江苏省2015年专转本高等数学真题
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江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学 试题卷
注意事项:
1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚.
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效.
3、本试卷共8页,五大题24小题,满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、当0x →时,函数sin ()1x f x e =-是函数 ()g x x =的 ( )
A. 高阶无穷小
B. 低阶无穷小
C. 同阶无穷小
D. 等价无穷小
2、函数(1) (1)x y x x =-<的微分dy 为 ( ) A. (1) [ln(1)]1x x x x dx x --+
- B. (1) [ln(1)]1x x x x dx x ---- C. 1(1)x x x dx -- D. 1(1)x x x dx ---
3、0x =是函数1
11, 0()1
1, 0
x x e x f x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩的 ( ) A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 连续点
4、设()F x 是函数()f x 的一个原函数,则
(32)f x dx -=⎰ ( ) A. 1(32)2F x C --+ B. 1(32)2
F x C -+ C. 2(32)F x C --+ D. 2(32)F x C -+
5、下列级数条件收敛的是 ( ) A. 21(1)n n n n ∞=--∑ B. 1
1(1)21n n n n ∞=+--∑ C. 1!(1)n n n n n ∞=-∑ D. 21
1(1)n n n n ∞=+-∑ 6、二次积分11ln (,)e
y dy f x y dx =⎰⎰ ( )
A.
11ln (,)e x dx f x y dy ⎰⎰ B. 1(,)x e dx f x y dy ⎰⎰ 1 0 C. 0(,)x e dx f x y dy ⎰⎰ 1
0 D. 1(,)x e dx f x y dy ⎰⎰ 1 0
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7设()lim(1)n
n x f x n →∞
=-,则(ln 2)f =_________. 8、曲线33211x t t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩在点(0,2)处的切线方程为____________. 9、设向量b 与向量(1,2,1)a =--平行,且12a b ⋅=,则b =________.
10、设1()21
f x x =+,则()()n f x =_________. 11、微分方程2xy y x '-=满足初始条件12x y ==的特解为___ __.
12
、幂级数11)n n n x ∞=-的收敛域为____________. 三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)
13、求极限0
20arcsin lim 222x x x t tdt e x x →---⎰.
14、设2sin , 0()0, 0
x x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()f x '.
15、求通过直线112215
x y z +-+==与平面32100x y z ++-=的交点,且与直线 230240
x y z x y z -++=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.
16、求不定积分
3
⎰ .
17、计算定积分
222()sin x x xdx π
π-+⎰ .
18、设(,()),x z f x y
ϕ=,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数ϕ具有连续导数,求y x z ∂∂∂2.
19、计算二重积分D xydxdy ⎰⎰,其中D 为由曲线y =
y x =及直线2y =所
围成的平面闭区域.
20、已知2312x x x y C e C e xe =++是二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的
通解,试求该微分方程.
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
21、设D 是由曲线2y x =与直线(0)y ax a =>所围成的平面图形,已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等,试求:
(1)常数a 的值;
(2)平面图形D 的面积.
22、设函数2()(1)ax b f x x +=+在点1x =处取得极值14
-,试求: (1)常数,a b 的值;
(2)曲线()y f x =的凹凸区间与拐点;
(3)曲线)(x f y =的渐近线.
五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
23、证明:当10<
24、设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的函数,其中f 为可导函数, 证明:z z x
z y x y ∂∂+=∂∂.