解一元二次方程根的程序
一元二次方程求根公式推导过程是什么
一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c （一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0；2、移项得x^2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2；3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2－c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a；4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。
一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。
第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。
第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。
第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。
方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）^1/2]/2a，将标准形式中的a、b、c代入即可。
第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。
第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。
一元二次方程求根公式c++
一元二次方程求根公式c++一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)该公式中的±表示两个解，即方程可能有两个不同的实数根，重根（重复根）或无实数根。
计算这两个根的公式中包括平方根，需要注意判别式b^2 - 4ac是否大于等于0。
如果判别式大于等于0，则该方程有两个不同的实数根，若等于0，则有两个重根，否则没有实数根。
以下是一个使用C++编写的一元二次方程求根函数的示例：```cpp#include <iostream>#include <cmath>void solveQuadraticEquation(double a, double b, double c) {double discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant >= 0) {double root1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a);double root2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a);std::cout << "Two roots: " << root1 << " and " << root2 << std::endl;} else {std::cout << "No real roots." << std::endl;}}int main() {double a, b, c;std::cout << "Enter the coefficients of the quadratic equation (ax^2 + bx + c = 0):" << std::endl;std::cout << "a: ";std::cin >> a;std::cout << "b: ";std::cin >> b;std::cout << "c: ";std::cin >> c;solveQuadraticEquation(a, b, c);return 0;}```使用该程序，用户可以输入一元二次方程的系数，然后程序会计算并输出方程的根。
解一元二次方程程序
解一元二次方程程序全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：解一元二次方程是数学中的基本问题之一，也是常见的应用问题中必不可少的一部分。
一元二次方程通常具有如下形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一个一元二次方程，意味着找到一个或两个实数或复数解来满足方程的等式。
解一元二次方程的方法有很多种，其中包括因式分解法、配方法、求根公式等。
在这篇文章中，我们将介绍一种使用程序来解一元二次方程的方法。
这种方法可以帮助我们更快速地找到方程的解，并且可以直观地展示解的过程，方便理解。
下面我们将具体介绍如何使用程序来解一元二次方程。
我们需要定义一个函数来解一元二次方程。
这个函数将接受三个参数a、b、c，分别代表方程中的系数，然后返回方程的解。
代码如下：```pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):delta = math.pow(b, 2) - 4 * a * cif delta < 0:return "No real roots"elif delta == 0:x = -b / (2 * a)return xelse:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)return x1, x2```在这个函数中，首先计算方程的判别式delta，然后根据判别式的值来判断方程的解的情况。
若delta小于0，则没有实数解；若delta 等于0，则有一个实数解；若delta大于0，则有两个实数解。
接下来，我们可以调用这个函数来解一元二次方程。
对于方程2x^2 - 3x + 1 = 0，我们可以这样调用：```pythonsolution = solve_quadratic_equation(2, -3, 1)print(solution)```程序会返回方程的解，对于这个方程，程序将返回一个实数解。
一元二次方程
ax²+c=0（a、c是实数，a≠0）;ax²=0（a是实数，a≠0）.注：a≠0这个条件十分重要.配方式两根式求解方法直接开平方法形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±。
如果方程能化成(nx+m)²=p的形式，那么，进而得出方程的根。
