初中数学课件 实数(平方根与立方根)

（2）开立方： 求一个数的立方根运算叫开立方，开立方与 开 平方都是开方运算．
（3）开立方与立方的关系是互为逆运算．
2．立方根的意义 一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，
0的立方根为0，开立方，被开方数可以是任意实数 3．立方根的表示
a 的立方根记作3 a ，其中 a 是被开方数，3 是根指数（不能省略），
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3.6 5
3 6.5
365000
5．若 n0为.0 0正0整3 6数5 ，则 =
，
=
（一） 知
=1.1910,
=6.042,则
=
；
7．
=
8． 方根是零，（m-n）的立方根是
二、选择题
1．下列式子错误的是
（A）
0.0 4
= 0.2
0 .0 1
(B)
=0.1
121 49
(C)－
=－11 (D)
=7
2．下列语句正确的是 9
（3）表示方法不同
（4）取值范围不同
（1）具有包含关系 联系：
（2）存在条件相同
7．平方根与立方根的区别与联系 （1）定义不同
区别： （2）表示不同 （3）个数不同
联系： 求平方根和立方根的运算都是开方运算，它们 都是乘方运算的逆运算，因此可以通过乘方来检 验．
三、典型例题透析：
例1下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？
实数
第一讲 平方根与立方根 （第一讲）
一、知识要点回顾
1． 通过一些实例进行探索，发现了a 2 =b2,2 =5 这里的 a 、b 既不是整数，
也不是分数，从而使学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数．
定义：无限不循环小数叫无理数． 2．判断一个数是无理数还是有理数
整数（正整数、零、负整数），分数（正分数、负分数、或 正负有限小数及正负无限循环小数）都是有理数，无限不循环 小数是无理数．
则，5 a 1 0
故，a
1 5
，a 1 9 0
且故，a 19
显然不可能 综合上述可知m的值为256 ．
四、双基优化辅导：
1 一、填空题
1、46 的平方根是
，0.01 的算术平方根的倒数是
10
2．绝对值小于 的正整数是
3． 412 402 的算术平方根是
4．一个负数 a 的倒数是2 n 它1 本身，那1么2 na1 3 =
16
（A）3 是 9 的算术平方 9 根，3 即 =
(B)4 和－4 都是 16 的平方根，1 6即
= 4
（C）－3 是 9 的平方根，即 (2) 2
3．
x 的1 算术平方根是
=－3
2
（A）2
(B) 22
(C)
(D)4 是 16 的负的平方根，即
2
(D)
=－4
4．如果 （A）81
=3，则(x+1) 等于
当 a 是负数时，负号通常可以移到根号外，如3 8 = 3 8 ．
4．样求一个数的立方根
（1）运用立方与开立方的关系，如 512 = 3
x 3 ∴左边=右 y边4
是②的解．
，因为83 =512，所以3 512 =8．
（2）开立方开不尽的数保 根号如 31 的立方根是3 31 ．
（3）可以用计算器或立方根来求一个数的立方根的近似值．
3．算无理数的值，并用计算器进行验证． 4．算术平方根 一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即x2 =a,那么这个正数x
叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记为 a 读作“根号a 叫做被开方数． 5．平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根
或二次方根，即如果 x2 =a,那么x 叫做 a 的平方根．
（2）因为2 14
64
，而
8 2
64
，所以2 14
的平方根为
8
，
25 25 5 25
25
5
算术平方根8 ． 5
（3）因为
4 2
16
，而
4 2
16
7 49 7 49
例4. 求下列各数的立方根
(1) 0.216
(2)
1
37 64
解：（1）因为0.6 3 0.216 ，所以 0.216 的立方根是 0.6 ．
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反 6、平方根的性质：数（．2）0有一个平方根，它是0本身．
（3）负数没有平方根． 7．思想方法指津 （1） 正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平
方根就是算术平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
（2）符号 a 只有当 a≥0 时有意，a＜0 时无意义．
二、思想方法指津：
（1）立方根与平方根有很大的区别． 一个正数的平方根有两个，负数没有平方根，而任何数
的立方根只有一个， a 中要求 a≥0，而3 a 中，a 为任意实数．
（2）两个互为相反数的立方根互为相反数
3 a ， 3 a =－3 a
6．平方根与算术平方根的区别与联系
（1）定义不同
（2）个数不同 区别：
0.25 ，4.3 ， π， 1 ，21， 3
解：有理数：0.25 ，4.3 ， 1 ，21， 3
无理数：π
例 2（1）9 的平方根是： 3
（2） 16 的算术平方根是 2
（3）(3)2 的算术平方根是 3
例3．求下列各数的平方根和算术平方根
(1) 1.21
(2) 2 14 25
(3)
4
2
7
解：（1）因为 1.12 1.21 ，所以 1.21 的平方根是 1.1 ，算术平方根为 1.1 ．
（3）当 a≥0 时， a 是一个非负数，它与a2 、a 统称为实数的“三大非负性”
（二）、立方根
一、立方根的概念
（1） 如果一个数x 的立方等于 a，那么这个数就叫 a 的立方根，即x若3 =a，
则x 叫做 a 的立方根，如2 =8，所以 2 就叫 8 的立方根． 3
x 1 故 y5
不是方程的解．
(2)
因为1
37 64
27 64
3 3
,而 4
27 64
，所以1
37 64
3
的4 立方根是
．
例5求下列各式的值:
(1) 132 122
(2) 3 27 (3)3 1 35
解：（1） 132 122 25 5
27
解：（1） 132 122 25 5
（2） 3 27 81 9
（3） 3 1 35 3 8 2
27
27 3
例 6 若数m 的平方根 5 a 是 1
和a 1 9 ，求m 的值
解：由题意，知本题分两种情况来求解，
当m 0 时，其平方根为一对互为相反数，
则有： 5 a 1 a 1 9 0 故a ， 3
则，5a 1 16 ，a 19 16，故m 162 256 当m 0 时，其方根是 0，