引理（Lemma ）：设函数)(z f 在0z z =解析，并且)(00z f w =.设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，那么0)(w z f -在0z 有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点.
证明：由已知条件可知0)(w z f -在0z 有p 阶零点.由于)(z f 不恒等于零，作以0z 为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得)(z f 在C D D ?=上解析，并且使得0)(w z f -及)(z f '除去
0z z =外在D 上无其它零点.有
0|)(|min 0>=-∈μw z f C
z
取w ，使μ<-<||00w w .由儒歇定理，比较w z f -)(及0)(w z f -在内D 的零点的个数.由于
),())(()(00w w w z f w z f -+-=-
而当C z ∈时
,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ
可见w z f -)(及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）.因为0w w ≠，所以0z z ≠，而0]')([0
≠-≠z z w z f .
所以w z f -)(在D 内的每个零点都是一阶的. 由此引理可证明下面定理
定理(Theorem)6.1、设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则
D z ∈?，有 .0)('≠z f
注2：这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而z e w =在整个z 平面上不是单叶的.
定理(Theorem)6.2设函数)(z f w =在0z z =解析，并且
0)('0≠z f ，那么)(z f 在0z 的一个邻域内单叶解析.
定理(Theorem)6.3设函数)(z f w =在区域D 内解析，并且不恒等于常数，则)(1D f D =是一个区域.
注3：如果)(z f w =在区域D 内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D 双射成区域)(D f .于是)(z f 有一个在)(D f 内确定的反函数)(w z ?=.
定理(Theorem)6.4设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则
)(z f w =在)(D f 内存在单叶解析的反函数)(w z ?=，且
.)
('1
)('z f w =
? 证明：考虑以下思路：)(0D f w ∈?，有D z ∈?0
,1)
()(0
000
0z z w w w w z z w w w w --=--=
--?? 因为当0w w →时，)()(00z z w z ??=→=，所以
,)
('1
)()(lim 1
lim 1)
()(lim
000000
0000
z f z z z f z f z z w w w w w w z z z z w w =???? ?--=???? ??--=--→→→??
即可给出定理的证明.
2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative)
设函数)(z f w =是区域D 内的单叶解析函数.
)(,000z f w D z =∈.则有0)('0≠z f .过0z 作一条简单光滑曲线C ：
),()()()(b t a t iy t x t z z ≤≤+== ]),[()(000b a t z t z ∈=.
)(')(')('t iy t x t z dt
dz
+== 则)(0t z '存在，且0)(0≠'t z
作过曲线C 上点)(00t z z =及)(11t z z =的割线，割线的方向向量为
0101t t z z --，当1t 趋近于0t 时，向量0101t t z z --与实轴的夹角0
101arg t t z
z --存在极限，即为曲线C 在0z z =的切线的位置.已知
,0)('lim
00
10
10
1≠=--→t z t t z z t t 所以，有
),('arg arg
lim 00
10
10
1t z t t z z t t =--→ 这就是曲线C 在)(00t z z =处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的. 函数)(z f w =把简单光滑曲线C 映射成一条简单曲线Γ：
),())((1t t t t z f w o ≤≤=
由于())('))(('000t z t z f t w ='，可见Γ也是一条光滑曲线；它在0w 的
切线与实轴的夹角是
()),('arg ))(('arg )('))(('arg arg 00000t z t z f t z t z f t w +=='
因此，Γ在0w 处切线与实轴的夹角及C 在0z 处切线与实轴的夹角相差)('arg 0t z .
注4：这里的)('arg 0t z 与曲线C 的形状及在0z 处切线的方无关.
另外在
D 内过
0z 另有
一条简单光滑曲线)(:11t z z C =，函数)(z f w =把它映射成一条简单光滑曲线))((:11t z f w =Γ.和上面一样，1C 与1Γ在0z 及0w 处切线与实轴的夹角分别是)('arg 01t z 及
),('arg ))(('arg )('))(('arg 01010101t z t z f t z t z f +=
所以，在0w 处曲线Γ到曲线1Γ的夹角恰好等于在0z 处曲线C 到曲线1C 的夹角：
),('arg )('arg )('))(('arg )('))(('arg 001000101t z t z t z t z f t z t z f -=-
因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性.