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
[3]配方法步骤将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例例一：用配方法解方程3x²－4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：∴ , .∴原方程的解为 , .求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
解一元二次方程ax2+bx+c=0的解c语言
一元二次方程的解在数学中是一个基础的概念，对于学习编程的同学来说，也是一个重要的知识点。
在C语言中，解一元二次方程可以通过数学公式来实现。
本文将介绍一元二次方程的基本知识以及在C语言中如何实现解一元二次方程的算法。
一、一元二次方程的基本知识1. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c分别为方程的系数。
其中a不等于0，否则方程不再是二次方程。
2. 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式为x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)，其中sqrt 表示平方根。
二、C语言中解一元二次方程的算法在C语言中，解一元二次方程的算法可以分为几个步骤：1. 输入方程的系数a、b、c2. 计算判别式delta=b^2-4ac3. 判断判别式的值，并根据不同情况计算方程的解4. 输出方程的解下面我们将按照以上步骤，使用C语言实现解一元二次方程的算法。
```c#include <stdio.h>#include <math.h>int m本人n() {// 输入方程的系数float a, b, c;printf("请输入一元二次方程的系数a、b、c：");scanf("f f f", a, b, c);// 计算判别式deltafloat delta = b * b - 4 * a * c;// 判断判别式的值，并计算方程的解if (delta > 0) {float x1 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);float x2 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);printf("方程的两个实数根为：x1=f, x2=f\n", x1, x2); } else if (delta == 0) {float x = -b / (2 * a);printf("方程有重根，重根为：f\n", x);} else {printf("方程无实数根\n");}return 0;}```以上就是在C语言中解一元二次方程的算法实现，通过上述代码可以很容易地输入一元二次方程的系数，然后计算出方程的实数根。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
c++一元二次方程求根公式
c++一元二次方程求根公式【原创版】目录一、C++一元二次方程的定义二、C++一元二次方程求根公式的概述三、C++一元二次方程求根公式的实现四、C++一元二次方程求根公式的示例五、C++一元二次方程求根公式的优缺点正文一、C++一元二次方程的定义在 C++编程语言中，一元二次方程指的是形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知常数，且 a≠0。
一元二次方程的解为 x=(-b±√(b-4ac))/2a，即求解该方程的根。
二、C++一元二次方程求根公式的概述C++一元二次方程求根公式是指用 C++编写的求解一元二次方程根的程序。
它主要包括以下步骤：1.输入已知常数 a、b、c；2.计算判别式Δ=b-4ac；3.判断Δ的值，确定方程的根的数量；4.计算方程的根 x=(-b±√Δ)/2a；5.输出方程的根。
三、C++一元二次方程求根公式的实现以下是一个 C++一元二次方程求根公式的简单实现：```cpp#include <iostream>#include <cmath>double quadratic_formula(double a, double b, double c) {double discriminant = b * b - 4 * a * c;double root1 = (-b + std::sqrt(discriminant)) / (2 * a);double root2 = (-b - std::sqrt(discriminant)) / (2 * a);return root1;}int main() {double a, b, c;std::cout << "请输入一元二次方程的系数 a、b、c: ";std::cin >> a >> b >> c;double root = quadratic_formula(a, b, c);std::cout << "方程的根为：" << root << std::endl;return 0;}```四、C++一元二次方程求根公式的示例假设我们要求解方程 3x-2x-1=0 的根，可以运行上述程序，输入 a=3，b=-2，c=-1，程序将输出方程的根。
求一元二次方程的根
一元二次方程求根公式法步骤
一元二次方程求根公式法步骤
一元二次方程的求根公式法是一种常用的求解一元二次方程的方法。
步骤如下：
确定方程的系数：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
计算判别式Δ：判别式Δ = b^2 - 4ac。
判断方程的根的情况：
当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，分别为 x1 = (-b + sqrt(Δ)) / (2a)，x2 = (-b - sqrt(Δ)) / (2a)。
当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，即重根，此时 x1 = x2 = -b / (2a)。
当Δ < 0 时，方程没有实根，此时方程的根为复数。
计算根的值：根据判别式Δ的值，代入相应的公式计算出方程的根。
注意：在使用求根公式法时，需要注意判别式Δ的符号，以确定方程的根的情况。
