l r rl ππππ=+全底侧；（3）圆锥的体积：213V r h π=；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：222r h l +=；（5）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图的圆心角为n ︒；则有：360S r n l S ==底侧O BADC2.圆柱（1）圆柱的侧面积：=2S r h π侧（2）圆柱的全面积：2=2πr 2πS S S rh=++侧全底四．不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形．三点剖析一．考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算 二．重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积； 三．易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的．弧长公式例题1、 一个扇形的半径为8cm ，弧长为163cm π，则扇形的圆心角为__________． 【答案】 120︒【解析】 设扇形圆心角为n ︒，根据弧长公式可得：8161803n ππ=，解得：120n =︒．例题2、 如图，在Rt ∴ABC 中，∴C=90°，∴A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的∴C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（ ）A.πB.πC.πD.π【答案】 A【解析】 连接CD ，如图所示， ∴∴C=90°，∴A=20°， ∴∴B=70°．l2πrrOh 2πrh O r∴CB=CD，∴∴BDC=∴B=70°，∴∴BCD=40°，∴的长为=．故选A．例题3、如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+3）cm，圆O沿地面BC 方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为．【答案】53πcm．【解析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，则AE=2+3﹣2=3，又OA=2，∴sin∠AOE=32 AEOA=，∴∠AOE=60°，则AB的长为()6090251803ππ+⨯⨯=，则圆O在地面上滚动的距离为53πcm，故答案为：53πcm．例题4、如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）AE平分∠DAC（2）①3；②43π﹣3【解析】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，AE=3BE=23，在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=3，∴AD=3DE=3×3=3；②∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=21202360π﹣12•12•23•2=43π﹣3．例题5、【答案】5π【解析】暂无解析随练1、 如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（ ）A.39π B.239πC.33π D.233π【答案】 B【解析】 连接OC ，∵△ACE 中，AC=2，AE=3，CE=1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ，∵sinA=CE AC =12，∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即1OC =32，解得OC=233，∵AE ⊥CD ， ∴BC =BD ，∴BD =BC =23603180π⨯=239π．随练2、 如图，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．MNP △沿线段AB 按A B −−→的方向滚动，直至MNP △中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为__________．【答案】43π 【解析】 该题考查的是弧长的计算．点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120︒，根据1=180n Rπ进行计算即可．故点P 经过的路程为：1201421803ππ⨯⨯⨯=．故答案为：43π．A (M )PNB扇形面积公式例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm2B.350πcm2C.πcm2D.150πcm2【答案】B【解析】∴AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，∴S贴纸=（﹣）×2=350πcm2，例题2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为3，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是_____．【答案】π﹣33 4【解析】∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=32，∵OC=3，∴OE=32，∴∠OCE=30°，∴∠COD=120°，∴图中阴影部分面积=()21203360π⋅⨯﹣12×3×32=π﹣334，例题3、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．【答案】（3π﹣）cm2．【解析】作OH∴DK于H，连接OK，∴以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∴∴C=90°，∴∴DA'C=30°，∴∴ODH=30°，∴∴DOH=60°，∴∴DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∴∴ODH=∴OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴∴ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．随练1、如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB 为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A.12π B.12π+1 C.π D.π+1【答案】A【解析】∵AB=2，∴BD=22，S阴影=S扇形BDE﹣12S扇形ACD=()24522360π﹣12×904360π⨯=π﹣12π=12π，故选A．随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】根据图示知，∴1+∴2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∴ABC+∴ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∴1﹣∴2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．圆锥例题1、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2【答案】C【解析】∴h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，=×2×6π×10=60π，圆锥侧面展开图的面积为：S侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．h=23cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为____cm2．A.43πB.8πC.12πD.（43+4）π【答案】C【解析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为23cm，∵圆锥的母线长为4cm，∵侧面面积=12×4π×4=8π； 底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm 2． 故选：C ．例题3、 将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为__________．【答案】22．【解析】 过O 点作OC AB ⊥，垂足为D ，交O 于点C ，由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==，由此可得，在Rt AOD ∆中，30A ∠=︒，同理可得30B ∠=︒，在AOB ∆中，由内角和定理，得180120AOB A B ∠=︒-∠-∠=︒AB ∴的长为12032180ππ⨯=设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=1r cm ∴=∴圆锥的高为223122-=随练1、 圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（ ） A.12πcm 2 B.20πcm 2 C.26πcm 2 D.36πcm 2【答案】 D【解析】 底面周长是2×4π＝8πcm ，底面积是：42π＝16πcm 2． 母线长是：22345+=，则圆锥的侧面积是：218π520πcm 2⨯⨯=，则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm 2．