第1部分第二章21211椭圆及其标准方程
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
高二数学第2章21-2.11《椭圆及其标准方程》(新人教B版选修11)PPT课件
教
学 教 法 分 析
当 堂 双 基
达
课
标
前
自
主
课
导
后
学
知
能
课
检
堂
测
互
动
探
教
究
师
备
易
课
错
资
易
源
误
辨
析
2．1 椭圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型 的过程．
(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过 程．
2．过程与方法 (1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求 曲线方程的方法和数形结合的思想． (2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几 何问题的能力．
1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件 确定焦点位置，设出方程，再设法求出 a2，b2 代入所设方程，也可 以简记为：先定位，再定量．
之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)已知 F1、F2 分别为椭圆1x62 ＋y92＝1 的左、右焦点，椭圆的弦
DE 过焦点 F1，若直线 DE 的倾斜角为 α(α≠0)，则△DEF2 的周长
为( )
A．64
B．20
C．16
D．随 α 变化而变化
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定 义求△DEF2 的周长？
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的 定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数．
当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．
学 教 法 分 析
当 堂 双 基
达
课
标
前
自
主
课
导
后
学
知
能
课
检
堂
测
互
动
探
教
究
师
备
易
课
错
资
易
源
误
辨
析
2．1 椭圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型 的过程．
(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过 程．
2．过程与方法 (1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求 曲线方程的方法和数形结合的思想． (2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几 何问题的能力．
1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件 确定焦点位置，设出方程，再设法求出 a2，b2 代入所设方程，也可 以简记为：先定位，再定量．
之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)已知 F1、F2 分别为椭圆1x62 ＋y92＝1 的左、右焦点，椭圆的弦
DE 过焦点 F1，若直线 DE 的倾斜角为 α(α≠0)，则△DEF2 的周长
为( )
A．64
B．20
C．16
D．随 α 变化而变化
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定 义求△DEF2 的周长？
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的 定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数．
当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．
北师大版选择性必修第一册第二章1.1 椭圆及其标准方程课件(35张)
(D)( , )
2
解析:把椭圆 x sin α-y cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,可得
椭圆的焦点在 y 轴上,所以
-
+
-
=1.因为
> ,
> , 所以 0<-cos α<sin α.又因为 0≤α<
<-
,
且 k-1≠9-k,联立求得 k∈(1,5)∪(5,9),故 A 错误;
- > 0,
2
2
2
2
2
2
当 9-k>k-1,即 k∈(1,5)时,焦点在 x 轴上,c =a -b =9-k-(k-1)=10-2k,
+ =1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上.
数学
知识点2:椭圆的标准方程
方程 + =1(a>b>0)叫作椭圆的标准方程.它的焦点在 x 轴上,两个焦点分别是
2
2
2
F1(-c,0), F2(c,0) ,其中 b =a -c .
方程 + =1(a>b>0)也叫作椭圆的标准方程.它的焦点在 y 轴上,两个焦点分别是
数学
提示:以点 F1,F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,
则 F1(-c,0),F2(c,0),则点 P 的坐标(x,y)满足 ( + )
+ +
课件1：2.1.1 椭圆及其标准方程
这 样,我 们 把 方 程2 叫 做椭圆的标准
方程 .它 的 焦 点 在x 轴 上,两 个 焦 点 分
别 是F1 c,0, F c,0,这 里c2 a2 b2.
思考 如图2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在y轴上,且F1 , F2的坐 标
F2
分别为0,c,0, c, a,b 的意
M
x
义同上,那么 椭圆的方程是
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
本节内容结束
锥曲线的性质 ? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的
探 究 取一 条定 长 的细绳,把它的两端都固 定在图板的同一点处 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆.如果把细
绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处 ( 图 2.1 1 ),套上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画 出的轨迹是什么曲线 ? 在这一过程中,你能说出移
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圆锥曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密 的关系.早在 16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆 ;探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 ? 我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案 . 圆锥曲线具有怎样的几何特征呢 ? 如何研究圆
方程 .它 的 焦 点 在x 轴 上,两 个 焦 点 分
别 是F1 c,0, F c,0,这 里c2 a2 b2.