同时，还要注意 a 的符号，以确保分母不为零。
解一元二次方程程序
解一元二次方程程序全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：解一元二次方程是初中和高中数学中的一个重要内容，也是实际生活和工程问题中常常会遇到的数学问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的过程通常包括求判别式，计算根的公式等步骤。
在数学中，我们采用解一元二次方程的程序来简化和方便我们的计算与操作。
解一元二次方程程序可以分为两种，一种是手工计算，另一种是利用计算机编程来实现。
手工计算一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求判别式等。
而利用计算机编程来解一元二次方程则是更为高效和精确的方法，可以实现大规模问题的求解。
下面我们具体介绍一下解一元二次方程程序的原理和实现过程。
我们来介绍一下手工计算一元二次方程的方法。
在解一元二次方程时，我们首先可以先求出判别式Δ = b^2 - 4ac，然后根据Δ的大小来判断方程有几个根，并通过公式x = (-b ± √Δ) / 2a 来求解方程的根。
在实际计算中，我们可以根据具体的问题选择不同的方法来进行计算，这需要我们具备一定的数学基础和技巧。
我们来介绍一下利用计算机编程来解一元二次方程的方法。
在编程中，我们可以编写一个函数来实现一元二次方程的求解过程。
通常我们可以通过输入系数a、b、c的值，然后函数中先计算判别式Δ的值，再根据Δ的大小来判断方程的根的个数，并进一步求解方程的根。
利用计算机编程来解一元二次方程可以实现自动化计算，减少人为的错误和繁琐的计算过程，提高计算的效率和精确度。
在实际应用中，解一元二次方程程序可以应用于很多领域，比如物理、工程、经济等。
例如在物理学中，我们可以利用一元二次方程来描述抛物线运动的轨迹；在工程领域中，我们可以通过解一元二次方程来求解二次函数的最值问题；在经济学中，我们可以利用一元二次方程来建立价格、销量之间的函数关系等。
掌握解一元二次方程程序对我们解决实际问题和提高数学素养都具有重要的意义。
python一元二次方程求解程序
python一元二次方程求解程序Python是一门高级编程语言，它在数据处理、科学计算、机器学习、人工智能等领域发挥着重要作用。
在数学计算领域中，Python也有着出色的表现。
在本文中，将介绍如何用Python编写一元二次方程求解程序，并探讨程序的实现细节和优化等方面。
一、问题描述一元二次方程是一种形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是已知常数，x是待求的变量。
一元二次方程的求解通常分为三个步骤：先使用公式计算出方程的根，然后判断根的个数，最后输出结果。
二、程序设计为了方便读者理解，下面的程序代码将分为三个部分进行介绍。
1、输入a、b、c的值在程序中，用户需要依次输入a、b、c的值。
代码如下：a = float(input('请输入a的值：'))b =float(input('请输入b的值：')) c = float(input('请输入c的值：'))其中，input()函数用于接收用户输入，float()函数将输入的字符串转换为浮点数数据类型。
2、计算方程的根一元二次方程有两个根，根据求根公式可以得到：x1 = (-b + sqrt(b ** 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)x2 = (-b - sqrt(b ** 2 - 4 * a * c)) / (2 * a) sqrt()函数用于计算平方根，**表示幂运算。
需要注意的是，在计算根时需要判断方程的解是否存在，即判别式(b ** 2 - 4 * a * c)的值是否大于0。
如果判别式小于0，则方程无实数根。
代码如下：delta = b ** 2 - 4 * a * c if delta < 0:print('方程无实数根') else: x1 = (-b +sqrt(delta)) / (2 * a) x2 = (-b - sqrt(delta))/ (2 * a)3、输出结果最后，根据根的个数，输出方程的解。
C语言程序设计100例之（2）：一元二次方程
C语⾔程序设计100例之（2）：⼀元⼆次⽅程例2 ⼀元⼆次⽅程【题⽬描述】输⼊系数a、b和c，求⽅程ax2+bx+c＝0的根。
【输⼊格式】输⼊数据有多组。
每组数据包括三个系数a,b,c。
当a=0时，输⼊数据结束。
【输出格式】输出⽅程的根，格式参见输出样例，保留到⼩数点后2位。
【输⼊样例】1 2 11.0 -4.0 3.01.52.0 1.50 0 0【输出样例】x1=x2=-1.00x1=3.00,x2=1.00x1=-0.67+0.75i,x2=-0.67-0.75i（1）编程思路。
根据输⼊的系数a，可以分为a不等于0和a等于0两种情况。
当a==0时，结束输⼊计算。
程序可以写成if的嵌套结构。
（2）源程序。
#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){double a,b,c,dlt,real,imag,x1,x2;while (1){scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);if (a==0) break;dlt=b*b-4*a*c;if (dlt>0){x1=(-b+sqrt(dlt))/(2*a);x2=(-b-sqrt(dlt))/(2*a);printf("x1=%.2f,x2=%.2f\n",x1,x2);}else if (dlt==0){x1=x2=(-b)/(2*a);printf("x1=x2=%.2f\n",x1);}else{real=(-b)/(2*a);imag=sqrt(-dlt)/(2*a);printf("x1=%.2f+%.2fi,x2=%.2f-%.2fi\n",real,imag,real,imag);}}return 0;}习题22-1 三⾓形⾯积【题⽬描述】任意输⼊三条边（a，b，c实型），若能构成三⾓形，则计算并输出其⾯积，否则输出标志“No Triangle！”。
c语言求一元二次方方程的所有根(实根和复根)
c语言求一元二次方方程的所有根(实根和复根)文章标题：深度剖析：C 语言求解一元二次方程的所有根一、引言在实际的编程开发中，求解一元二次方程是一个常见的需求。