随练2、 已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是______． 【答案】163π【解析】 ∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π， ∴l=120R 81803⨯=ππ， 解得：R=4，则扇形面积为12Rl=163π随练3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠C=120°，以点C 为圆心的与AB ，AD 分别相切于点G ，H ，与BC ，CD 分别相交于点E ，F ．若用扇形CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是__________．【答案】 2【解析】 如图：连接CG ， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°，∵AB 与相切，∴CG ⊥AB ，在直角△CBG 中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3， 设圆锥底面的半径为r ，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是：=2．不规则图形面积的巧算例题1、 如图，AB 是∴O 的直径，弦CD ∴AB ，∴CDB=30°，CD=2，则S 阴影=（ ）A.πB.2πC.D.π【答案】 D【解析】 如图，CD ∴AB ，交AB 于点E ， ∴AB 是直径，∴CE=DE=CD=， 又∴∴CDB=30° ∴∴COE=60°， ∴OE=1，OC=2， ∴BE=1，∴S ∴BED =S ∴OEC ， ∴S 阴影=S 扇形BOC ==．故选：D ．例题2、如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∴AB，∴COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】∴弦CD∴AB，∴S∴ACD=S∴OCD，∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．例题3、如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）DE为⊙O的切线（2）（24﹣4π）cm2【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=12（4+8）×4﹣2904360π••=（24﹣4π）cm2．随练1、 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是____________．【答案】23π﹣3 【解析】 如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =260213602π⨯-×2×3=23π﹣3．随练2、 如图，在∴BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的∴O 与CE 相切于点D ，AD ∴OC ，点F为OC 与∴O 的交点，连接AF ． （1）求证：CB 是∴O 的切线；（2）若∴ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【解析】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∴CE与∴O相切于点D，∴OD∴CE，∴∴CDO=90°，∴AD∴OC，∴∴ADO=∴1，∴DAO=∴2，∴OA=OD，∴∴ADO=∴DAO，∴∴1=∴2，在∴CDO和∴CBO中，，∴∴CDO∴∴CBO，∴∴CBO=∴CDO=90°，∴CB是∴O的切线．（2）由（1）可知∴3=∴BCO，∴1=∴2，∴∴ECB=60°，∴∴3=∴ECB=30°，∴∴1=∴2=60°，∴∴4=60°，∴OA=OD，∴∴OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∴∴1=∴ADO，在∴ADG和∴FOG中，，∴∴ADG∴∴FOG，∴S∴ADG=S∴FOG，∴AB=6，∴∴O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF==π．随练3、如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】 ．【解析】 如图，∴AB=AB ′=8，∴BAB ′=60° ∴图中阴影部分的面积是： S=S 扇形B ′AB +S 半圆O ′﹣S 半圆O =+π×52﹣π×52 =π．拓展1、 若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（ ） A.9π B.10π C.12π D.15π【答案】 C【解析】 连接OD 、OE ，作OM ⊥DE 于M ， ∵六边形ABCDEF 是边长为4的正六边形， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OD ＝DE ＝4，∴3sin 604232OM OD =•︒=⨯=，∴它的内切圆面积2(23)12=π⨯=π．2、 边长为4的正六边形的边心距________，中心角等于________度，边长为________． 【答案】 23；60；4【解析】 六边形每个中心角度数为360÷6＝60°，根据每个中心角都分六边形为等边三角形，∵正六边形的边长为4， 则每个等边三角形的高即圆心距为：sin 6023CO BO =⋅︒=．3、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________．【答案】 2:3 【解析】 暂无解析4、 如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10=________________．【答案】 75°【解析】 设该正十二边形的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，∧3110A A A =512⊙O 的周长，∴∠A3OA10=536012⨯=150°，∴∠A 3A 7A 10=75°，5、 （1）已知：如图1，ABC ∆是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+ （2）如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:2PA PC PB =+（3）如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.【答案】 见解析【解析】 （1）证明：延长BP 至E ,使PE PC =,连结CE .OCABPPODAB COPFDCA1260,3460∠=∠=︒∠=∠=︒60,CPE PCE ∴∠=︒∴∆是等边三角形.，,360,CE PC E ∴=∠=∠=︒又EBC PAC ∠=∠， BEC APC ∴∆∆≌ PA BE PB PC ∴==+.（2）证明：过点B 作BE PB ⊥交PA 于E ,122390,13∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠,又45APB ∠=︒，,2,BP BE PE PB ∴=∴=,,AB BC ABE CBP PC AE =∴∆∆∴=≌.2PA AE PE PC PB ∴=+=+（3）答:3PA PC PB =+证明：在AP 上截取AQ PC =,连结BQ ,,BAP BCP AB BC ∠=∠=,,ABQ CBP ∴∆≅∆BQ BP ∴=.又30,APB ∠=︒3PQ PB ∴=，3PA PQ AQ PB PC ∴=+=+6、 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC ．（1）若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】 （1）78°（2）见解析【解析】 （1）∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；（2）∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠BDC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2．7、 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）321E C B ADO PO Q AB C D E F PA.2πB.πC.22D.2 【答案】 B 【解析】 取AB 的中点O 、AE 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图， ∵在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2， ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO=90°，∴点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF=OC=2， ∴M 点的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•2π•1=π．8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为________．