下面再说明它的模的几何意义.因为
,|
||
)()(|lim
|)('|0000z z z f z f z f z z --=→
由于|)('|0z f 是比值
|
||
)()(|00z z z f z f --的极限，它可以近似地表示这
种比值.在)(z f w =所作映射下，||0z z -及|)()(|0z f z f -分别表示z 平面上向量0z z -及w 平面上向量)()(0z f z f -的长度，这里向量0z z -及)()(0z f z f -的起点分别取在0z 及)(0z f .当较小
||0z z -时，
|)()(|0z f z f -近似地表示通过映射后，|)()(|0z f z f -对||0z z -的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0z z -的方向无关.我们把|)('|0z f 称为在点0z 的伸缩率.
从几何直观上来看.设)(z f w =是在区域D 内解析的函数，
0)(',),(,00000≠∈=∈z f D z z f w D z ，那么)(z f w =把z 平面上半
径充分小的圆ρ=-||0z z 近似地映射成w 平面上圆
),0(|)('|||00+∞<<=-ρρ
z f w w
因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性.
二、共形映射的概念(The concept of conformal mapping) 定义(Definition)6.1对于区域D 内的映射)(z f w =，如果它在区域D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射)(z f w =是第一类保角映射；
如果它在区域D 内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射)(z f w =是第二类保角映射.
定理(Theorem)6.5如)(z f w =在区域D 内解析，且
0)(≠'z f 则)(z f w =所构成的映射是第一类保角映射.
定义(Definition)6.2设)(z f w =是区域D 内的第一类保角映射，如果当21z z ≠时，有()21)(z f z f ≠，，则称)(z f 为共形映射.
例1z e w =在复平面上解析，且0)(≠='z z e e ，因此z e 在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域π4Im 0<§6.2共形映射的基本问题
(The basic problem of conformal mapping) 一、共形映射的基本问题(The basic problem of conformal
mapping)
对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题.
问题一 对于给定的区域D 和定义在D 上的解析函数
()z f =ω，求像集()D f G =，并讨论()z f 是否将D 共形的映射为G .
问题二 给定两个区域D 和G ，求一解析函数()z f =ω，使得()z f 将D 共形的映射为G .
对于问题二，我们只需考虑能把D 变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数()z f =ξ把D 变为1<ξ，而函数()ωξg =把G 变为1<ξ，则()()z f g 1-=ω把D 映射为G （下图）.
二、 解析函数的保域性与边界对应原理(Analytic functions of protection domain and the boundary correspondence principle ) 对于问题一，有下面两个定理.
定理(Theorem)6.6（保域性定理） 设函数()z f 在区域D 内
解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =是区域.
定理(Theorem)6.7 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f =ω在C D D Y =上解析，且将C 双方单值的映射成简单闭曲线Γ.当z 沿C 正向绕行时，相应的ω的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f =ω将D 共形的映射为G .
注1：定理6.6说明了解析函数把区域变为区域， 注2：定理6.7为像区域的确定给出了一个一般性的方法. 注3：是Γ的方向.（如下图），区域D 在曲线C 的内部，在
C 上沿逆时针方向取三个点321,,z z z ，函数()z f =ω将C 于
321,,z z z 分别映射为Γ和321,,ωωω.若321,,ωωω也按逆时针方向
排列，则像区域G 在Γ的内部.
例1 设区域???
???<<<<=10,2arg 0:z z z D π，求区域D 在映
射3z =ω下的像区域G .
解：（如下图），设区域D 的边界为321C C C ++，其中1C 的方程为θi e z =（θ从0到
2
π），相应的像曲线1Γ的方程为 ?θωi i e e ==3（?从0到
2
3π）； 2C 的方程为iy z =（y 从1到0），相应的像曲线2Γ的方程为
()iv y i =-=3ω （v 从-1到0）
3C 的方程为x z =（x 从0到1），相应的像区线3Γ的方程为
u x ==3ω（u 从0到1）.
因此像区域为
()b
????
??
<<<<=23arg 0,10:πωωωG .
三、 共形映射的存在唯一性(Conformal mapping of the existence and uniqueness)
1、问题二函数的存在性：当区域D 是下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之保形地映射为单位圆内部.第一，区域是扩充复平面；第二，区域是扩充复平面除去一点（不妨设为∞点，如果是有限点z ，只需做一映射0
1
z z -=
ξ即可）.无论哪一种情况，如果存在函数)(z f =ω将它们共形映射为1<ω，则
)(z f 在整个复平面上解析，且1)(3.4）)(z f 必恒为常数.这显然不是我们所要求的映射.
