轴对称与最短路径问题
人教版八年级数学上册第13章 轴对称4 课题学习 最短路径问题
yA
的周长最小时点 C 的坐标是（ A ）
C′
A．(0，3)
B．(0，2)
C
C．(0，1)
D．(0，0)
B′
解析：作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，O E B x
交 y 轴于点 C′，此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A
与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，再证明△B′OC′ 为
找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，
找出此点，并说明理由； D
C
A
P
B
C' 图①
（2）如图②，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、
OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的
三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由；
P'
A
E P
OF
B
P'' 图②
（3）如图③，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、 OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的 四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
A
2. 把 B 平移到岸边；
M
3. 把桥平移到和 A 相连； 4. 把桥平移到和 B 相连.
N B
1. 把 A 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
A
A'
M
N B' B
2. 把 B 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
3. 把桥平移到和 A 相连.
A M
N B
4. 把桥平移到和 B 相连.
边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（ B ） A
《最短路径问题》轴对称
轴对称与最短路径问题
轴对称是指图形关于某一直线或平面对称的现 象。
在最短路径问题中，如果图是轴对称的，那么 两个顶点之间的最短路径必然是对称的。
例如，在有向图和无向图中，如果两个顶点之 间的所有边都具有相同的权重，那么这两个顶 点之间的最短路径就是对称的。
最短路径问题的数学模型
01
最短路径问题的数学模型通常包括一个有向图G=(V,E)和两个顶点s和t，表示要 找到从s到t的最短路径。
02
最短路径问题与轴对称
最短路径问题简介
1
最短路径问题是一种经典的图论问题，旨在寻找 图中两个顶点之间的最短路径。
2
最短路径问题在交通网络设计、通信网络优化、 生产计划制定等领域都有广泛应用。
3
最短路径问题通常可以使用动态规划、Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法等算法进行求解。
《最短路径问题》轴对称
2023-11-09
目 录
• 轴对称简介 • 最短路径问题与轴对称 • 轴对称算法实现 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
轴对称简介
轴对称定义
轴对称是指一个物体关于某一直线（称为对称轴）对称，也就是说，物体在这条 直线的两边呈现出镜像状态。
在图形中，如果一个图形关于某一直线对称，那么它的对称轴是从图形的一侧到 另一侧的最短距离。
02
在最短路径问题中，通常使用权重来表示每条边的长度或成本。权重可以是有 向的或无向的，可以是正值或负值。
03
最短路径问题的数学模型还包括一个求解算法，用于在图中找到从s到t的最短 路径。常用的求解算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
03
轴对称算法实现
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
轴对称与最短路径问题
ND E
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了 方便灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、 B两地，问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短 ，试在图中确定该点。
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D ，则点D为建抽水站的位置。
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：
A·
MC
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线 最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
如图所示，从A地到B地有三条路可供选
择，你会选走哪条路最近？你的理由是
什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一 点P，使得PA+PB最小。
轴对称—最短路径问题-完整版课件
人教版数学学科中考复习专题
轴对称—最短路径问题
情境引入
王二小在A处放牛，要把牛牵到河边喝水，喝完水后还要牵 回B处关在牛棚里面。河边任何地方都可以让牛喝水。王二小牵 牛在河边哪个位置喝水，再牵到B处走的总路程最短？
B A
合作探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当 点P 在l 的什么位置时，AP 与BP的和最小？
上的一动点，求BN+MN的最小值。
解:因为四边形ABCD为正方形，所以点B 与点D关于直线AC对称。
连结DM交直线AC于点N，即点N为所求作点
。 则BN+MN=DN+MN=DM,因为两点之间
A ，线段最短，所以BN+MN=DM为最小值。
B
M
N
N
D
C
即BN+MN的最小值为10.
变中思本
本节课你印象化最折深为的直是什么地方？
A MP
数学模型：两点在一条直线同侧
B
化折为直
┌
l
B/
小试牛刀
2
分析：
（1）求PB+PC的最小值
关键是找到点P位于直 线MN的什么位置.
（2）PB+PC=PA+PB=AB.
