七年级数学几何图形初步单元测试卷附答案

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:
已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.
【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF
∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE
∴∠FBE+∠FDE=∠BFD
∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°
∴80°+∠BFD+∠BFD=360°
∴∠BFD=140°
（2）结论为：6∠M+∠E=360°
证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM
∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°
∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴6∠M+∠E=360°
（3）证明：根据（2）的结论可知
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°
2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴2n∠M+m°=360°
∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

2．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？
【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=90°+30=120°．
由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON=60°﹣15°=45°
（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，
∴∠AOC=α+30°．
由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= α+15°，∠CON= ∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON= α+15°﹣15°= α
（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=β+90°．
由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= β+45°，∠CON= ∠BOC= β．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON= β+45°﹣β=45°
（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON= ∠BOC，与∠BOC的大小无关
【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由
角平分线的定义可知∠MOC= α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解
即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°，∠CON= β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根据计算结果找出其中的规律即可．
3．如图，直线l上有A、B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=________cm，OB=________cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为________ cm．
【答案】（1）16；8
（2）解：设CO=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，
∵AC=CO+CB，
∴16﹣x=x+8+x，
∴x= ，
∴CO=
（3）48
【解析】【解答】解：（1）∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，t= ，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）=8，t=16，
∴t= 或16s时，2OP﹣OQ=8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm．
故答案为48cm．
【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）=8，解方程
即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）=16由此即可解决．
4．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N．
（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
【答案】（1）解：∵A B∥CD，
∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，
又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，
∴∠MCN=∠MCP+∠NCP= （∠ACP+∠PCD）= ∠ACD=70°，
故答案为：70°．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AMC=∠MCD，
又∵∠AMC=∠ACN，
∴∠MCD=∠ACN，
∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，
∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，
∴∠ACM= ∠ACD=35°，
故答案为：35°．
（3）解：不变．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，
又∵CN平分∠PCD，
∴∠ANC=∠NCD= ∠PCD= ∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求
解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．
5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点．BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C．
（1）探究：
求∠C的度数．
（2）发现：当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围．
（3）应用：如图2在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+90°，
∴∠ABD＝∠BAC+45°，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝45°
（2）解：不变．
理由如下：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+∠AOB，
∴∠ABD＝∠BAC+ ∠AOB，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝∠AOB＝45°
（3）解：延长ED，BC相交于点G．
在四边形ABGE中，
∵∠G＝360°﹣（∠A+∠B+∠E）＝50°，
∴∠P＝∠FCD﹣∠CDP＝（∠DCB﹣∠CDG）
＝∠G＝ ×50°＝25°
【解析】【分析】（1）（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答；
（3）延长ED，BC相交于点G，根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
6．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。

设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，
下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）x的取值范围是________；
（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；
（3）在平面直角坐标系xOy中，
①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；
②描出当x＝120°时，y的值；
（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。