2、问题二函数的唯一性： 一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数0θ，映射0θωi ze =均把单位圆内部映射为单位圆内部.
那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（Riemann ）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理.
定理(Theorem)6.8（黎曼存在唯一性定理） 设D 与G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数)(z f =ω 把D 保形的映射为G .如果在D 和G 内在再分别任意指定一点0z 和0ω，并任給一实数)(00πθπθ≤<-，要求函
数)(z f =ω满足00)(ω=z f 且00)(arg θ='z f 则映射)(z f =ω是唯一的.
注4：黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法.
2 1
§6.3 分式线性映射
分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.
1、理解分式线性函数所构成的映射
2、掌握分式线性映射的性质
3、切实掌握两个典型区域间的映射
分式线性映射的保圆性、保行性
解析函数的保域性与边界对应原理分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件
讲授法多媒体与板书相结合
P习题六：4-9
164
一、分式线性函数及其分解
二、分式线性映射的保圆性
三、分式线性映射的保行性
四、分式线性映射的保对称点性
五、两个典型区域间的映射
[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.
[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.
[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握分式线性函数所构成的映射
第二讲
授课题目：§6.3 分式线性映射；
教学内容：分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、
两个典型区域间的映射.
学时安排：2学时.
教学目标：1、理解分式线性函数所构成的映射；
2、掌握分式线性映射的性质；
3、切实掌握两个典型区域间的映射；
教学重点：分式线性映射的保圆性、保行性；
教学难点：分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件；
教学方式：多媒体与板书相结合.
P习题六：4-9
作业布置：
164
板书设计：一、分式线性函数及其分解；
二、分式线性映射的保圆性；
三、分式线性映射的保行性；
四、分式线性映射的保对称点性；
五、两个典型区域间的映射
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出
版社；
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等
教育出版；
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第
二版）2005年5月；
4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等
教育出版社，2008年4月；
课后记事：基本掌握分式线性函数所构成的映射；
教学过程：
§6.2 分式线性映射
（The fraction linearity mapping ）
形如：
d
z c b
az w ++=
的函数，称为分式线性函数.其中d c b a ,,,是复常数，而且
0≠-bc ad .在0=γ时，我们也称它为整式线性函数. 一、 分式线性函数及其分解
(Fractional linear function and its decomposition) 一般分式线性函数总可以分解为下列四种简单函数复合： （1）α+=z w （α为一个复数）； （2）z e w i θ=（θ为一个实数）； （3）rz w =（0>r ）； （4）、z
w 1
=. 例2 将分式线性函数i
z z
w +=
2分解为四种简单函数复合 解：??
? ??++=+-+=+=-i z e i z i
i z z w i 1222222π
，其复合过程为
w z z z z z z z e
z z i
z i ??→??→???→??→??→?++-2
42321
1432
21
π
1、平移、旋转与相似映射 (1) 平移映射：α+=z w
令iy x z +=，21ib b b +=，iv u w +=，
则有1b x u +=，2b y v +=，它将曲线C 沿b 的方向平移到曲线γ
(2)旋转映射：z e w i θ
=
令0θi e z =，则有)(0θθ+=i e w ，它将曲线C 绕原点旋转到曲线γ. (3 ) 相似映射：rz w =
令θ
ρi e z =，则有
θρi e r w =，它将曲线C 放大（或缩小）到曲线γ 2、反演映射：z
w 1
=
令θi re z =，则有)(1
θ-=i e r w 即z
w 1=，z
w arg arg -=
由z
w 1=可知，当1w ；当1>z 时，1w 1
=
的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到将单位圆外部（或内，部）且辐角反号.反演映射z
w 1
=可
以分两步进行，第一步，将z 映射为z w 11=
:z
w 1
1=,且 z w arg arg 1=
再将1w 映射为w 满足: 1
w w
=,且11arg arg w w -=
定义 6.3设某圆的半径为B A R ,,为两点在从圆心出发地射线
上，且2
R B o A o =?,则称B A 与是关于圆周对称的.即
设已给圆)0(|:|0+∞<<=-R R z z C ，如果两个有限点1z 及2z 在
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 梁市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题容由四部分构成：关于函数容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等. 一、关于函数容的深层理解 （一）函数概念的发展史简述 数学史角度：早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几 何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton，1642—1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]. Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）. Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象. （二）初高中函数概念的区别与联系 1．初中函数概念：
第6章共形映射
105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α== （B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）. 平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下，将|1|1z -<映射为（ ）. （A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<，即 222x y x +<，故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选（C ）. 解2 1 w z = 是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . （C ）. 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为（ ）. （A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性，知1 w z =将1y =映射为直线 或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）
复变函数
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 [编辑本段] 内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和 复变函数说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也
《函数的概念与性质》教案设计.
