第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式(2-20)和式(2-21)无论在形式上,还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论:
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况:
定义1:如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移,则依次左乘,称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意:平移矩阵间可以交换,
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明:
例1:动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动:①R(Z,90º) ②R(y,90º) ③Trans(4,-3, 7) ,求合成矩阵
反过来: Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵,det R为R的行列式,由于R是正交矩阵,
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式(2-7)
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具,用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述,也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
o
a
θi
手臂末端执行器位置和姿态与关
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
(2-14) (2-15) (2-16)
上述计算方法非常繁琐,可以通过一系列计算得到上述 结果。将式(2-14)(2-15)(2-16)联写为如下形式:
⎡Px ⎤ ⎡
⎢ ⎢
Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R4×4
⎢ ⎢
Pz
⎥ ⎥
⎢ ⎢
⎣1⎦ ⎣
⎤⎡ Pu ⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Pv
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎢⎢Pw
⎥ ⎥
解2:用分步计算的方法
① R(x, 90°)
⎡1 0 0 0⎤⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤
P' = ⎢⎢0 0 -1 0⎥⎥⎢⎢2⎥⎥ = ⎢⎢− 3⎥⎥ ⎢0 1 0 0⎥⎢3⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢⎣0
0
0
1⎥⎦⎣⎢1⎥⎦
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
② R(z, 90°) ③ R(y, 90°)
⎡0 -1 0 0⎤⎡ 1 ⎤ ⎡3⎤
⎦⎣ 1 ⎦
R4x4为二者之间的关系矩阵,我们令:
R4×4 = R(y,θ )R(z,φ)R(x,α)
定义1: 当动坐标系 ∑ O'uvw 绕固定坐标系 ∑ Oxyz 各坐标轴顺序有限次
转动时,其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意:旋转矩阵间不可以交换
平移齐次变换矩阵
⎡1 0 0 a⎤
P'' = ⎢⎢1 0 0 0⎥⎥⎢⎢− 3⎥⎥ = ⎢⎢1⎥⎥ ⎢0 0 1 0⎥⎢ 2 ⎥ ⎢2⎥
⎢⎣0
0
01⎥⎦⎢ ⎣1⎥ ⎦⎢⎣1⎥⎦
⎡ 0 0 1 0⎤⎡3⎤ ⎡ 2 ⎤
P '''
=
⎢ ⎢
0
1
0
0⎥⎥ ⎢⎢1⎥⎥
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢-1 0 0 0⎥⎢2⎥ ⎢− 3⎥
⎢ ⎣
0
0
0
1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
• 具有直观的几何意义
• 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
• 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个(n+1)维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间,也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
vK
=
对应重合,设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点,且固定不变。
则P点在ΣO´uvw中可表示为:
z
Puvw = Pu iu + Pv ju + Pw kw
iu 、jv 、kw 为坐标系ΣO´uvw的单位矢
w
P
量,则P点在Σoxyz中可表示为:
o
v
(O')
y
Pxyz = Px ix + Py iy + Pz iz Puvw = Pxyz
Pu
u
图
ix jy kz
kw kw kw
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢
Pμ Pv Pw
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(2-7)
⎡ ⎢
ix
iμ
定义 旋转矩阵为:R = ⎢ jy iμ
⎢⎢⎣kz iμ
ix jv jy jv kz jv
ix
kw
⎤ ⎥
jy kw ⎥
kz
kw
⎥ ⎥⎦
则 : pxyz = RPuvw
K i+
b
K j+
c
K k)
解释为某个平面的外法线,此
mm m
平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。− d
m
[例]:
因此一个平行于x、y轴,且在z轴上的坐标为单位距离的 平面P可以表示为:P = [0 0 1 −1] 或 P = [0 0 2 − 2]
有: PV=
⎪⎨⎧>=
0 0
⎪⎩< 0
v点在平面上方 v点在平面上 v点在平面下方
即动坐标系 ∑ O,μvw绕OX轴转动α角,求 R(x,α ) 的旋转矩阵,也就是 求出坐标系 ∑ O'μvw中各轴单位矢量 iμ , jv , k w 在固定坐标系 ∑ Oxyz 中各轴的投影分量,很容易得到在重合时,有:
⎡1 0 0⎤ R = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎣⎢0 0 1⎥⎦
由图2-5可知, jv 在y轴上的投影为 jy cos α , jv 在z轴上的投影 为 kz sinα , kw 在y轴上的投影为 − jy sinα , kw 在z轴上的投影为 kz cosα ,所以有:
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢⎣0
0
0
0⎥ 1⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
Pw 1
⎥ ⎥ ⎦
⎡Pu ⎤ ⎡
0⎤⎡Px ⎤
⎢ ⎢
Pv
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R −1