【答案】 12π+【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴22112AB =+=；根据题意得：2△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示：∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为2的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积22135(2)190111136023602⨯π⨯⨯π⨯=+⨯⨯+=π+．9、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中AE的长为________．【答案】32 2π【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴222CA AB==，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝135°，∴AE的长度13522321802π==π．10、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．11、用一个圆心角为120°，半径为3的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．【答案】1【解析】 暂无解析12、 若扇形的半径为30cm ，圆心角为60°，则此扇形围成圆锥的底面半径为 cm ． 【答案】 5 【解析】 设圆锥的底面半径为r ，根据题意得2π•r=6030180π⨯，解得r=5， 即圆锥的底面半径为5cm ．故答案为5．13、 将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′，使A 、B 、C′在同一直线上，若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________cm 2．【答案】 4π【解析】 ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，∴BC ＝2，23AC =，∠A′BA ＝120°，∠CBC′＝120°，∴阴影部分面积＝（S △A′BC′＋S 扇形BAA ′）－S 扇形BCC′－S △ABC 222120π(42)4πcm 360=⨯-=． 14、 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是__________．【答案】 5：4【解析】 如图1，连接OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=222+1=5，∴扇形的面积24555=3608ππ⨯（）； 如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC ，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=22， ∴⊙M 的面积是π×（22）2=12π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是515=824ππ÷（）．15、 如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心DC 长为半径作14圆DEF ，设∠BDF ＝α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为________（14圆：∠EDF ＝90°，14圆的面积21π4r =⋅）【答案】 π－2【解析】 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接DC ，如图所示：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM AD =，DN =， ∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，MDG NDH DMG DNH DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积2218DM AB ==21428=⨯=， ∴四边形DGCH 的面积218AB =， ∵扇形FDE 的面积22290πππ4π3601616CD AB ⋅⨯===， ∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝π－2．16、 如图，ABCD 是平行四边形，AB 是O 的直径，点D 在O 上1AD OA ==，则图中阴影部分的面积为__________.【答案】 34 【解析】 连接DO EO BE ，，，过点D DF AB F ⊥作于点，1AD OA AD AO DO ==∴==，，AOD ∴∆是等边三角形，ABCD 四边形是平行四边形，//60DC AB CDO DOA ∴∴∠=∠=︒，， ODE ∴∆是等边三角形，同理可得出OBE ∆是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于BCE ∆面积，36012DF ADsin DE EC =︒===，， ∴图中阴影部分的面积为：34．。
第21课 圆内接正多边形(解析版)
第21课 圆内接正多边形3.8培优第一阶——基础过关练一、单选题1．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得60AOB Ð=°，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．【解析】解：如图，由题意得：OA OB AB ==，AOB \V 是等边三角形，60AOB \Ð=°，则这个正多边形的边数为360606°¸°=，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．2．正十边形的中心角是（）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°【答案】B【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°故选：B【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，△BCD 的面积为4，则△BCF 的面积为（ ） 课后培优练A．16B．12C．8D．6【答案】C【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．【解析】解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，∵△BCD的面积为4，∴△BCF的面积为：8．故选C．【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．4．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A．B．C．12D．24Q，==OA OB2\V为等边三角形，AOB\=，AB2\正六边形ABCDEF故选：.C 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，已知O e 的 半径为2，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）A ．2B ．1CD 在正六边形ABCDEF 中，∵OA =OB ，6．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．67．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）A ．90°B ．72°C ．60°D ．36°8．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R ，图1中圆内接正六边形的周长66=l R ，则632»=l Rp ．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ）A ．1224sin15=°l R B ．1224cos15=°l R C ．1224sin 30=°l R D ．1224cos30=°l R9．如图，边AB 是⊙O 内接正六边形的一边，点C 在AB 上，且BC 是⊙O 内接正八边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 的值是（ ）A．6B．12C．24D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【解析】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．10．如图，已知正六边形ABCDEF G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（ ）A．6≤C≤B．3≤C≤C．C≤6D．C≤二、填空题11．半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，含作出辅助线，构造直角三角形来解答．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．Ð的度数为______．13．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则AFO【答案】22.5°．Ð，再根据圆周角定理计算即可．【分析】连接OA、OB，根据正多边形的性质求出AOB【解析】解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O，连接OA、OB，如图：14．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则AMCM的值为______．