（4）PB+PC =AB =2.
M
P P A 30
N
化折为直
B
1
C
小试牛刀
2.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC
八年级上第08讲 最短路径问题 讲义+练习
轴对称：最短路径问题【知识导图】1.两点之间，线段最短。
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。
【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'一、导入考点1 二、知识讲解考点2 三 、例题精析例题1如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
轴对称_最短路径问题wj
问题(1)
如图，有一个小和尚住在A处，B处是一 所庙宇。小和尚每天要从住处A出发送东 西去Ｂ处，他该怎么走路程最短呢？
Ｂ
A
∴线段AB就是所走的最短路程。 理由：两点之间线段最短。
问题(2)
若在A与B之间有一条小河L，有一天，方丈 要求小和尚先从住处A出发到河边L取水，再 把水送到庙宇B，小和尚在何处取水，使走 的路程最短呢？
练习： 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站 ，分 别向A，B两镇供气。泵站应修在管道的什么 地方，可使所用的输气管线最短？
B
A L
问题(4)
方丈比较喜欢数学，现在他将A，B两个点放在平 面直角坐标系中，得A(1,1),B(5,3),且记小河为X轴 ，若方丈还是要求小和尚先去河边取水，再送到 Ｂ，为了使自己走的路程最短，小和尚该如何确 定取水点坐标？ Y
A P DBEFra bibliotekCA
P B
L
∴他沿A→P→B走是最短路程。
思路：将不同线的三点转化为同线的三点。
问题(3)
若在A与B同侧有一条小河L，方丈还是要求 小和尚先从住处A出发到河边取水，再送到 庙宇B，小和尚又该如何走，使走的路程最 B 短呢？
A
P A’
L
∴他沿A→P→B走是最短路程。
思路：利用轴对称变换将同侧问题转化 为两侧问题。
问题(6)
如图，A为马厩，B为帐篷，方丈要小和尚 从马厩A牵出马，先到草地某一处牧马，再 到河边饮马，然后牵马回到帐篷B，请你帮 他确定这一天所走的最短路线.
练习： 如图，已知∠MON内有两定点A、B， 分别在OM和ON上各点C、D，使 AC+CD+BD最小.
数学八年级-轴对称;最短路径问题
三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。
所以最短路径问题，需要考虑轴对称。
典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+【诊断自测】1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ）A ．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B． C．20 D．2答案：A解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。
与轴对称有关的最短路径问题及解析
与轴对称有关的最短路径问题及解析问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？解析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线。
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C 。
则点C 即为所求。
B A lB • · A l B· lA ·B C证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′。
由轴对称的性质知， BC =B ′C ，BC ′=B ′C ′． ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′，AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′． 在△AB ′C ′中， AB ′＜AC ′+B ′C ′，∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′． 即 AC +BC 最短． 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B两点的距离和都大于AC +BC ，就说明AC + BC 最小．问题2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。
解析：考点：作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题专题：分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．解答： 解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ ；（2）作P 关于BC 的对称点P1，连接QP1，交BC 于M ，再连接MP ．最短路线P--Q--M--P ．点评：本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．问题3 如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在 B · lA ·BC C何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．问题4已知△ABC中，D、E是边AB、AC边上的点，在边BC上找一点M，使△DEM的周长最小。
轴对称最值模型