无论是对于数学和物理计算的模拟，还是在工程技术的应用中，我们都需要一个高效、精确地求解一元二次方程的方法。
在本文中，我们将重点探讨如何利用C 语言来求解一元二次方程的全部根，包括实根和复根。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c 分别为方程的系数，x 表示未知数。
在实际编程中，我们需要根据给定的系数来求解方程的根。
三、求解实根1. 判断判别式我们需要计算一元二次方程的判别式Δ，判别式可以根据系数 a、b、c 计算得出：Δ = b^2 - 4ac2. 根据判别式的不同情况进行分类讨论- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，可以通过以下公式求解： x1 = (-b + √(Δ)) / (2a)x2 = (-b - √(Δ)) / (2a)- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，可以通过以下公式求解： x = -b / (2a)- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但是可以求得一对共轭复根，可以通过以下公式求解：实部 Re = -b / (2a)虚部Im = √(|Δ|) / (2a)四、求解复根1. 使用复数的数据类型在 C 语言中，我们可以使用复数的数据类型来表示和求解复根。
C 语言中复数的表示形式为“_Imaginary”。
2. 求解共轭复根当一元二次方程的判别式Δ < 0 时，我们需要求解一对共轭复根。
可以使用以下公式来求解：z1 = Re + Im * Iz2 = Re - Im * I五、总结与回顾通过对 C 语言求解一元二次方程实根和复根的分析，我们可以得出以下结论：- 利用 C 语言的数学库函数和复数数据类型，可以精确、高效地求解一元二次方程的全部根；- 对于不同情况下的判别式，我们可以灵活地应用不同的求根公式，得到实根或者共轭复根；- 在实际的编程开发中，我们需要考虑对参数的检验和异常处理，以保证程序的稳定性和准确性。
一元二次方程的解法(三)公式法(课件)数学九年级上册(人教版)
8
8
4
8
2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
8
2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
一元二次方程的解法规律总结
一元二次方程的解法规律总结1．一元二次方程的解法1直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如a x 2=a ≥0,b )a x (2=-b ≥0类的一元二次方程．a x 2=,则a x ±=；b )a x (2=-,b a x ±=-,b a x +=．对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式,也可以用此法解．2因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0,使方程xx －3＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx －3＝0有两个根,而不是一个根． 3配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时,可把方程化为7x 6x 2-=+,22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,即2)3x (2=+,从而得解． 注意：1“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．2解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点．3公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++a ≠0的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下,a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式,即0c bx ax 2=++a ≠0的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值要注意它们的符号；③计算0ac 4b 2<-时,方程没有实数根,就不必解了因负数开平方无意义；④将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况,由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用1不解方程判定方程根的情况；2根据参数系数的性质确定根的范围；3解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++a ≠0的两个根是21x x ，,那么a c x x ab x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时,c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：1已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；2已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；3已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；4已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用1面积问题；2数字问题；3平均增长率问题．步骤：①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系包括隐含的；②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系,并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。
1.2一元二次方程解法(根的判别式1)
活动三、拓展提升：
2. 求证：方程 x2 2(k 1)x 2(k 1) 0
有两个不相等的实数根.