质等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．15．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝_____．【答案】210°.【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【解析】解析：连接CE.∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B ＋∠AEC＝180°.∵∠CED＝∠CAD＝30°，∴∠B＋∠E＝180°＋30°＝210°.故答案为: 210°.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．16．如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆螺纹直径柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明想用一把刻度尺测量出螺纹直径．已知刻度尺紧靠螺纹，经过点A且交CD于点P，若测得AP长为13mm，正六边形ABCDEF的边长为7.5mm，则CP长为___________mm，螺纹直径为___________mm．【答案】 0.5##12【分析】连接AC，过点B作BM⊥AC于点M，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接AD，知A、O、D17．如图，若五边形ABCDE 是O e 的内接正五边形，则BOC Ð=_________，ABE Ð=__________，ADC Ð=__________，ABC Ð=__________．OP=，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接18．如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且4AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为______．【答案】32【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可．【解析】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的；点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点，此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积，圆O的直径PQ恰好经过点A，D，连接BE，Q四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4，\BE = PQ = 2OP =8，BC = CE，Q ∠C = 90°，\BC 2 + CE 2 = 2BO 2 = BE 2 = 82，\BC 2=32，即S 正方形BCEF =32，如图，当,P A 重合时，当,,,A B C D 四点都在圆上时，四边形ABCD 是正方形矩形ABCD 面积的最大值为32．故答案为：32．【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键．三、解答题19．如图，正五边形ABCDE 内接于O e ，点F 在 AB 上，求CFD Ð的度数．【答案】36°【分析】如图所示，连接OC 、OD ，由正五边形的性质可得COD Ð的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．【解析】如图所示，连接OC 、OD ，ABCDE 是正五边形，360725°=°，1362COD =Ð=°．20．如图，O e 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC =，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF =；(2)在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AO 并延长 与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 与DE 的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN 并延长即可．（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O为正五边形的外接圆，∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．∵点M在直线AO上，∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，∴CF与DG关于直线AO对称．∴DG=CF．（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为 BC上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为 BC的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．∵正方形ABCD内接于⊙∴∠DOC＝90°，∴1452DPC DOCÐ=Ð=°（2）∵正方形ABCD内接于⊙V内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．22．如图1，等边ABC（1）可以证明CD垂直平分AB，写出 AD与 DB的数量关系：___．（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．【答案】（1）=；（2）①见解析，②见解析AD DB【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．【解析】（1）=，AD DB∵O为三角形的外心，∴O为三角形三边中垂线的交点，又∵三角形为等边三角形，∴可得CD垂直平分AB，根据垂径定理可得：=；AD DB（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；②如图所示：（方法不唯一）【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．23．请仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹．（1）如图1，点O是等腰△ABC底边BC的中点，E是AB上一点，请在AC上作出点F，使EF∥BC；（2）如图2，△ABC为⊙O的内接三角形，请在AB，AC上分别作出点M，N，使MN∥BC；（3）如图3，六边形ABCDE为正六边形，在AF上取一点H，使2=．HF AH【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）连接CE、AO，过它们的交点作直线BF，交AC于点F，连接EF即可；（2）过B、C两点画两条直径，连接两条直径的另外两个端点，与AB、AC分别交于点M、N，连接MN 即可；（3）延长BA、EF，过交点作直线CH，交AF于点F即可．【解析】如图所示．【点睛】本题考查了无刻度的直尺画图，解题关键是掌握相关图形的性质，通过构造全等、相似或特殊图形解决问题．24．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．(1)求图1中∠APN的度数；(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）25．如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC Ð的度数．(2)AMN V 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．【答案】(1)108°(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 BC CD DE AE AB ====，则AOC Ð(优弧所对圆心角)372216°°=´=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD Ð=°-°=°，即可得出结论．（1）解：∵正五边形ABCDE ．∴ BC CD DE AE AB ====，26．如图所示，正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是O e 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M 、N 分别从点B 、C 开始，以相同的速度在O e 上逆时针运动．（1）求图①中APB Ð的度数（2）图②中APB Ð的度数是______，图③中APB Ð的度数是______；（3）若推广到一般的正n 边形情况，请写出APB Ð的度数是______．27．如图①，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交DE 于N .(1)求出MPN Ð的度数，并证明3PM PN a +=；(2)如图②，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM ON =；(3)如图③，点O 是AD 的中点，OG 平分MON Ð，求证：四边形OMGN 是菱形.【答案】(1)60°；证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解．