轴对称最短路径问题模块⼀将军饮⻢类模型1.将军饮⻢直线l上有⼀动点P，令PA+PB最⼩模型特征：①线段和最⼩②两定⼀动辅助线：①异侧对称②三点共线最短距离：(PA+PB)min=2.两河饮⻢直线l1上有⼀动点P，l2上有⼀动点Q，令△APQ周⻓最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(C△APQ)min=直线l1上有⼀动点P，l2上有⼀动点Q，令四边形ABPQ周⻓最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(C四边形ABPQ)min=4.两河饮⻢3直线l2上有⼀动点P，l1上有⼀动点Q，令AP+PQ+BQ最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=直线PQ为直线l上动点，且PQ⻓度为定值，令AP+PQ+BQ最⼩辅助线：①预先平移距离a②异侧对称③三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=6.造桥选址A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建⼀座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所⾛的路程最短(过河问题)辅助线：①预先平移距离d②三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=垂线段最短模型模块模块⼆⼆7.垂线段最短A 为定点，P 、Q 分别为l 1、l 2上的动点，令AP +PQ 最⼩模型特征：①线段和最⼩②两动⼀定辅助线：①对称定点②作垂线段最短距离：(AP +PQ )min =8.垂线段最短2A 为l 2上定点，P 、Q 分别为l 1、l 2上的动点，令AP +PQ 最⼩模型特征：①线段和最⼩②两动⼀定辅助线：①对称定点②作垂线段最短距离：(AP +PQ )min =线段差最值模型模块模块三三9.线段差最⼩P 为l 上的动点，令|PA −PB|最⼩模型特征：线段差最⼩辅助线：AB 的垂直平分线最短距离：|PA −PB|min =010.线段差最⼤P 为l 上的动点，令|PA −PB|最⼤模型特征：线段差最⼤辅助线：①同侧对称②三点共线最⼤距离：|PA −PB|max =。
第4讲利用轴对称破解最短路径问题
第一章平移、对称与旋转第4讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、基础知识·轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。
（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。
）三、重难疑点·轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点，∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′，∴AB′=AP+PB．（2）如图：连接AN，BN，B′N，∵AB′=AP+PB，∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，∴AN+NB＞AP+PB．点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。
轴对称及最短路径问题
最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB，与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值，两点之间，线段最短类型三L2PL1在直线l1，l2上分别找点M,N，使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值，两点之间，线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N，使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值，两点之间线段最短（二）用平移解决造桥选址问题例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ aMN由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。
因此，线段A’B最短。
因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。
L2A MA’ BN例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。
现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？PL1L2Q 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。
轴对称--最短路径问题
轴对称--最短路径问题1、如果A,B 两个村庄位于小河MN 的同侧，如图,为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A,B 两村距离和最短，请你找出适合挖井的位置.NMBA2、如图，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 周长最短.3、如图，点P 为马厩，AB 为草地边缘（下方为草地），CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.4、如图，已知点A(-2，1)及点B(3，4)，在x 轴上取一点C ，C'，通过作图可知，当点C 的坐标为 时，使得AC+BC 最小.请在图中标出c'，使得BC'-AC'最大.5、如图1，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，最小值是 ；图图图图1P DCBAOP C BAP E DCB AP E D CBA（图2） （图3）6、如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）。
A ．2.4B ．4C ．4.8D ．57、如图3，ABC ∆中，5AC BC ==，6AB =，4CD =，CD 为ABC ∆的中线，点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点，连接AE 、EF ，则AE EF +的最小值为 .8、已知如图所示，∠MON=400，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当∆PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数．N PBMO A9、如图，∠AOB=300，点P 位于∠AOB 内，OP=3，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求∆PMN 的最小周长.NMPBAO。
8.3 轴对称之最短路径问题
