第四章复合材料结构分析

τ yz = τ 0 其余应力分量 σ x = σ y = σ z = τ xy = σ xz = 0
分析在此载荷作用下复合材料板的变形。引用广义虎克定律可得 应变：
εx =
∂u ∂v ∂w = S14τ 0 ε y = = S24τ 0 ε z = = S34τ 0 ∂x ∂y ∂z ∂v ∂w ∂u ∂w ∂u ∂v γ yz = + = S44τ 0 γ xz = + = S45τ 0 γ xy = + = S46τ 0 ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x
（4－13）
注意到位移乃是坐标 x、y、z的函数，积分 方程组（4－13）的前 三式有
u ( x, y, z ) = S 13σ 0 x +
23 0
f v ( x, y , z ) = S σ y + f w( x, y, z ) = S σ z + f
33 0
1
( y, z ) ( x, z ) ( x, y )
′ ′ 若使上式对任意 x、 y、 z恒成立，必有 F 1 ( y ) − F 2 ( z ) x = 0, ′ ′ 即 F 1 ( y )＝ F 2 ( z )＝ A 和 即
G G
′
1
′ ( y) + H 2 ( z) =
S σ
34 2
0
′
1
( y )＝ S
34σ 0－ H
σ x C11 σ y C 21 σ z C 31 = τ yz C 41 τ zx C 51 τ xy C 61 C12 C13 C14 C15 C16 ε x C 22 C 23 C 24 C25 C 26 ε y C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 ε z γ yz C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 γ zx γ C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 xy
这组方程称为平衡方程。
C 应力－应变关系
ε x S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 σ x ε y S 21 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 σ y ε z S 31 S 32 S 33 S 34 S 35 S 36 σ z = γ yz S 41 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 τ yz γ zx S 51 S 52 S 53 S 54 S 55 S 56 τ zx γ xy S 61 S 62 S 63 S 64 S 65 S 66 τ xy
4.1.3 复合材料受拉直杆分析
图4－3 一端固定一端受拉的复合材料杆
σ σ
Z
= =
x
σ
P A
y
=
σ
0
= τ
xy
= τ
xz
= τ
yz
=
0
当构件的材料主轴与坐标轴不重合时，由广义虎克定律可得应变 分量：
εx =S13σ0 εy =S23σ0 εz =S33σ0 γyz =S34σ0 γxz =S35σ0 γxy =S36σ0
∂
x x
CBFG面
σ
1 dx + 2
2
x
2
2
2
xy
xy
xy 2
2
2
xz
xz
xz 2
2
σ+
x
τ τ
yz
+ +
∂x ∂τ yz ∂y ∂τ zx ∂z
∂σ x
dx, dy, dz,
τ
xy
+ + +
∂τ xy
σ τ
∂x ∂σ y ∂τ zy ∂z ∂y
dx, dy, dz,
τ τ
xz
+ +
∂τ xz
∂x ∂τ yz ∂y
2
3
ω 、 、 代替，将式（4－16）代回式（4－14），并整理得 ω ω
1 2 3
令 u 0 = α 1 , v0 = α 2 + α 5 , w0 = α 3 + α 4 , 并将B、C、D分别用