【分析】（1）根据正六边形的性质和平行线的性质，得到两个正三角形，然后等量代换即可；（2）根据正六边形的性质，得到OM 、ON 所在的三角形全等，即可证明；（3）根据（2）的结论以及题意，证明MOG GON D D 和是等边三角形，即可证明结论．（1）证明：延长FA 、ED ，分别交BC 延长线于I ，H∵MP ∥AB ，PN ∥CD ，ABCDEF 是正六边形∴IPM IAB HPN HCD D D D D、、、均为等边三角形∴PM =PI ，AB =IB ，PN =PH ，CD =CH ，∠IPM =∠HPN =60°∴∠MPN =180°-60°-60°=60°PM +PN =PI +PH =IB +BP +PC +CH =AB +BC +CD =3a（2）证明：如图，令MP 交AD 于R ，NP 交AD 于Q ，∵ABCDEF 是正六边形，O 是AD 中点∴AD ∥BC ，AO=OD=AB ，∠MAR =∠NDQ =60°∵PM ∥AB∴ABPR 是平行四边形，∴AR =BP ，∠ARM =180°-120°=60°∴AGM D 是等边三角形，∴AM =MQ =AQ ，∠MRO =120°同理可证QD =PC ，DN =DQ =QN ，∠OQN =120°，∵AO =AR +RO =OQ +QD =BP +PC∴AR =OQ ，RO =QN在MRO OQN D D 和中120MR OQ MRO OQN RO QN =ìïÐ=Ð=°íï=î∴MROOQN D D ≌∴MO =NO（3）证明：连接OE ，∵ABCDEF 是正六边形∴∠EOD =60°由（2）知∠NOQ +∠MOR =60°∴∠MON =120°∵OG 是∠MON 的角平分线∴∠GON =60°∵∠GOE +∠EON =60°，∠DON +∠EON =60°∴∠GOE =∠DON在GOE DON D D 和中60GEO NDO OE ODGOE NOD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴GOE DOND @D ∴GO =GN∴GO =GM∵∠MOG =∠NOG =60°∴MOG GON D D 和都是等边三角形∵MO =NO∴MO =NO =NG =GM∴四边形MONG 是菱形；【点睛】本题考查了正六边形，涉及了正三角形、平行线的性质、全等三角形等知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事情，精准识图，合理推论是本题的解题关键．28．在下列正多边形中，O 是中心，定义：OBC D 为相应正多边形的基本三角形．如图1，OBC D 是正三角形ABC 的基本三角形；如图2，OBC D 是正方形ABCD 的基本三角形；如图3，OBC D 为正n 边形ABCDEF …的基本三角形．将基本OBC D 绕点O 逆时针旋转a 角度得OB C ¢¢D ．（1）若线段BC 与线段B C ¢¢相交点O ¢，则：图1中a 的取值范围是________；图3中a 的取值范围是________；（2）在图1中，求证BO O C ¢¢¢=（3）在图2中，正方形边长为4，135a =°，边BC 上的一点P 旋转后的对应点为P ¢，若B P OP ¢¢+有最小值时，求出该最小值及此时BP 的长度；（4）如图3，当B C OC ¢¢^时，直接写出a 的值．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为0S ，1S ，2S ，3S ．若12302S S S S ++=，则线段OP 长的最小值是（ ）A 2BC ．D 【答案】B2PDB BDC S S S =+V V ，3PDA ADC S S S =+V V ，∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S S S S S V V V V ++=++++=1()()PDB PDA BDC ADC S S S S S V V V V ++++ =1PAB ABCS S S V V ++=110S S S ++=102S S +=02S ，2．如图，正六边形ABCDEF 中，点P 是边AF 上的点，记图中各三角形的面积依次为12345,,,,S S S S S ，则下列判断正确的是（ ）A ．1232S S S +=B ．143S S S +=C ．2432S S S +=D ．153S S S +=23133,22S a a a \=´´= 设,PF x = 则,AP a x =-()11132224S AP FQ a x a \==-´=g3．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿H G折叠，点B恰好落在边AF的中点上，延长B C¢¢交EF于点M，则C M¢的长为（）A．1B．65C．56D．95761C M B M B C \¢=¢-¢¢=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的关系．4．如图， 已知正方形ABCD 中， 连结AC ， 在AC 上截取AE=AD ， 作ADE V 的外接圆交AB 于点F ， 连结DF 交AC 于点M ， 连结EF ．下列选项正确的是（ ）①DG=AF ；②AM=EC ；③∠EFB=∠AFD ；④BCMF ADEFS S =四边形四边形A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④22.5CDE ADC ADE \Ð=Ð-Ð=°，由圆周角定理得：45EDF BAC Ð=Ð=°，22.5ADM ADE EDF \Ð=Ð-Ð=°，ADM CDE \Ð=Ð，在ADM △和CDE V 中，DAM DCE AD CD ADM CDE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADM CDE ASA \@V V ，AM EC \=，则结论②正确；由圆内接四边形的性质得：EFB ADE Ð=Ð，ADE AED Ð=ÐQ ，EFB AED \Ð=Ð，由圆周角定理得：AED AFD Ð=Ð，EFB AFD \Ð=Ð，则结论③正确；由圆周角定理得：AEF ADM Ð=Ð，ADM CDE Ð=ÐQ ，AEF CDE \Ð=Ð，,AD CD AD AE ==Q ，AE CD \=，在AEF △和CDE V 中，45AEF CDE AE CD EAF DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，()AEF CDE ASA \@V V ，AEF CDE S S \=V V ，ADE AEF ADE CDE ACD ADEF S S S S S S \=+=+=V V V V V 四边形，Q 四边形ABCD 是正方形，ACD ABC S S \=V V ，ABC ADEF S S \=V 四边形，又ABC AMF ABC BCMF S S S S =-<V V V Q 四边形，BCMF ADEF S S \<四边形四边形，则结论④错误；综上，结论正确的是①②③，故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各定理与性质，并正确找出全等三角形是解题关键．5．如图，A B C D E 、、、、是O e 上的5等分点，连接AC CE EB BD DA 、、、、，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．有下列3个结论：①AO BE ^，②CGD COD CAD Ð=Ð+Ð，③BM MN NE ==．其中正确的结论是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③72COD \Ð=°，2COD CAD Ð=ÐQ ，36CAD \Ð=°；连接CDA Q 、B 、C 、D 、E 是O e 上的5等分点，\»»»»AB DE BC CD ===，36BDC DCE CAD \Ð=Ð=Ð=°，108CGD \Ð=°，CGD COD CAD \Ð=Ð+Ð，故②正确；连接AB ，AE ，则36BAM ABM EAN AEN Ð=Ð=Ð=Ð=°，AB AE =Q ，()ABM AEN ASA \@△△，BM EN AM AN \===，36MAN Ð=°Q ，AM MN \¹，③错误．故选：B ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题6．如图，O e 是正八边形ABCDEFGH 的外接圆，O e 的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．① DF 的长为2p；②DF =；③ODE D 为等边三角形；④ABCDEFGH S AE DF =×正八边形．数的关系是解决问题的关键．7．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，点P 在对角线AC 上，75EDP Ð=°，PQ EF ^于点Q ，则PQ 的长是__________；过点Q 作//QG ED 交DP 于点G ，则PQG V 的面积为__________．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COI=60°，∠OCI=30°，OC=2，∠QPG=360°-∠PQE-∠DEF-∠EDP=75°，QG ED//8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为BC上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B 沿 BC运动到点C时，线段AE的最大值是____．【答案】D是⊙O内接等边三角形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，则9．