数值分析第三章 解线性方程组的直接方法..

选主元消去法
例：单精度解方程组 /* 精确解为 x1
1 1 109
109 x1 x1 x2 x2 1 2
8个 8个 1.00...0100... 和 x 2 2 x1 0.99 ... 9899 ... */
用Gaussian Elimination计算：
| a i k , k | max | a ik | 0
k in
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
9 10 例： 1
1 1
1 2


1 109
1 2 1 1
x1 1
1 1 2 0 1 1
(k ) (k ) (k ) m a / a a 0 Step k：设 kk ，计算因子 ik ik kk (i k 1, ..., n)
( k 1 ) (k ) (k ) a ij a ij m ik a kj 且计算 ( k 1) (k ) (k ) b b m b i ik k i ( i , j k 1, ..., n )

x2 1,
x1 0
全主元消去法 /* Complete Pivoting */
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 Step k: ① 选取 | ai
k
| mik | 1 。
jk
| max | aij | 0 ;
k i , jn
② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后 再换回来。 列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */ 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
1步 共进行 n ？
(1) (1) ) (1) a11 x a12 ... a1(1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) a22 ... a2 n x2 b2 . . . . . ... . . . . ( n) ( n) ann xn bn
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
( n) ( n) xn bn / ann
bi( i ) xi
a
j i 1 (i ) ii
(i ) a ij x j
n
( i n 1, ..., 1)
Then must find the Whatwe if we can’t (n i) smallest integer k i with ( ) 0 定理 若A的所有顺序主子式 a /* determinant of leading What if ? find such k ? ii No No unique unique a 0 What if ? (i ) nn , and interchange a ki 0 exists. solution solution exists. principal submatrices */ k 均不为 ，则高斯消元无需换行即可 the -th row0 with the i-th row.
进行到底，得到唯一解。
1 存在，则可通过逐 注：事实上，只要 A 非奇异，即 A de t(Ai ) ... ... ... 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 a i 1 ... a ii 唯一解。
a11
... a1i
定理（矩阵的 LU 分解） 设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Di 0( i 1, 2, , n 1)， 则A可分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U 的乘积， 且这种分解是唯一的.
x2 1 ,

注：列主元法没有全主元法稳定。
9 1 10 例： 1 1
10Βιβλιοθήκη Baidu9 2

1 109 9 0 10
109 x2 1 , x1 0 9 10
标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */
将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 mi1 第1 行，得到 其中 ( 2 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) (1)
a11 a12 ... a1n
A
( 2)
(2) b
b1
(1) a ij a ij m i 1a1 j (2) (1) (1) b b m b i i1 1 i ( i , j 2, ..., n )
Ch5 解线性方程组的直接方法
求解 A x b
高斯消元法：
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
(1) b1 (1) (1) (1) . 记 A A (aij )nn , b b . . 消元 (1) bn (1) (1) ( 1) m a / a (i 2, ..., n) a 0 i 1 i 1 11 Step 1：设 11 ，计算因子
a 22 1 m 21 1 0.0 ... 01 10 9 10 9 10 9
m21 a21 / a11 109 8个
b2 2 m21 1 109
10 9 0 1 10 9 1 10 9
小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计 算失败。