全国各地中考数学试题分类汇编(第三期)专题24多边形与平行四边形(含解析)

多边形与平行四边形
一.选择题
1.（2019?湖北省咸宁市?3分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为
（
）
A ．45°
B ．60°
C ．72°
D ．90°
【分析】根据多边形的内角和公式（n ﹣2）?180°求出多边形的边数，再根据多边形的外
角和是固定的
360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为
540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
2.（2019云南4分）一个十二边形的内角和等于A.2160°B.2080°C.1980°D.1800°【解析】多边形内角和公式为180)2(n
，其中n 为多边形的边的条数
.∴十二边形内
角和为1800180)212
(，故选D
3. （2019?甘肃庆阳?3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（
）
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
【分析】根据多边形内角和公式（
n ﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C ．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
4. （2019?广东广州?3分）如图，?ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，
且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在?ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答 3.
5. （2019?贵州省铜仁市?4分）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，
若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）
A．360°B．540°C．630°D．720°
C．【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
6. （2019?贵州省铜仁市?4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD
＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）
A．12 B．14 C．24 D．21
A．【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．
7. （2019?海南省?3分）如图，在?ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC
的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）
A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC＝2AB＝6，AD＝6，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长为6×3＝18．
【解答】解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝6，
∴AD＝6，
由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为6×3＝18，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5.
8．（2019?山东临沂?3分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
9．（2019?山东威海?3分）如图，E是?ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE 交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．(2019?云南?4分)一个十二边形的内角和等于( )
A．2160°B．2080°C．1980°D．1800°
【考点】多边形的内角和．
【分析】根据多边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：多边形内角和公式为180)2(n ，其中n 为多边形的边的条数
.∴十二边
形内角和为1800180)212
(，故选D ．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和公式，多边形内角和等于
180)2(n ．
二.填空题
1.（2019?四川省达州市?3分）如图，?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为
16
．
【分析】根据平行四边形的性质可得BO ＝DO ＝BD ，进而可得OE 是△ABC 的中位线，
由三角形中位线定理得出
BC ＝2OE ，再根据平行四边形的性质可得
AB ＝CD ，从而可得
△BCD 的周长＝△BEO 的周长×2．
【解答】解：∵?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴BO ＝DO ＝
BD ，BD ＝2OB ，
∴O 为BD 中点，∵点E 是AB 的中点，∴AB ＝2BE ，BC ＝2OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∴CD ＝2BE ．
∵△BEO 的周长为8，∴OB+OE+BE ＝8，
∴BD+BC+CD ＝2OB+2OE+2BE ＝2（OB+OE+BE ）＝16，∴△BCD 的周长是16，故答案为16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．
关键是掌
握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
2.（2019?四川省广安市?3分）如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，
则∠AFE ＝
72
度．
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB ，根据等腰三角形的性质，三角形外角的
性质计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠EAB ＝∠ABC ＝，
∵BA ＝BC ，
∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°，同理∠ABE ＝36°，
∴∠AFE ＝∠ABF +∠BAF ＝36°+36°＝72°．故答案为：72
【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．3.（2019云南3分）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝43，BD ＝4，则平行四边形
ABCD 的面积等于.
【解析】过点
D 作D
E ⊥AB 于E ，∵∠A=30°，∴DE=ADsin 30°=32，AE=ADcos30°=4，
在Rt △DBE 中，BE=22
2
DE
BD
，∴AB=AE+BE=6，或AB=AE-BE=2，∴平行四边
形ABCD 的面积为312326或343
22，故答案为312或3
44. （2019?广西北部湾
?3分）如图，AB 与CD 相交于点
O ，AB=CD ，∠AOC=600
，
∠ACD +∠ABD=2100
，则线段AB 、AC 、BD 之间的数量关系式为
．
【答案】AB2=AC2+BD2
【解析】
解：过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC，∠ACD=∠AED，
∵∠AOC=60°，AB=CD，
∴∠EAB=60°，CD=AE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE=AB，
∵∠ACD+∠ABD=210°，
∴∠AED+∠ABD=210°，
∴∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=360°-210°-60°=90°，
∴BE2=DE2+BD2，
∴AB2=AC2+BD2；
故答案为：AB2=AC2+BD2．
过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE=AC，∠ACD=∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
5．(2019?湖南益阳?4分)若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是．
【考点】多边形内角和与外角和．
【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和
度数的计算公式解出本题即可．
4，BD＝4，则平行四边6．(2019?云南?3分)在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝3
形ABCD的面积等于．
【考点】平行四边形．
【分析】本题无图形，需分类讨论．过点D作□ABCD的高DE，分高DE在平行四边形
的内部和外部两种情况，再根据勾股定理及平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=32，AE=ADcos30°=6，在Rt △DBE 中，BE=
22
2
DE
BD
．
(1)如图(1)，当DE 在□ABCD 内部时，AB=AE +BE =6+2=8，∴S □ABCD =8×32=316；
(2)如图(2)，当DE 在□ABCD 外部时，AB=AE －BE=6－2=4，∴S □ABCD =4×32=38．故答案为316或38．
【点评】此题主要考查了求平行四边形的面积，由于几何题没有图形，无图则考虑要分类讨论．
三.解答题
1.（2019?四川省广安市?6分）如图，点
E 是?ABCD 的CD 边的中点，AE 、BC 的延长线交
于点F ，CF ＝3，CE ＝2，求?ABCD 的周长．
【分析】先证明△ADE ≌△FCE ，得到AD ＝CF ＝3，DE ＝CE ＝2，从而可求平行四边形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ．又ED ＝EC ，
∴△ADE ≌△FCE （AAS ）．
∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2．
∴DC＝4．
∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+DC）＝14．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是
借助全等转化线段．
2. （2019·贵州贵阳·10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝
AD，连接BD．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到DE＝BC，DE∥BC，于是得到四边形BCED是平行四边形；
（2）连接BE，根据已知条件得到AD＝BD＝DE＝2，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE＝90°，AE＝4，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：连接BE，
∵DA＝DB＝2，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝2，
∴∠ABE＝90°，AE＝4，
∵cosA＝，
∴AB＝1，
∴BE＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的
定义，证得∠ABE＝90°是解题的关键．
3．（2019?山东青岛?8分）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角
形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2019?山东青岛?8分）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行
四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角
形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. (2019湖北荆门)（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判
定与性质，综合性较强．
6.(2019湖北仙桃)（8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，
且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG 得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：
则AP＝CE，∠EBP＝90°，
∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG，
在△APE和△ECG中，，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE＝BF，
∴EG＝BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平
行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．(2019湖北咸宁市)（（10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
【分析】（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD ＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（2）AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
由（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠F AD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝5﹣5．
【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．。