如图1，ABCÐ=°.90PAM（1）如图2，正方形ABCD是⊙O内接正方形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，则PAMÐ=________；（2）如图3，若正n边形ABC……PQ是⊙O内接正n边形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，若PAMÐ的度数小于30°，则n的最小值是_______.（2）如图5，连接OC 、OP 、OB ，则OA=OB ，∠AOB =∠BOC =360n o ∴18019022AOB OAB AOB -ÐÐ==-Ðo o ，∴1180902BAM OAB AOB n Ð=-Ð=Ð=o o，∵P 是弧BC 的中点，∴1136018022POB COB n nÐ=Ð=´=o o ，1118090o o ，三、解答题10．正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．（1）如图①，若点E 在 AB 上，F 是DE 上的一点，DF=BE ．求证：△ADF ≌△ABE ；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE 、BE 、AE 之间满足等量关系：AE ．请说明理由；（3）如图②，若点E 在 AB 上．连接DE ，CE ，已知BC=5，BE=1，求DE 及CE 的长．掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．11．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长a（用含n的代数式表示）．决问题的能力．12．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=DE，∠ABC=120°．∴»»BC DE=，∠EBC=12∠ABC=60°．。
3.8 圆内接正多边形课件(共18张PPT) 北师大版九年级下册数学
°
(3)∠MON＝
.
合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×
＝4
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半
圆内接正多边形
圆内接正多边形什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形，指的是一个正多边形可以恰好放在一个圆内，且正多边形的每个顶点都在圆周上。
圆内接正多边形也被称为圆内正多边形或圆多边形。
一个圆内接正多边形的特点是，它的每条边相等且每个角都是相等的。
这使得圆内接正多边形在数学、科学、工程和建筑等领域中有广泛的应用。
怎样构造圆内接正多边形？构造圆内接正多边形有多种方法。
以下介绍两种常见的方法：1. 中心构造法中心构造法是一种基于圆的方法。
它的步骤如下：1.以圆心为中心，画一个圆。
2.从圆心出发，以圆的半径为边长画出一个正四边形。
3.用圆上的点作为四边形的顶点，连接四个顶点和圆心，得到一个正八边形。
4.以同样的方式在正八边形的每个顶点上构造正四边形，得到一个正十六边形。
5.重复上述步骤，每一次都在前一个正多边形的顶点上构造正四边形，直到构造出一个足够接近圆内接正多边形的正多边形。
2. 分割法分割法是另一种构造圆内接正多边形的方法。
它的步骤如下：1.在圆上任取一点，作为第一个多边形的一个顶点。
2.以两个相邻点和圆心为中心，画出一个小扇形，将圆划分成若干个小扇形。
3.每个小扇形内部的角度等于圆心角（360度）的一部分，可以计算出每个小扇形的角度。
4.根据所要构造的正多边形的边数，将圆分割成相应的小扇形。
5.将每个小扇形的两个端点连线，得到一个近似圆内接正多边形。
可以根据实际需要逐渐增加分割的扇形数，使得构造出的正多边形更加接近于圆内接正多边形。
圆内接正多边形的性质除了每条边长度相等、每个角度相等外，圆内接正多边形还有其他几个重要的性质：1.圆内接正多边形的内角和等于360度。
2.圆内接正多边形的对角线相等，且交于圆心。
3.圆内接正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
此外，圆内接正多边形的周长和面积可以很容易地计算出来，便于在实际问题中应用。
圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在数学和其他领域中有广泛的应用，如：1.圆内接正多边形可以用来构建复杂的图形和形状，如著名的黄金分割比例、立体的正十二面体等。
8 圆内接正多边形
8 圆内接正多边形关键问答①正n 边形的中心角是多少度？②连接正六边形的中心和任意两个相邻顶点得到的三角形是一个什么样的三角形？③解决与圆内接正多边形的有关计算题，应如何添加辅助线？1.①2019·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形2．利用等分圆的方法可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正六边形D ．正七边形 3．①①已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为( )A .233r ，r ，3r 2B ．r ，r 2，23r 2C .33r ，r ，3r 2D ．r ，3r 2，332r 24．如图3－8－1，正三角形ABC内接于①O，若AB＝2 3 cm，求①O的半径．图3－8－1命题点1正多边形的画法[热度：87%]5．如图3－8－2，要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形(不要求写作法，保留作图痕迹)．图3－8－26.①如图3－8－3，已知①O和①O上的一点A，作①O的内接正六边形ABCDEF.图3－8－3解题突破①正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系？命题点2与圆内接正多边形有关的计算[热度：81%]7．①如图3－8－4，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，则S阴影S①ABC的值为()图3－8－4A .12B .13C .23D .32解题突破①根据正六边形的每一个内角是120°得到①ADI 是什么三角形？得到AD AB 的值是多少？8.①如图3－8－5，正五边形ABCDE 内接于①O ，过点A 的切线与CB 的延长线相交于点F ，则①F 的度数是( )图3－8－5A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°解题突破①连接OA ，OB, 你能求出①AOB, ①BAF, ①ABF 的度数吗？9．2019·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A .22B .32C . 2D .310.①如图3－8－6，A ，B ，C 在①O 上，AB 是①O 内接正六边形的一边，BC 是①O 内接正十边形的一边，若AC 是①O 内接正n 边形的一边，则n 等于( )图3－8－6A．12 B．15 C．18 D．20解题突破①连接OA，OC，OB，你能求出①AOC的度数吗？11.①2019·玉林如图3－8－7，正六边形ABCDEF的边长是6＋4 3，点O1，O2分别是①ABF，①CDE的内心，则O1O2＝________．图3－8－7方法点拨①解决正六边形问题，往往需要作辅助线将其转换为三角形问题进行求解.命题点3与圆内接正多边形有关的证明[热度：80%]12．如图3－8－8，已知①O的内接正十边形ABCD…，AD与OB，OC分别交于点M，N.图3－8－8求证：(1)MN①BC；(2)MN＋BC＝OB.13.①如图3－8－9，在①O的内接等腰三角形ABC中，AB＝AC，弦BD，CE分别平分①ABC，①ACB，BE＝BC.(1)求证：五边形AEBCD是正五边形；(2)若BD，CE相交于点F，试判断四边形AEFD的形状，并证明你的结论．图3－8－9知识链接①(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)各边相等，各角相等的五边形是正五边形.命题点4与正多边形有关的实际应用[热度：79%]14.①如图3－8－10①是一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m 的正五边形ABCDE(如图3－8－10①)，点O为中心．(1)求地基的中心到边缘的距离(结果精确到0.1 m)；(2)已知塔的墙体宽1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，则塑像底座的半径最大是多少？图3－8－10模型建立①从实际问题中建立正多边形模型，并构造直角三角形，借助三角函数进行计算.15.①如图3－8－11①①①，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 分别是①O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在①O 上做逆时针运动，AM 与BN 交于点P .(1)求图①中①APB 的度数．(2)图①中①APB 的度数是________，图①中①APB 的度数是________．(3)根据前面的探索，你能否由本题推出一般的正n 边形的情况？若能，请写出你的结论；若不能，请说明理由．图3－8－11方法点拨①从特殊到一般发现规律，再从一般到特殊验证规律.16.①盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：(1)若P 是正三角形ABC 的外接圆BC ︵上的一点，则PB ＋PC ＝P A ；(2)若P 是正四边形ABCD 的外接圆BC ︵上的一点，则PB ＋PD ＝2P A ；(3)若P 是正五边形ABCDE 的外接圆BC ︵上的一点，请问PB ＋PE与P A 有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；(4)若P 是正n 边形A 1A 2A 3…A n 的外接圆A 2A 3︵上的一点，请问P A 2＋P A n与P A1又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明．