活动三、拓展提升：
3. 若关于 的一元二次方程x2＋4x＋2k = 0 有两个实数根，求 k的取值范围及 k的非 负整数值.
活动二、探索发现： 问题：你能得出什么结论？ 2．概括总结． 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定： 当b2－4ac > 0时，有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，有两个相等的实数根； 当b2－4ac < 0时，没有实数根.
我们把b2－4ac叫做一元二次方程
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系 数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据 这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
活动二、探索发现： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
（1） x2＋2x－8 = 0 （2） x2 = 4x－4 （3） x2－3x = －3
初中数学 八年级（上册）
1.2一元二次方程解法 （根的判别式1）
活动一、情境创设：
1.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程的一般 步骤是什么？
2.用公式法解下列方程：
（1） x2＋x－1 = 0 （2） x2－2x＋3 = 0 （3） 2x2－2x＋1 = 0
活动二、探索发现：
ax2＋bx＋测：
不解方程，判别下列方程的根的情况． (1) x2＋3x－1 = 0 (2) x2－6x＋5 = 0
(3) 2y2－3y＋4 = 0 (4)x2 5 2 5x
活动三、拓展提升：
1. 当 k为何值时，关于 的一元二次方程 x2－2x＋k =0 ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实根； ③没有实数根．
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解一元二次方程根的程序
——教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1、会写出两种判断语句的格式
2、可以编写一元二次方程根的程序
（二）过程与方法
通过利用程序编写一元二次方程根的程序，培养学生的观察能力、思维判断能力以及自主学习的能力。
（三）情感态度价值观
通过具体的实例，让学生自我展示，自我激励，体验成功在不断尝试中激发求知欲；在不断摸索中陶冶情操。
二、重点、难点
编写求一元二次方程根的程序
三、教学与学法
（一）教学
1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历编程的过程，从中体验成功的乐趣。
2、采用任务驱动的方法，引导学生自主发现问题解决问题。
3、分组讨论交流，多渠道获得信息。
（二）学法指导
1、引导学生先观察后实践操作，从中发现自己的问题并且改正问题
2、指导学生掌握编程的方法及解决办法
3、指导学生熟练掌握算法的表述及将算法转化为程序。
四、教学过程
（一）回顾
教师展示先前准备好的“我的计算器”程序界面，和“计算商品金额”的操作界面，并且运行程序。
引导学生发现问题。
发现该两个程序只是显示操作界面，无法运行即不能解决实际问题。
讨论：如何改正以上问题？
（二）探索
（1）自学算法和流程图，为“计算商品金额”设计算法并且用国际上通用的绘制流程图的符号绘制此程序的流程图。
学生：展示算法流程图（结合课本提示内容）并讲解说明算
法流程图中程序是如何运行的？
（2）学生自学条件语句以及两种If语句的基本格式。
第1种If语句用来实现单向选择，它的格式为：
If 条件表达式（或逻辑表达式）Then
语句序列（一条或多条语句）
End If
任务一：请你设计一个算法计算顾客购买商品后实际应支付多少钱？具体规定：如果顾客购买某一种商品金额超过20元，
超过部分可以享受九五折优惠。
提示：1、设计顾客购买商品的算法。
2、用流程图表示算法。
3、编写程序代码。
第2种If语句用来实现双向选择，它的格式为：
If 条件表达式（或逻辑表达式）Then
语句序列1
Else
语句序列2
End If
任务二：求一元二次方程x2+px+q=0的根，画算法流程图，编写程序的代码。
（三）演示讲解
微课
（四）展示
五、课堂练习
1、当X的值分别为6和2时，运行下述程序后，y的值分别为多少？
If Sqr（x）>2 Then
y=x+1
Else
y=3*x
End If
2、“检验口令”程序中的口令为Welcome，运行程序时，当单击“检验”后，在Label2标签中显示信息，说明用户输入的口令是否正确。
在下述程序中的下划线处填入适当的代码，使之能完成上述功能。
Private Sub Command1_Click()
Dim a As S ing，a=Text1.Text
If =“Welcome”Then
Label2.Caption=“你输入的口令正确”
Label2.Caption=“你输入的口令不正确”
End
End Sub 六、课堂小结。