《函数的概念与性质》教案设计 2019-02-16 一、学习要求 ①了解映射的概念，理解函数的概念； ②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题． 二、两点解读 重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题． 难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的.分布． 三、课前训练 1．函数的定义域是（ D ） （A）（B）（C）（D） 2．函数的反函数为（ B ） （A）（B） （C）（D） 3．设则． 4．设，函数是增函数，则不等式的解集为 (2,3) 四、典型例题
例1设，则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 解：∵在中，由，得，∴ ， ∴在中，． 故选B 例2已知是上的减函数，那么a的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 解：∵ 是上的减函数，当时，，∴ ；又当时，，∴ ，∴ ，且，解得：．∴综上，，故选C 例3函数对于任意实数满足条件，若，则 解：∵函数对于任意实数满足条件， ∴ ，即的周期为4， 例4设的反函数为 ,若× ，则 2 解： ∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 （另解∵ , 例5已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？ 解：令，则方程 的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示）， 故有：，所以：， 解之得：
复变函数与积分变换第六章测验题与答案
第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im( w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(> z （D ）2 2 )Im(->w 5．下列命题中，正确的是( ) （A ）n z w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数） （B ）映射z z w 43 +=在0=z 处的伸缩率为零 （C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f = （D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(2 2 =-+-y x 的对称点是( )
（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π<w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(z 映射为( ) （A ）ππ <<- w arg 2 （B ） 0arg 2 <<- w π （C ） ππ <z 映射成圆域2共形映射的概念和性质
第一节共形映射的概念 一、两曲线的夹角 二、解析函数导数的几何意义 三、共形映射的概念 四、小结与思考
一、两曲线的夹角 ) (,)(βα≤≤=t t z z 正向: t 增大时, 点z 移动的方向.如果规定: t p p 正向对应于割线0p p 0 , 那么增大的方向. )()( 00同向与t t z t t z Δ?Δ+平面内的有向连续曲线C 可表示为: z y x C ..0 p p )(0t z ) (0t t z Δ+
)() ()(lim 0000t z t t z t t z t ′=Δ?Δ+→Δ当p , 0时p p p 0处切线 上 0p C ,,0)( 00βα<<≠′t t z 如果的向量那么表示)(0t z ′). ( 0t z z C =相切于点与方向与C 一致.C ..0 p p ) (0t z ) (0 t t z Δ+)(0t z ′y x C 沿
00)()(z C z t z 上点为起点为的方向若规定′处切线的正向, 则有 x 轴正向之间的夹角. 处的切线的正向与 上点就是00)( Arg .1z C t z ′C . z y x ) (0t z ′) (Arg 0t z ′
2 C 1 C 正向之间与相交于一点的两条曲线21 .2C C 之间的夹角.)(Arg )(Arg 0102 t z t z ′?′. z ),(:11t z z C =; )(:22t z z C =). ()(02010t z t z z ==向 在交点处的两条切线正与就是的夹角21 ,C C
第六章例题
1．精馏塔中恒摩尔流假设，主要依据是各组分的________ ，但精馏段与提馏的摩尔流量由于________影响而不一定相等。 2．溶液的相对挥发度等于两组份________ ，а>1则表示组分Ａ和Ｂ________ ，а=1则表示组分Ａ和Ｂ________ 。 3．当某塔板上_______________时，该塔板称为理论塔板。 4．精馏过程的回流比是指________ ，最小回流比是指________。 5．在设计连续操作的精馏塔时，如保持x F，D/F，x D，R一定，进料热状态和选用的操作气速也一定，则增大进料量将使塔径________ ，而所需的理论板数 ________。 6.塔设计中求取精馏理论板时，以过两操作线交点的那块板作为最佳加料板位置时，所需理论数量最少，其原因是________ 。 7．精馏塔操作时，若加料板由最佳位置上移两板，则x D ________，x W ________ 。（1）变小(2 )变大(3)不变(4)不确定 8．某操作中的精馏塔，维持F、q 、X D、、V′不变，但XF增大，则D________ ，R ________ 。 （1）变小(2 )变大(3)不变(4)不确定 9．填料塔设计时，空塔气速一般取________气速的60%-80%，理由________ 。若填料层高度较高，为了有效地湿润填料，塔内应设置________装置。一般而言，填料塔的压降________板式塔压降。（＞，＝，＜＝) 15．未饱和湿空气与同温度水接触，则传质方向为________。若未饱和空气中的水汽分压与水表面的饱和蒸汽压相同，则传热方向为________ 。