图3－8－12方法点拨①解决正多边形问题时，通常需要作辅助线构造直角三角形，借助三角函数加以计算.详解详析1．A2．D [解析] 利用圆的半径即可将圆等分成6份，这样就能得出正三角形，也可以得出正六边形；作两条互相垂直的直径即可得到圆的4等分点，连接各分点可得出正方形；但是无法只利用直尺与圆规将圆7等分，故无法得到正七边形．3．D4．解：过点O 作OD ①BC 于点D ，连接BO .①正三角形ABC 内接于①O ，①点O 既是三角形的内心也是外心，①①OBD ＝30°，BD ＝CD ＝12BC ＝12AB ＝ 3 cm ，①cos30°＝BD BO ＝3BO ＝32，解得BO ＝2 cm ，即①O 的半径为2 cm.5．解：①作两条弦AB ，BC 的垂直平分线，交点即为圆心O; ①作直径DE ，作直径DE 的垂直平分线，交圆O 于点F ，G ； ①顺次连接D ，G ，E ，F ，四边形DGEF 即为所求，如图所示．6．解：如图，首先作直径AD ，然后分别以点A ，D 为圆心，OA 长为半径画弧，与①O 分别交于点B ，F ，C ，E ，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．7．C [解析] ①六边形DEFGHI 是正六边形，①①EDI ＝120°，①①ADI ＝60°，①①ADI 是等边三角形，①AD ＝DE .同理，BE ＝DE ，①AD ＝DE ＝BE ，①AD AB ＝13，①S ①ADI ＝19S ①ABC ，同理，S ①BEF ＝19S ①ABC ，S ①CGH ＝19S ①ABC ，①S 阴影S ①ABC ＝S ①ABC －3×19S ①ABC S ①ABC＝23.故选C. 8．D [解析] 连接OA ，OB .①AF 是①O 的切线，①①OAF ＝90°. ①正五边形ABCDE 内接于①O ，①①AOB ＝360°5＝72°.①OA ＝OB ，①①OAB ＝①OBA ＝54°，①①BAF ＝90°－54°＝36°.①①ABF ＝360°5＝72°，①①F ＝180°－36°－72°＝72°.故选D.9．A10．B [解析] 连接OC ，OA ，OB .①AB 是①O 内接正六边形的一边，①①AOB ＝360°÷6＝60°.①BC 是①O 内接正十边形的一边，∴∠BOC ＝360°÷10＝36°，①①AOC ＝①AOB －①BOC ＝60°－36°＝24°，①n ＝360°÷24°＝15.故选B.11．12＋4 3 [解析] 过点A 作AM ①BF 于点M ，连接O 1F ，O 1B .①六边形ABCDEF 是正六边形，①①F AB ＝120°，AF ＝AB ，①点A ，O ，M 在一条直线上，①AFB ＝①ABF ＝12×(180°－120°)＝30°，①①ABF 中BF 边上的高AM ＝12AF ＝12×(6＋4 3)＝3＋2 3，FM＝BM ＝3AM ＝3 3＋6，①BF ＝3 3＋6＋3 3＋6＝12＋6 3.设①ABF 的内切圆的半径为r ，①S ①ABF ＝S ①AO 1F ＋S ①AO 1B ＋S ①BFO 1，①12×(3＋2 3)×(6 3＋12)＝12×(6＋4 3)×r ＋12×(6＋4 3)×r ＋12×(12＋6 3)×r ，解得r ＝3，即O 1M ＝r ＝3，①O 1O 2＝2×3＋6＋4 3＝12＋4 3.12．证明：(1)如图，连接OA ，OD .①BC ，CD 为①O 的内接正十边形的边长，①①BOC ＝①COD ＝36°，①①BOD ＝72°，①①BAD ＝12①BOD ＝36°.①OB ＝OC ，①①1＝①2＝12×(180°－36°)＝72°.同理可得①3＝72°，①①ABC ＝①1＋①3＝144°，①①BAD ＋①ABC ＝180°，①AD ①BC ，即MN ①BC .(2)①①BAD ＝36°，①3＝72°，①①AMB ＝180°－①BAD －①3＝72°，①①OMN ＝①AMB ＝72°.①①OMN ＝①AOM ＋①OAM ，①①OAM ＝36°，①OM ＝AM .在①OMN 和①AMB 中，①MON ＝①MAB ，OM ＝AM ，①OMN ＝①AMB ，①①OMN ①①AMB ，①MN ＝MB ，ON ＝AB .①OM ＝ON ，①OB ＝OM ＋BM ＝AB ＋MN .①AB ＝BC ，①MN ＋BC ＝OB .13．解：(1)证明：①AB ＝AC ，①①ABC ＝①ACB .①BD ，CE 分别平分①ABC ，①ACB ，①①ABD ＝①DBC ＝①ECB ＝①ACE .①BE ＝BC ，①BE ︵＝BC ︵，①①BEC ＝①BCE .①①BAC ＝①BEC ，①①ABD ＝①DBC ＝①ECB ＝①ACE ＝①BAC ，①AE ︵＝AD ︵＝DC ︵＝BC ︵＝BE ︵，①AE ＝AD ＝DC ＝BC ＝BE ，①五边形AEBCD 是正五边形．(2)四边形AEFD是菱形．理由如下：①五边形AEBCD是正五边形，①①EBC＝①EAD＝①AEB＝①ADC＝①BCD＝108°.①BC＝DC，①①CBD＝①BDC＝36°，①①ADB＝72°，①①EAD＋①ADB＝180°，①AE①BD，同理可得：EC①AD，①四边形AEFD是平行四边形．又①AE＝AD，①四边形AEFD是菱形．14．解：(1) 如图，过点O作OM①AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，①AOB是中心角．由正五边形的性质得①AOB＝360°÷5＝72°.又AB＝15×26＝5.2(m)，所以AM＝2.6 m，①AOM＝36°.在Rt①AMO中，边心距OM＝AMtan36°＝2.6tan36°≈3.6(m)．所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m.(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以塑像底座的半径最大约为1 m.15．解：(1)①①ABC是正三角形，①①ABC＝60°.①点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在①O上做逆时针运动，①∠BAM＝①CBN，①①APB＝180°－①ABN－①BAM＝180°－①ABN－①CBN＝180°－①ABC ＝120°.(2)90° 72°(3)①APB ＝360°n .16．解：(3)PB ＋PE 与P A 满足的数量关系是：PB ＋PE ＝2P A ·cos36°.理由：连接OA ，OE ，过点A 作AM ①PB 于点M ，AN ①PE 于点N .因为①APM ＝①APN ，所以Rt①AMP ①Rt①ANP ，所以AM ＝AN ，PM ＝PN .因为AB ＝AE ，所以Rt①AMB ①Rt①ANE ，所以MB ＝NE ，所以PB ＋PE ＝(PM －MB )＋(PN ＋NE )＝2PN .因为①APE ＝12①AOE ，且五边形ABCDE 为正五边形，所以①AOE＝360°5＝72°，所以①APE ＝36°.在Rt①ANP 中，cos①APN ＝PN P A ，所以PN ＝P A ·cos36°，所以PB ＋PE ＝2P A ·cos36°.(4)若P 是正n 边形A 1A 2A 3…A n 的外接圆A 2A 3︵上的一点，则P A 2＋P A n 与P A 1满足的数量关系是P A 2＋P A n ＝2P A 1·cos(180°n )．[关键问答]①360°n .①等边三角形．①连接中心和顶点或过中心向一边作垂线段，构造以边心距、边长的一半和外接圆半径为三边长的直角三角形，通过解直角三角形进行解答．。
3.8 圆内接正多边形
∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足
为M，OM是这个正五边形圆心距.
（来自教材）
知1－讲
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆 内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
6
(2015· 随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
（来自《典中点》）
知1－练
2
(2016· 南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆
的半径为( A．1 ) B. 3 C．2 D．2 3
3
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ( )
A．1∶ 2
B．1∶2
C．2∶3
D．2∶π
（来自《典中点》）
知1－练
4
(2015· 青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正
圆内接正多边形
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地 基的周长和面积(精确到0.1m2). 【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
2
2
R
2R,
2
S正方形ABCD AB BC
2R 2 2R2.
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有__①__②__③__④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③__④____. 2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比 为_3__:4__，面积比为_9_:_1_6_，外接圆周长比是__3_:_4__，中 心角度数比是__1_:_1__.