思考 如图2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在y轴上,且F1 , F2的坐 标
F2
分别为0,c,0, c, a,b 的意
M
x
义同上,那么 椭圆的方程是
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
本节内容结束
锥曲线的性质 ? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的
探 究 取一 条定 长 的细绳,把它的两端都固 定在图板的同一点处 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆.如果把细
绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处 ( 图 2.1 1 ),套上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画 出的轨迹是什么曲线 ? 在这一过程中,你能说出移
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圆锥曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密 的关系.早在 16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆 ;探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 ? 我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案 . 圆锥曲线具有怎样的几何特征呢 ? 如何研究圆
高中数学人教A版选修2-1之211椭圆及其标准方程1课件
之间的距离2由于绳长固定所以到两个定点的距离和也固定?1取一条细绳?2把它的两端固定在板?3用铅笔尖m把细绳拉紧在板上慢慢移动看看画出的图形一椭圆的定义?平面内到两个定点的距离的和2a等于定长大于f的点的轨迹叫椭圆
本章知识结构
圆锥曲线的实际背景 椭圆
坐标系 标准方程 简单的几何性质
双曲线
抛物线
简单应用
a
2
c x
2
2
a y
2
2
a a
2
2
c
2
当点M运动到y轴正半轴上时
x
M
a
a2 c2
F1
O
y
c
F2
图
设 b2 a 2 c 2 即 b a 2 c 2
返回
由点（-3/2，5/2）到两个焦点的距离之和求 2a,再求b.可得方程。
2
2
y x 2）或：设方程为 2 2 1, a a 4 将点（-3/2，5/2）代入可求方程（待定系数法）
2
2
（解见课本）
变式练习：求适合条件的椭圆标准方程 x2 (1) y 2 1 ①a=4，b=1, 焦点在x轴上 16
2
2
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
本章知识结构
圆锥曲线的实际背景 椭圆
坐标系 标准方程 简单的几何性质
双曲线
抛物线
简单应用
a
2
c x
2
2
a y
2
2
a a
2
2
c
2
当点M运动到y轴正半轴上时
x
M
a
a2 c2
F1
O
y
c
F2
图
设 b2 a 2 c 2 即 b a 2 c 2
返回
由点（-3/2，5/2）到两个焦点的距离之和求 2a,再求b.可得方程。
2
2
y x 2）或：设方程为 2 2 1, a a 4 将点（-3/2，5/2）代入可求方程（待定系数法）
2
2
（解见课本）
变式练习：求适合条件的椭圆标准方程 x2 (1) y 2 1 ①a=4，b=1, 焦点在x轴上 16
2
2
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
北师大高中数学选择性必修第一册2.1.1椭圆及其标准方程 课件
准方程为
故选C.
达标小练
检测篇 达标小练
1.下列说法中正确的是 ( C ) A. 已知F₁ (—4,0),F₂ (4,0),
到 F₁,F₂ 两点的距离之和等于8的点的轨迹
是椭圆 B. 已知F₁ (—4,0),F₂ (4,0), 椭圆
到 F₁,F₂ 两点的距离之和为6的点的轨迹是
C. 到两点F₁ ( 一 4 , 0 ) ,F₂(4,0) 的距离之和等于点M(5,3) 到 F₁,F₂ 的距 离
与椭圆有关的轨迹问题 [例2] 已知圆B: ( x+1)²+y² =16 及 点A(1,0),C 为 圆B 上 任
意一点，求AC 的垂直平分线1与线段CB 的交点P 的轨迹方程. [解] 如图所示，连接AP. ∵l垂直平分AC,
∴|AP|=|CP|. ∴|PB|+|PA|=|BP|+|CP|=4,
把
y=±1 代
9
9 又x>0, 所以
9
所以P点坐标为
或
●
(2)由椭圆方程
知a²=100,b²=36,
∴c²=a²—b²=64,∴c=8.∴ 焦距2c=16.
两焦点坐标为F₁ (一8,0),F₂ (8,0).
由椭圆的定义可知，△ABF₂ 的周长为AB|+|AF₂I+|BF₂I=(AF₁I+ |BF₁I)+|AF₂I+|BF₂I=(|AF₁I+|AF₂I)+(|BF₁I+|BF₂I)=2a+2a=4a=40.