0⎥⎥
⎢ ⎢
Py
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pw 1
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢⎣0
0
0
0⎥ 1⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
⎥ ⎥ ⎦
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
R(x,α )
K ai
+
K bj
+
K ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量,
列矩阵 ⎡x ⎤
a= x
y
, b=
z , c=
,w为比例系数
w ww
V
=
⎢y ⎢z
⎥ ⎥
= [x
y
z
w]T
显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随
⎣⎢w⎥⎦
w值的不同而不同。在计算机图学中,w
作为通用比例因子,它可取任意正值,但
在机器人的运动分析中,总是取w=1 。
[例]:
KKKK V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为: V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表示 是唯一的(x、y、z)
• 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
同理:
⎡1
R(x,α ) = ⎢⎢0
⎢⎣0
0
cosα sin α
0⎤
−
sin
α
⎥ ⎥
comα ⎥⎦
⎡ cosφ 0 sinφ ⎤
R(y,φ
)
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sin φ 0 cosφ ⎥⎦
⎡cosθ - sinθ 0⎤
R(z,θ ) = ⎢⎢sinθ cosθ 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
z
W'
u
x
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时,求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
z
w
已知: Puvw = Pu iu + Pv ju + Pw kw
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然
Pw P
成立,由于ΣO´uvw回转,则:
v
Px = Puvw ix = ix (Pu iu + Pv jv + Pw kw )
解1:用画图的方法:
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v```
7
o′ u```
w```
o(o′) v y
u x
o(o′) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2:用计算的方法
根据定义1,我们有: T = Trans(4, 3, 7) R(y, 90D ) R(Z,90D )
⎡0 0 1 4 ⎤
=
⎢⎢1 ⎢0
z
⎡ ⎢
ix
iμ
R(x,α ) = ⎢ jy iμ
⎢ ⎣⎢
k
z
iμ
ix jv jy jv kz jv
ix
kw
⎤ ⎥
jy kw ⎥
kz
k
w
⎥ ⎥⎦
⎡1 ix = iu ⎢⎢0
⎢⎣0
0
cosα sin α
0⎤
−
sin
α
⎥ ⎥
comα ⎥⎦
W'
α
U'
u x
w
O' α
o
图2-5
V'
vy
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
• 丹纳维特(Denavit)和哈顿贝格(Hartenberg) 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的 运动学问题—D-H方法
[0 0 1 -1]⎢⎢⎢00⎥⎥⎥ = -1 < 0
⎢⎣1⎥⎦
与点矢 [0 0 0 0]T 相仿,平面 [0 0 0 0] 也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz,动坐标系为ΣO´uvw, 研究旋转变换情况。
① 初始位置时,动静坐标系重合,O、O´ 重合,如图。各轴
w
Φ
o O'
u x
U'
z w
W'
o
θ
O'
u
x
U'
vy
v' vy
合成旋转矩阵:
例1:在动坐标中有一固定点 Po'uvw = [1 2 3 1]T ,相对固定参
考坐标系 ∑ Oxyz 做如下运动:① R(x, 90°);② R(z, 90°);③ R(y,90°)。求点 Po'uvw 在固定参考坐标系 ∑ Oxyz 下 的位置。 解1:用画图的简单方法
⎡x ⎤
PV = [a
b
c
d
]⎢⎢zy
⎥ ⎥
=
ax
+
by
+
cz
+
dw
=
0
⎢⎣w⎥⎦
如果定义一个常数m= a2 + b2 + c2 ,则有:
x a + y b + z c =−d wm wm wm m
=
(x
K i+
y
K j+
z
K k)
⋅
(
a
K i+
b
K j+
c
K k)
ww w mm m
可以把矢量 ( a
x
z
w′ o′ v′ u′
o
x
y w″
z
o′
v″
u″
o
y
x
解2:用计算的方法
z
v```
⎡0 0 1 4 ⎤ T = Trans(4, 3, 7) R(y, 90o ) R(Z,90o ) = ⎢⎢1 0 0 − 3⎥⎥
⎢0 1 0 7 ⎥
o′ u``` w```
o
y
⎢⎣0 0 0
1
⎥ ⎦
x
(2-21)
0 1
0 0
− 3⎥⎥ 7⎥
⎢⎣0 0 0
1
⎥ ⎦
(2-20)
以上均以固定坐标系多轴为变换基准,因此矩阵左乘。
如果我们做如下变换,也可以得到相同的结果:
例2:①先平移Trans (4,-3,7);②绕当前 v′轴转动90º;
③绕当前 w′′ 轴转动90º;求合成旋转矩阵。
解1:用画图的方法
z w
v u o(o′) y
例如:点 V=[10 20 1 1]T 必定处于此平面内,而点 V=[0 0 2 1]T 处于平 P 的上方点V=[0 0 0 1]T处于P平面下方。因为:
⎡10⎤
[0 0 −10 10]⎢⎢⎢210⎥⎥⎥ = 0
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
⎡0⎤
[0 0 1 −1]⎢⎢⎢02⎥⎥⎥ = 1 > 0
⎢⎣1⎥⎦
⎡0⎤
o
Pv
y
(O')
Py = Puvw jy = jy (Pu iu + Pv jv + Pw kw ) x Pz = Puvw jz = jz (Pu iu + Pv jv + Pw kw )
用矩阵表示为:
⎡ Px
⎢ ⎢
Py
⎢⎣ Pz
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢
ix
⎢ jy
⎢⎣⎢kz
iμ iμ iμ
ix jv jy jv kz jv
i jk
K
K
K
a ×b = ax a y az = (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k
bx by bz
2.2.2 平面的齐次坐标
• 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时,矩阵乘积PV=O,或记为
z
z
V
o x
z y
x