u ( x, y, z ) = ( S 13x + S 36 y + S 35z )σ 0 − ω 2 z + ω 3 y + u 0 v( x, y, z ) = ( S 23y + S 34z )σ 0 − ω 3 x − ω1 z + v0 w( x, y, z ) = S 33σ 0 z + ω1 y + ω 2 x + w0
f f f
3
( x, y )
∂y
3
= S 34σ 0 = S 35σ 0 = S 16σ 0
(a)
( y, z ) ( y, z )
( x, y ) ( x, z )
∂z
1
∂x
2
(b) (c)
∂y
∂x
分析方程 组 中的 式 (b) 可知，由于 无 关关，故推 ∂ ∂x ∂ ∂x
35
∂ S 35 σ 0 和 ∂ z f 1 (y, z) 均 与 变量 x
4 复合材料结构分析
4.1 复合材料结构分析的基本问题
复合材料力学（强度与刚度） 复合材料结构力学（边界条件、应力与应变的分布规律） 复合材料结构分析及假设（小变形、弹性变形范围内，采用弹 性力学的基本方法）
4.1.1 各向异性体弹性力学基本方程
A.弹性体受力变形的位移与应变关系 ∂v ∂w ∂u = = ε y ∂y ε z = ∂z x ∂x
f
3
(x, y) 也 应与 x 无 关 ，且 仅且 y 的函数， − 0 ∂ ∂x
f
3
( x, y ) =
S σ
f
1
( y, z) =
1
F
1
( y)
3
将上式积分，得
f f
3
1
F ( y)x + G ( y) + α ( y, z) = − F ( y) z + S σ z + G
( x, y ) =
ε
γ
∂w ∂v = + yz ∂y ∂z
γ
∂w ∂u = + zx ∂x ∂z
γ
∂u ∂v = + xy ∂y ∂x
由式（4－1）中消去位移u,v,w后可得
∂ γ
2
xy
∂x∂y
=
∂ ε ∂ y
2 2
x 2
∂ ε + ∂x
2
y 2
∂ ∂ γ yz ∂ γ zx ∂ γ xy − + 2∂ ε x = + ∂y∂z ∂x ∂x ∂y ∂z
u ( x, y, z ) = S 14τ 0 x +
(4-12)
为求解单向杆受拉的变形问题，根据几何关系式（4－1）并将式 （4－12）代入，有
∂u ∂v ∂w = S13σ 0 = S23σ 0 = S33σ 0 ∂x ∂y ∂z ∂v ∂w ∂u ∂w ∂u ∂v + = S34σ 0 + = S35σ 0 + = S36σ 0 ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x
式中u0 、 0 、 0 为杆的初始位移，而 1、 2 、 3 乃表示杆绕 v w ω ω ω 坐标轴的转角。
利用复合材料受拉杆的边界条件，若在原点x,y,z=0处的 初始位移和转角均为零，即当x＝y＝z=0时，
u=v=w=0 ∂u ∂v ∂v ∂u = = − =0 ∂z ∂z ∂x ∂y
代入式（4－17）中可得公式中的各常数
由于这六个方程是直接由位移－应变关系导出的，因此它们 不是独立的，这种方程称为连续性方程，也叫变形协调条件。
B 平衡方程 体积力（体力：分布在物体体积内的力） 表面力（面力：分布在物体表面上的力）
图4－2 单元体的应力分量
∂ σ d σ + ∂x x +L ∂ x ∂τ 1 ∂ τ + dx + d x + L τ ∂x 2 ∂ x ∂τ 1 ∂ τ + dx + d x + L τ ∂x 2 ∂ x 以此类推，ABEF面和DEFG面上的应力均为对应的平行面上 的应力加上一个增量。略去高阶项，单元体各面上的应力分量分 别为
u =v =w
0 0
0
=0
1 ω1 = S 34σ 0 , ω 2 = S 35σ 0 , ω 3 = − 2 S 36σ 0
最后得到各位移分量的公式：
u ( x, y, z ) = ( S 13x + 1 S 36y)σ 0 2 1 v( x, y, z ) = ( S 23y + S 36x)σ 0 2 w( x, y, z ) = ( S 35 x + S 34 y + S 33z )σ 0
所以有
∂σ
x
∂x
+
∂τ
xy
∂y
+
∂τ
xz
∂z
+
f f f
z
= 0