的面积
通法提炼 凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF₁ |+|MF₂I= 2a(M 为椭圆上的点，F₁、F₂ 是椭圆的焦点),一般进行整体变换；其次，考
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
ONE
KEEP VIEW
椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
北师大版高中数学选择性必修1第2章1.1椭圆及其标准方程课件PPT
∆F2CD的周长为_______。
=2 + 2 =20
F1
F2
椭圆的应用
例题2.求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1) = 6 , = 1, 焦点在轴上
2
+ 2 = 1
6
求椭圆标准方程的解题步骤
：
(2)焦点为F1 (0,－3)， F2(0,3),且
=5；
（1）确定焦点的位置；
写出椭圆的标准方程.
得2 =16，
2 =12
2 2
∴ 椭圆得标准方程为
+
=1
16 12
课堂小结
椭圆的起源
椭
圆
及
其
标
准
方
程
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的应用
一、单选题
1．已知点1 5,0 , 2 (−5,0) 动点满足 1 + M2 = 10 ,则动
点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
2
椭圆方程的推导
y
椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
焦点在y轴：
M
2 2
+ 2 = 1( > > 0)
2
2 2
+ 2 = 1( > > 0)
2
方程特征：
（1）方程的左边是两项平方和的情势，等号的右边是1；
o
F1
F2 x
y
F2
M
o
x
F1
（2）在椭圆两种标准方程中，总有2 = 2 + 2 , > > 0, > > 0；
=2 + 2 =20
F1
F2
椭圆的应用
例题2.求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1) = 6 , = 1, 焦点在轴上
2
+ 2 = 1
6
求椭圆标准方程的解题步骤
：
(2)焦点为F1 (0,－3)， F2(0,3),且
=5；
（1）确定焦点的位置；
写出椭圆的标准方程.
得2 =16，
2 =12
2 2
∴ 椭圆得标准方程为
+
=1
16 12
课堂小结
椭圆的起源
椭
圆
及
其
标
准
方
程
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的应用
一、单选题
1．已知点1 5,0 , 2 (−5,0) 动点满足 1 + M2 = 10 ,则动
点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
2
椭圆方程的推导
y
椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
焦点在y轴：
M
2 2
+ 2 = 1( > > 0)
2
2 2
+ 2 = 1( > > 0)
2
方程特征：
（1）方程的左边是两项平方和的情势，等号的右边是1；
o
F1
F2 x
y
F2
M
o
x
F1
（2）在椭圆两种标准方程中，总有2 = 2 + 2 , > > 0, > > 0；
课件12：2.2.1 椭圆及其标准方程
(1)相同点：它们的大小和形状都相同，都有a＞b＞
0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点
距离的和均为2a.
(2)不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在
坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同．
思考尝试
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0，2)的距离之和为4，
解：设圆P的半径为r，
又圆P过点B，所以|PB|＝r，
又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
则点P的轨迹是椭圆．(
)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为
2a＋2c.(
)
2
2
2
2
(3)两椭圆C1： 2 ＋ 2 ＝1与C2： 2 ＋ 2 ＝1的焦距相同，
焦点也相同．(
)
(4)△ABC中，B、C坐标为B(－2，0)，C(2，0)，A为
动点，△ABC周长为10，顶点A的轨迹为椭圆．(
因为A(1，0)，C(－1，0)，
所以点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
5
25
21
2
2
2
且2a＝5.所以a＝ ，c＝1，b ＝a －c ＝ －1＝ .
2
4
4
2
2
4
4
故点M的轨迹方程为 25 ＋ 21 ＝1.
高中数学新人教版选修1-1 2.1.1《椭圆及其标准方程》课件 (共20张PPT)
焦点位置的判定 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 辅
则
xx0,
yy0 2助y点 Nhomakorabea则
P法
P (x 0 ,y 0 )在 圆 x 2 y 2 4 上 M
x
x02 y02 4
0D
将x0 x, y0 2y代入上述方程
M
F1
F2
导入新课：
绘图纸上的三个问题
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条 件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
数学 实验
❖ [1]取一条细绳，
❖ [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2
❖ [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
椭圆及其标准方程ppt课件
8 m2
则其焦距为
A.2 8 m2
B.2 2 2 m
C.2 m2 8
D.2 m 2 2
二、填空题
3、已知椭圆的焦点是F1(1, 0), F2 (1, 0)，P是椭圆上一
点，则 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项，则该椭圆的
方程是
.