8.3 轴对称之最短路径问题破解策略最短路径问题通常会转化为“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称是实现这一转化的有效方法之一．常见的题型如下．1．两点在一条直线异侧如图，点A ，B 在直线l 的两侧．(1)在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作法：如图，连接AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．2．两点在一条直线同侧如图，点A ，B 在直线l 的同侧．(1)在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．作法：如图，作点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 1，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．llll(3)在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最大．作法：如图，作：直线AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(4)在直线l 上找两点P 、Q (PQ 的长度等于已知线段a 的长度)，使得AP ＋PQ ＋QB 是最小．作法：如图，先将点B 向若平移a 个单位长度到点B 1，再作B 1关于直线l 的对称点B 2，连接AB 2，与直线l 的交点即为所求点P ，然后将点P 向右平移a 个单位长度，所得点即为点Q ．3．一点在角的内部如图，点P 在∠AOB 的内部．(1)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N 使得PM ＋MN ＋NP 最小．作法，如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，与OA ，OB 的交点即为所求的点M 、N ．(2)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N ，使得PM ＋MN 最小．作法：如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，过点P 1作OB 的垂线，与OA ，OB 的交点即为所求的点M ，N ．ll P al例题讲解例1 如图，A ，B 两点在直线MN 的同侧，AC ∠MN 于点C ，BD ∠MN 于点D ，点P 在直线MN 上运动，若AC ＝16，BD ＝10，CD ＝8，则PA PB -的最大值等于＿＿＿＿．分析 显然PA PB -的最大值即为线段AB 的长，只需过点B 作AC 的垂线，构成直角三角形求AB 的长即可．解答例2 如图，等边∠ABC 的面积为P 、Q 、R 分别为边AB ，BC ，AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是＿＿＿＿．分析 点R 在AC 上，而点P 、Q 在AC 的同侧，故作点P 关于AC 的对称点P '，当点P '，R ，Q 三点共线且P Q '⊥BC 时，PR ＋QR 取最小值．解答例3 如图，AB ∠BD 于点B ，DE ⊥BD 于点D ，C 为线段BD 上一动点，连接AC ，CE ，已知AB ＝5，DE ＝2，BD ＝12，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)求AC ＋CE 的最小值；ABP C D M NAB CPRQ(3)解答例4 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上各找一点，分别为点M ，N ，使得∠AMN 的周长最小，则此时∠AMN ＋∠ANM 的度数为＿＿＿＿．分析 点A 在∠BCD 内部，作点A 关于∠BCD 两边的对称点A 1，A 2，连接A 1A 2，则A 1A 2即为∠AMN 周长的最小值．解答例5 如图，长为1的线段AB 在x 轴上移动，点C (0，1)，D (0，2)在y 轴上，则AC ＋BD 的最小值是＿＿＿＿．分析 AB 为x 轴上的定线段，点C ，D 在x 轴同侧，故作点C 关于x 轴的对称点C '，将点D 沿x 轴负方向平移AB 长至点D '，则C D ''的长即为AC ＋BD 的最小值．解答：例6 如图，∠MON ＝30°，点A ，D 分别在OM ，ON 上，且OA ＝2，OD ＝4，C ，B 分别为OM ，ON 上任意一点，则折线AB －BC －CD 的最短长度为＿＿＿＿．分析 线段和差的最值问题通常都转化为“两点之间线段最短”的问题，可利用轴对称将分散的线段变成两定点间的折线，然后再化“折”为“直”即可．解答例7 如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠B ＝30°,E ,F 是线段AB 的三等分点,P ,Q 分别是线段BC ,AC 上的动点,若AC ＝3,则四边形EPQF 周长的最小值是解答例8 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且3AE ＝ EB ,有一只蚂蚁从点E 出发,经过点F ,G ,H ,最后回到点E ,则蚂蚁所走的最短路程是解答进阶训练1.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,在CD 上找一点P ,使P A ＋PE 最小，则这个最小值是2.如图2,P 为∠AOB 内部的一点,且OP ＝2,E ,F 分别是OA ,OB 上的动点,若△PEF 周长的最小值等于2,则∠AOB ＝3.已知y =y 的最小值是4.如图3,在平面直角坐标系中有四个点A (－6,3),B (－2,5),C (0,m ),D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,m ＋n ＝5.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∠BAC的平分线交BC于点D,若P,Q分别是AC,AD 上的动点,求CQ＋PQ的最小值.6.已知三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),且点A在正比例函数12y x的图象上,P为x轴上的动点，当△OAP与△CBP周长之和取最小值时,求点P的坐标.7.如图5,等边△ABC的边长为2,D是边AB的中点,P,Q分别是边BC,AC上的动点,当P,Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值.8.如图6,正方形ABCD的边长为4,E为边CD的中点,点F在边BC上,且满足BF＝3CF,M,N均为对角线BD上的动点,且MN求四边形EMNF周长的最小值.9.如图7,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,满足CE＝3AE,P,Q分别为AB,AC上任意的点,若AC＝2,BC＝1,求折线EP＋PQ＋QB长的最小值.10.如图8,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A,⊙B ,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,求PM＋PN的最小值.。