R
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵A⌒B=⌒BC，
∴AB=BC，
P
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
B
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
Q
QR=RS=ST=TP=2PA，
C
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
8 圆内接正多边形
圆内接正多边形
北师大版《数学》九年级下册第三章 圆3.6 圆内接正多边形【知识要点】知识点1圆内接正多边形定义 ：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.【典例解析】在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴︒=︒=∠606360COD ∴COD ∆为等边三角形. ∴4==OC CD在COG Rt ∆中，4=OC ，2=CG∴32=OG∴正六边形ABCDEF 中心角为︒60，边长为4，边心距为32.分析 ：题目是有关正多边形的计算的具体应用，通过例题的学习，巩固有关正多边形的概念，能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.【达标测评】拓展练习1 （2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ． 3B ． 3C ．D ．考点： 垂径定理；等边三角形的性质．分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可． 解答： 解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 的面积为2π∴⊙O 的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选C．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．难度：中2 (2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=B D．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=O D．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．难度：中3 （2014•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．难度：中4 （2014•攀枝花，第23题12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．考点：圆的综合题．分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C 点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．解答：解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、MB、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．难度：难5．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．第5题图考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．难度：中基础题：1．（2014•四川成都,第14题4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．难度：中2．（2014•贵州黔西南州, 第18题3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．第1题图考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．难度：易3. （2014•湖北黄冈,第14题3分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4．第2题图考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=，即=，解得R=4，则OE=2，DE=OE=2，所以CD=2DE=4．解答：解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∵CD⊥AB，∴DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，∵cos∠EOD=cos60°=，∴=，解得R=4，∴OE=4﹣2=2，∴DE=OE=2，∴CD=2DE=4．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．难度：中4．（2014•广西来宾，第18题3分）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 40度．考点：圆周角定理．分析：由∠C=50°求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求得答案．解答：解：∵∠C=50°，∴∠AOB=2∠C=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==40°．故答案为：40．点评：此题考查了圆周角定理，用到的知识点是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，注意数形结合思想的应用．难度：易5．（2014•黔南州，第19题5分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．考点：勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．解答：解：连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵点C（0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．故答案为．点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．难度：易。
《圆内接正多边形》word教案 (公开课)2022年北师大版 (1)
圆内接正多边形一、教学目标〔1〕掌握正多边形和圆的关系；〔2〕理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念； 〔3〕能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； 〔4〕会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 二、教学重点和难点重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题 三、教学过程 〔一〕情境引入：多媒体出示正多边形和圆组合的美丽图案〔二〕学习新知：概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形． 如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫正n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. 这个圆叫做该正多边形的外接圆.n 等分〔3≥n 〕，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形. 4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 的定义.〔三〕学以致用：例1：如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.小结：例2：1、用尺规作一个圆的内接正六边形.2、用尺规作一个圆的内接正四边形.3、思考：作正多边形有哪些方法？〔四〕稳固提升：⑴各边相等的多边形是正多边形〔〕⑵各角相等的多边形是正多边形〔〕⑶正十边形绕其中心旋转36°和本身重合〔〕⑴正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是对称图形，又是对称图形。
⑵正十二边形的每一个外角为°每一个内角是°该图形绕其中心至少旋转°和本身重合⑶用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，那么这个圆形纸片的半径最小应为__ cm⑷正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．⑸正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．⑹假设正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．⑺正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．3.解答题如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．〔1〕求证：OP∥CB；〔2〕假设PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。
专题 圆内接正多边形-九年级数学下册教学课件(北师大版)
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连
接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
课堂小结
正多边形和
圆 的 关 系
正n边形各顶点等分其外
接圆.
中心
圆内接正
多边形
正多边形的
有 关 概 念
半径
边心距
中心角
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角
形，通过解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，
此正六边形中AB=4，则∠AOB=60° ．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵ OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴ OG=4×
故选：D．
= ．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于○O，半径为6，
北师大版九年级下册
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握正多边形与圆的相互关系，理解正多边形与圆的相关
概念；
2、理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长的概念
及其相互之间的关系；
3、学会运用正多边形与圆的关系解决与圆相关的几何问题，
注意正多边形与圆的相互联系；
落在阴影区域的概率为 _____．
【答案】
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角
形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的
面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
初中数学北师大版九年级下册《第三章 圆 8 圆内接正多边形》教材教案
3.8圆内接正多边形教案课题：3.8圆内接正多边形课型：新授课年级：九年级教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB BC CD DE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证：A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n︒，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．A【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的边长为4．在Rt△OAM中，OA=4，AM=12AB=2利用勾股定理，可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A B ,3:2:1C ,1:2:3D3．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°4．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144°(1) (2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .7．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，如图2所示，若AC=6，则AD 的长为________．8．如图所示，已知⊙O 的周长等于6 cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M ，N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDE …的边 AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连结OM ，ON ， ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数 ⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .⑴ ⑵ ⑶ ⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：。
北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形教学设计
推荐阅读《圆内接正多边形的美与应用》，了解圆内接正多边形在其他领域的应用，如艺术、建筑等。
作业要求：
1.认真完成作业，字迹清楚，步骤齐全。
2.对于难题和思考题，可以与同学讨论，但需独立完成作业。
3.家长签字，加强对学生学习情况的关注和指导。
作业批改与反馈：
1.教师将认真批改学生的作业，并及时给予反馈。
3.教学评价：
（1）注重过程性评价，关注学生在探究、讨论、练习等环节的表现，鼓励学生积极参与，勇于表达。
（2）实施多元评价，结合课堂提问、课后作业、小组合作等方面，全面评估学生的学习效果。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松、和谐的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
4.教学拓展：
（1）引导学生运用所学知识，解决生活中的实际问题，如设计园林景观、优化交通布局等。
（2）鼓励学生进行课外阅读，了解圆内接正多边形在其他领域的应用，如艺术、建筑等。
（3）组织学生参加数学竞赛、科普活动等，提高学生的数学素养和创新能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：展示一幅美丽的园林景观图片，引导学生观察图片中的圆形花坛和正多边形小路。提问：“你们在生活中还见过哪些圆形和正多边形的组合？它们有什么特点？”通过这个问题，让学生感知圆内接正多边形的美和实用价值。
1.重点：圆内接正多边形的定义和性质，圆心角公式，以及运用这些知识解决实际问题。
2.难点：
（1）理解圆内接正多边形的边数与圆心角的关系，并能灵活运用圆心角公式。
（2）将理论知识应用于解决具体问题，特别是涉及圆内接正多边形面积和周长的计算。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学法，引导学生通过观察、操作、探索、交流等活动，主动构建知识体系。
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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
圆内接正多边形.8圆内接正多边形
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风
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、吁嗟ຫໍສະໝຸດ 身后名，
于
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若
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烟
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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