4、过点(-3,2)且与椭圆 x2 y2 1有相同焦点的椭圆 94
绳定复长点习固O的定圆距不的离变定是，个点义定A到值
【数学实验二】
(1)取一条没有弹性的细绳， 1.在椭圆形成的过程中，细
(2)把它的两端固定在板上的两 点F1、F2；
绳的两端的位置是固定的 还是运动的？
(3)用铅笔尖（O）把细绳拉紧， 在板上慢慢移动看看画出的
固定的
图形
2.在画椭圆的过程中，绳子
高中数学北师大版选修性必修第一册第二章
1.1 椭圆及其标准方程
泰戈尔曾说过：世界是运动的，这是一个完完全全的事实。 那么这些行星的运动轨迹是什么曲线呢？
一、情境、视频导入
在我们实际生活中，同学们还见过那些椭圆形状吗？能举出一些实例
生 活 中 的 椭 圆
这些截面都是“椭圆形状”，那么具有怎样特点的曲 线是椭圆呢？
2．绳长小于两定点间的距离呢？
| MF1 | | MF2 | F1F2
轨迹不存在
1、椭圆定义：
平面内与两个定点 F1, F2的距离之和等于常数（大于| F1F2 | ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
数学语言：| PF1 | | PF2 | 常数(常数 F1F2 ) p
F2
P
设a2 -Pcx(=xa，yx -)c是2 椭+ y圆2 上任意一点
则其焦距为
A.2 8 m2
B.2 2 2 m
C.2 m2 8
D.2 m 2 2
二、填空题
3、已知椭圆的焦点是F1(1, 0), F2 (1, 0)，P是椭圆上一
点，则 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项，则该椭圆的
方程是
.
4、过点(-3,2)且与椭圆 x2 y2 1有相同焦点的椭圆 94
绳定复长点习固O的定圆距不的离变定是，个点义定A到值
【数学实验二】
(1)取一条没有弹性的细绳， 1.在椭圆形成的过程中，细
(2)把它的两端固定在板上的两 点F1、F2；
绳的两端的位置是固定的 还是运动的？
(3)用铅笔尖（O）把细绳拉紧， 在板上慢慢移动看看画出的
固定的
图形
2.在画椭圆的过程中，绳子
高中数学北师大版选修性必修第一册第二章
1.1 椭圆及其标准方程
泰戈尔曾说过：世界是运动的，这是一个完完全全的事实。 那么这些行星的运动轨迹是什么曲线呢？
一、情境、视频导入
在我们实际生活中，同学们还见过那些椭圆形状吗？能举出一些实例
生 活 中 的 椭 圆
这些截面都是“椭圆形状”，那么具有怎样特点的曲 线是椭圆呢？
2．绳长小于两定点间的距离呢？
| MF1 | | MF2 | F1F2
轨迹不存在
1、椭圆定义：
平面内与两个定点 F1, F2的距离之和等于常数（大于| F1F2 | ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
数学语言：| PF1 | | PF2 | 常数(常数 F1F2 ) p
F2
P
设a2 -Pcx(=xa，yx -)c是2 椭+ y圆2 上任意一点
课件11：2.1.1 椭圆及其标准方程
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______. (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是_______. 【答案】 (1)以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 (2)线段F1F2
【解析】 (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2| ＝10>8＝|F1F2|， 由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点， 焦距为8的椭圆．
B．16
C．8
D．4
【解析】 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2| ＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16. 【答案】 B
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 8； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆 经过点( 3，－ 5)．
解法二：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
由题意得1a82 ＋1b62 ＝1 a2＝b2＋4
，解得ab22＝＝3362 .
∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
(3)解法一：若椭圆的焦点在 x 轴上， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(3)经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)．
解：(1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上， 且 c＝4，2a＝10， ∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义知 2a＝ (4－0)2＋(3 2＋2)2＋ (4－0)2＋(3 2－2)2＝12， 所以 a＝6.又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
课件12：2.1.1 椭圆及其标准方程
3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：
F(x，y)＝0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把 点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求 轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
跟踪训练 2．(1)已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆x42＋y2＝1 上任一点，求线段 AQ 中点 M 的轨迹方程．
解：设中点 M 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x0，y0)． 利用中点坐标公式，
得x＝x0＋2 1， y＝y20，
∴xy00＝ ＝22xy－ . 1，
∵Q(x0，y0)在椭圆x42＋y2＝1 上， ∴x420＋y20＝1． 将 x0＝2x－1，y0＝2y 代入上式，得(2x－4 1)2＋(2y)2＝1． 故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是 x－122＋4y2＝1．
(2)求关系式：用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标， 即得关系式xy11＝ ＝ghxx， ，yy， . (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求 动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 所求点 M 的轨迹方程为x42＋y2＝1．
例 3 (1)已知 P 是椭圆x42＋y82＝1 上一动点；O 为坐标 原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为______________． (2)一个动圆与圆 Q1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 Q2： (x－3)2＋y2＝81 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
2.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方 1．通过椭圆标准方程及椭圆
程．(重点)
焦点三角形的有关问题学习，
新课标人教A版选修2 1第二章第二节221椭圆及标准方程一 课件共20张
x2 25
?
1y，62 ?则1a=_____，
b=__5_____，c=4_______，焦点3 坐标为：
_________(_3_,0_)焦、距(-3等,0)于______;若CD6为过左
焦点F1的弦，则 F2CD的周长? 为________
20
Cy
O
F1
F2
x
D
变式题：
已知B、C是两个定点，|BC|=6 ，且△ABC 的 周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
?1
方
y2 a2
?
x2 b2
?1
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程 （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
特 (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
点 （4）a、b、c的关系 a 2 ? b2 ? c2
例题1：
指出下列哪些方程表示椭圆。
(1 ) x 2 ? y 2 ? 1
标 为_(_?___7__,0__) .
练习：
4. 若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴
上的椭圆，求k的取值范围。 0 ? k ? 4
5.椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为4，求m的值.
9m
m ? 5或m ? 13
6. 方程
x2 m2
?
y2 (m ? 1)2
?
1 表示焦点在
m? 1
y轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 2
7. 椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0, 2) ，
求m的值.
m? 5
F(0，±c)
a 2=b2+c2
练习：
1. 秒杀：化简：
x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10
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当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2.标准方程中根据x2，y2对应的分母的大小可以确定椭 圆的焦点在哪条坐标轴上：x2对应的分母大，焦点就在x轴 上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
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3.标准方程中的两个参数a，b确定了 椭圆的形状和大小，是椭圆定型的条件． a，b，c三个量满足：a2＝b2＋c2，恰好 是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形， 称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映 了参数a，b，c的几何意义．
∴椭圆方程是1x62＋1y22 ＝1.
第
2.1.1
二
章
椭
2.
圆
圆1
及
锥
其
曲椭
标
线圆 与 方
准 方
程
程
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
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取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图 板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么 曲线？
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[精解详析] 以过 B，C 两点的直线为 x 轴， 线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐 标系 xOy，如图所示． 由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此， 点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点 的距离之和 2a＝10；但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2 ＝a2－c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方程为2x52＋y92＝1(y≠0)．
的周长为
()
A．16
B．18
C．20
D．不确定
解析：椭圆2x52 ＋y92＝1中，a＝5，b＝3，∴c＝4.
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×5＋2×4＝18.