同理， ∑ Y = 0 和 ∑ Z = 0，分别得 ∂τ
xy
∂x
zx
+ +
∂σ
y
∂τ
∂x
∂τ
∂y
yz
+ +
∂τ
yz
∂z
z
+ +
y
= 0 = 0
∂y
∂σ
∂z
z
如果在讨论的问题中可忽略体积力，则上式可简化成
∂σ x ∂τ xy ∂x ∂τ zx ∂x ∂x + + + ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz ∂y ∂y ∂y + + + ∂τ xz ∂τ yz ∂z ∂σ z ∂z ∂z =0 =0 =0
2
= ∂ ε ∂x∂z ∂z ∂ γ =∂ ε ∂y∂z ∂z
2 xz 2 2 yz
∂ γ
x
2
y 2
+ ∂ ε ∂x + ∂ ε ∂ y
2 2
z
2
∂ε 2
2 2
∂ ∂ γ yz ∂ γ zx ∂ γ xy = − + ∂x∂z ∂y ∂x ∂y ∂z
y
z 2
∂ ∂ γ yz ∂ γ zx ∂ γ xy 2∂ ε z = + − ∂x ∂x∂y ∂z ∂y ∂z
1 1 35 0
2
( y) + α 1
同理，由式（C）得 将上式结果代入(a)中，得
f f
2
1
− F (z)x + H (z) +α ( y, z) = F ( z) y + S σ y + H
( x, z ) =
2 2 2 36 0
2
(z) + α 1 1
'
F
′Leabharlann Baidu
1
′ ′ ′ ( y ) x + G1 ( y ) − F 2 ( z ) x + H 2 ( z ) = S34 σ 0
由此可见，如前图4－3的复合材料受拉杆，当材料主轴 与载荷作用方向（z轴）不重合时，构件的变形是比较复 杂的，它不仅轴向伸长而且还伴随有剪切变形。
4.1.4 纯剪和纯弯载荷作用下的复合材料构件分析 A.受纯剪载荷的复合材料板
图4－4 纯剪载荷作用下的 复合材料板
上图是受纯剪载荷的复合材料板，纯剪应力
G H
f f f
2 1
( y) =
S σ (z) = S σ
0 0
将由式（j）至（o）表达的各函数代入式（d）、（e）、（f）中， 得
1
( y, z ) = −Cz + S 35σ 0 z + S 36σ 0 y + Dy + α 1 ( x, y ) = Cx + By − α 4 + α 3 ( x, z ) = − Dz + S 34σ 0 z − Bz + α 5 + α 2 (4 - 16)
1
′
( z )＝ B
积分后可直接得到，
F ( y) = Ay + C G ( y) = By + α
1
4
F ( z ) = Az + D H ( z) = S α
2 2 34
0
z − Bz + α 5
根据恒等式的同类项相等，则知系数
A = 0,
α
36 35
1
= α1′
y + Dy z + Cz
于是
(4 - 5)
(4 - 6)
4.1.2 弹性力学问题的一般解法 分析弹性体在受力后的状态，要求解的是： 6个应力分量、6个应变分量、三个位移分量（u, v, w) 15 个未知数，为此需要15个方程联立求解。 在处理问题的过程中，一般有三种方法： 1.位移法 2.混合法 3.力法 对于具体问题，采用何种方法，与问题所给的边界条件 关系很大。因此，在解弹性力学问题时，根据求解方法和 边界条件不同，可归纳为三类基本问题。
2
（4－14）
3
显然，如果能设法确定出上式中的待定函数 便可得到位移，进而可解出复合材 料杆各点的应变。为此，首先将式 （4－14）代入式（4－13） 的后三式中，得
∂ ∂ ∂
f
2
1
( y, z )、 ( x, z )、 ( x, y ) f f
2 3
f f f
( x, z )
∂z
1
+ + +
∂ ∂ ∂
dx dy
y
yz
zx
zy
σ+
z
∂σ z ∂z
dz
单元体处于平衡状态， 在 x 方向上 ∑ X = 0, 即
f
x
dxdydz + (σ x +
∂σ
x
∂x
dx − σ x ) dydz + (τ + (τ + xz ∂τ ∂z
+ xy
∂τ
xy
∂y
dy − τ xy ) dxdz
xz
dz − τ xz ) dxdy = 0