【答案】（1）40°<x<140°
（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），
∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20,
x=60时，y= x-20= ×60-20=10，
x=70时，y= x-20= ×70-20=15，
x=80时，y= x-20= ×80-20=20，
x=90时，y= x-20= ×90-20=25，
补全表格如下：
；
（3）解：①②如图：
x=120时，y= x-20= ×120-20=40；
（4）y= （x-a）
【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，
∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，
即40°+ x°<180°，x<140°，
∵PD平分∠CPB，
∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°），
∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于
40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，
∴x的取值范围是40°<x<140°；（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝ °，∠CDP的度数为y°，
∴∠DPB= °+ y°，
∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°，
∴∠CPB= °+ x°，
∵PD平分∠CPB，
∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°），
∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）.
【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；
（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；
（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；
（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.
7．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
（1）证明：BD⊥BC;
（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD 的度数：
（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ=________.
【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
∴∠ABC= ∠ABE，∠ABD= ∠ABF
∴∠ABC+∠ABD= （∠ABE+∠ABF）= ×180°=90°
∴BD⊥BC
（2）解：∵CD∥EF
BD平分∠ABF
∴∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°
又AP平分∠DAG，∠BAG=50°
∴∠DAP= ∠DAG
∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP
=180°－∠DAG－∠ABF
=180°－ (∠DAB－∠BAG)－∠ABF
=180°－∠DAB+ ×50°－∠ABF
=180°－ (∠DAB+∠ABF)+25°
=180°－ ×180°+25°
=115°
（3）45°
【解析】【解答】（3）解：如图，
∵AQ∥BC
∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1=∠2=∠4，
∴∠3+∠4=90°，
又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN
∴∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，
∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4）
=45°- ∠3+90°-∠4
=135°-（∠3+∠4）
=135°-90°
=45°.
【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP= ∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即∠3+∠4=90°，根据垂直和平
行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，则∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4），代入计算即可求解.
8．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM 上运动.
（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.
【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=50°.
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，
∴∠AEB=180°-35°-25°=120°
（2）解：不发生变化，理由如下：
如图，延长BC、AD交于点F，
∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，
∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），
∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，
∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，
同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；
（3）∠DCE的度数40°或80°
【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；
②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；
③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，
综上可知，∠DCE的度数40°或80°.
【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义
以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.
9．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动.
（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=________，y=________；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB 交于点Q.
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数.
【答案】（1）3；1
（2）解：的度数不发生变化，其值求解如下：
由三角形的内角和定理得
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分
由三角形的内角和定理得
（3）解：①由三角形的外角性质得：点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分
又是的角平分线
；
② 是的角平分线，BC平分
由三角形的外角性质得：
则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是
.
【解析】【解答】（1）由题意得：
化简得
解得
故答案为：3，1；
【分析】（1）根据“路程速度时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可得.
10．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE.
（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°.
（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系.
（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数.
【答案】（1）证明：如图1，过点E作
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：∵BF、EG分别平分、
∴
设
∵
∴
∴
由（1）知，
即
∴；
（3）解：∵CN、BF分别平分、
∴
设
由（1）知：
即
如图3，过M作
则
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出
，进而得出答案；（2）设
，由平行线的性质得出
，由（1）知
，即可得出答案；（3）设
，由（1）知，过M
作，由平行线的性质得出，求出
，即可得出答案.
11．如图，直线和直线互相垂直，垂足为，直线于点B，E是线段AB上一定点，D为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），直
于点，连接AC.
（1）当，则 ________°；
（2）当时，请判断CD与AC的位置关系，并说明理由；
（3）若、的角平分线的交点为P，当点D在线段上运动时，问的
大小是否会发生变化？若不变，求出的大小，并说明理由；若变化，求其变化范围.
【答案】（1）40
（2）解：由（1）可得：∠CDO=∠BED，
∵，
∴∠A=∠BED，
∴AC∥DE，
∵CD⊥DE，
∴AC⊥CD；
（3）解：∠P的大小不会发生变化，理由如下：
如图，连接PD并延长，
∵CP平分∠OCD，PE平分∠BED，
∴∠1= ∠OCD，∠2= ∠BED，
即∠1+∠2= (∠OCD+∠BED)，
∵∠CDO=∠BED，
∴∠OCD+∠BED=∠OCD+∠CDO=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵CD⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠5=∠3−∠1，∠6=∠4−∠2，
∴∠P=∠5+∠6=∠3−∠1+∠4−∠2=∠3+∠4−(∠1+∠2)=45°，
即∠P的大小是定值45°.
【解析】【解答】解：（1）∵直线，CD⊥DE，
∴∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°，
∴∠CDO=∠BED=50°，
∵直线和直线互相垂直，
∴∠OCD=40°；
【分析】（1）首先根据题意得出∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°，由此可以求出∠CDO度数，最后进一步求出答案即可；（2）由（1）可得∠CDO=∠BED，然后进一步利用“同位角相等，两直线平行”证明CD∥AC，最后利用平行线性质进一步求证即可；（3）
连接PD并延长，首先根据角平分线性质得出∠1= ∠OCD，∠2= ∠BED，由此结合题意进一步得出∠1+∠2=45°，再根据三角形外角性质得出∠5=∠3−∠1，∠6=∠4−∠2，据此利
用∠P=∠5+∠6进一步计算即可.
12．已知直线．
（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．
（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
由（1）得，，
又∵，
∴
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1），理由如下：
如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得，，
进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得，，
结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点作，由平行线的性质得
，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得
，进而即可得到结论．。