答案：B
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2．已知椭圆2x52＋y92＝1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，
N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是 ( )
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[例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长 等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[思路点拨] 由△ABC的周长等于18，|BC|＝8，可知点A 到B，C两个定点的距离之和是10，所以点A的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆，但点A与点B，C不能在同一直线上．适当建立 平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项. 该椭圆的方程是 ( )
A.1x22＋6y42 ＝1
B.1x62＋1y22 ＝1
C.x42＋1y62 ＝1
D.x42＋1y22 ＝1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×4＝8，
∴2a＝8，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
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[一点通] 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根 据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两 定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距 离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程， 这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
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4．已知椭圆的两焦点为 F1(－2,0)，F2(2,0)，P 为椭圆上的一点，
A．2
B．4
C．8
3 D.2
解析：设椭圆的另一个焦点为E，如图，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8. 又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝12|ME|＝4. 答案：B
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[例 2] 已知椭圆经过点( 36， 3)和点(232，1)，求椭圆的标 准方程．
[思路点拨] 解答本题可设出椭圆的标准方程，也可设为 mx2 ＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式，以便讨论和运算简化，再确 定相应系数，要注意对焦点位置的讨论．
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[例 1] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在第二象限， 且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
[思路点拨] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于 |PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．
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1．设 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF1F2
焦点坐标及a,b,c的关系见下表：
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
a、b、c 的.平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|＋ |MF2|＝2a．
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平面直角坐标系中，已知A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0， －4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：轨迹方程为2x52 ＋y92＝1. 问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：2y52 ＋x92＝1.
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若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a，(a>c)，则椭圆的标准方程、
提示：线段F1F2. 问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离，移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？ 提示：|MF1|＋|MF2|＝L.
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椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ， 两焦点 间的距离 叫做椭圆的焦距.
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[一点通] 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般 解题步骤可归纳为
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3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5， 又∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
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3.标准方程中的两个参数a，b确定了 椭圆的形状和大小，是椭圆定型的条件． a，b，c三个量满足：a2＝b2＋c2，恰好 是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形， 称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映 了参数a，b，c的几何意义．
∴椭圆方程是1x62＋1y22 ＝1.
第
2.1.1
二
章
椭
2.
圆
圆1
及
锥
其
曲椭
标
线圆 与 方
准 方
程
程
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
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取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图 板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么 曲线？
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[精解详析] 以过 B，C 两点的直线为 x 轴， 线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐 标系 xOy，如图所示． 由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此， 点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点 的距离之和 2a＝10；但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2 ＝a2－c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方程为2x52＋y92＝1(y≠0)．
的周长为
()
A．16
B．18
C．20
D．不确定
解析：椭圆2x52 ＋y92＝1中，a＝5，b＝3，∴c＝4.
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×5＋2×4＝18.
答案：B
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2．已知椭圆2x52＋y92＝1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，
N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是 ( )
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[例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长 等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[思路点拨] 由△ABC的周长等于18，|BC|＝8，可知点A 到B，C两个定点的距离之和是10，所以点A的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆，但点A与点B，C不能在同一直线上．适当建立 平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项. 该椭圆的方程是 ( )
A.1x22＋6y42 ＝1
B.1x62＋1y22 ＝1
C.x42＋1y62 ＝1
D.x42＋1y22 ＝1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×4＝8，
∴2a＝8，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
返回
[一点通] 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根 据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两 定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距 离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程， 这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
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4．已知椭圆的两焦点为 F1(－2,0)，F2(2,0)，P 为椭圆上的一点，
A．2
B．4
C．8
3 D.2
解析：设椭圆的另一个焦点为E，如图，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8. 又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝12|ME|＝4. 答案：B
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[例 2] 已知椭圆经过点( 36， 3)和点(232，1)，求椭圆的标 准方程．
[思路点拨] 解答本题可设出椭圆的标准方程，也可设为 mx2 ＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式，以便讨论和运算简化，再确 定相应系数，要注意对焦点位置的讨论．
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[例 1] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在第二象限， 且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
[思路点拨] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于 |PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．
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1．设 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF1F2
焦点坐标及a,b,c的关系见下表：
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
a、b、c 的.平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|＋ |MF2|＝2a．
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平面直角坐标系中，已知A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0， －4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：轨迹方程为2x52 ＋y92＝1. 问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：2y52 ＋x92＝1.
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若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a，(a>c)，则椭圆的标准方程、
提示：线段F1F2. 问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离，移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？ 提示：|MF1|＋|MF2|＝L.
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椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ， 两焦点 间的距离 叫做椭圆的焦距.
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[一点通] 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般 解题步骤可归纳为
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3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5， 又∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.