第一节映射与极限
第一章 教学内容与基本要求： 1、理解函数的概念。了解函数奇偶性、周期性、单调性和有界性。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 2、理解极限的概念（对极限ε─N ，ε─δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求），了解极限的性质。 3、掌握极限四则运算法则。 4、了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 5、了解无穷小、无穷大的概念，会讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。 6、理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间上连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。 第一节 映射与函数 ㈠．本课的基本要求 理解函数的概念。了解函数的基本性态。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 ㈡．本课的重点、难点 重点是复合函数的概念，难点是函数的基本性态。 ㈢．教学内容 引言──微积分的主要内容和思想方法 微积分是现代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展具有十分巨大的影响，而且作为强有力的工具，在几乎所有的科学（自然科学、社会科学和人文科学）领域里得到了广泛的应用。 微积分诞生于17世纪下半叶，但其思想的萌芽可追溯到2500多年关的古希腊人，我国古代也有一些精妙的思想和做法。在对由直线围成的图形面积计算的同时，人们一直试图计算由曲线围成的图形的面积，计算圆的周长、圆的面积等这样一些著名问题一直吸引着许许多多的智者。在两千多年不屈不挠的努力过程中，人们对许多具体问题建立了一些富有创见的解法。经过反复认识和不断积累，人类对运动、变化、弯曲、连续等客观世界模式终于有了比较清晰的认识。随着生产的发展和科学的进步，到17世纪时，求运动物体的速度和位移、求曲线的切线和曲线的长度、求由曲线所围的平面图形的面积和由曲面所围的空间立体的体积、求物体之间的引力等问题成为当时迫切需要解决的一些主要科学问题。伟大的物理学家Newton 和哲学家Leibniz 由于本身科学工作的需要（例如Newton 计算瞬时速度和万有引力，Leibniz 计算曲线的切线等），在前人思想方法和计算方法的基础上，分别独立地建立了用于解决一类广泛问题的普遍方法和计算法则──微积分，极大地影响了数学以及整个科学的发展。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一。 现今，微积分已成为现代科学技术必备的一块“敲门砖”，是大学数学基础教育最基本的组成部分之一。微积分的学习，不应该仅仅局限于学会一些计算方法，其间的思想方法将更有益于我们去认识客观世界。 一．介绍函数、极限、连续在本课程的地位 集合与映射我们在中学已经学过，以后也不用，这里就不再介绍。 二．邻域 邻域是一个经常用到的概念。以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记为)(0x U 。
复变函数论 第七章 共形映射
7．1解析函数的特性 教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程： 前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性. 定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是 一个区域. 证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集. 首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈， 使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线 =≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z . 于是： 12:[()]() w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而, 由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线 Γ. 从以上两点，表明()G f D =是区域. 推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数. 定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且' 0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解 析. 由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的
新版未来10年中国数学发展战略-新版.pdf
未来10年中国数学发展战略 未来十年我国优先发展领域与重大交叉研究领域 一、基础数学 包括数论与代数、几何与拓扑以及分析三大部分。历史遗留的问题，如波奇和 斯温纳顿－戴雅猜想（Birch and Swinnerton Dyer conjecture）,Hodge conjecture,Riemann假设和Yang－Mills量子理论等。 二、应用数学 包括常微分方程与动力系统，偏微分方程，概率论，组合论，运筹学。 待解决的问题：流体运动，从微观到介观、再到宏观的数学建模及其理论基础； 纳维－斯多克斯方程的光滑性；P与NP问题。 三、计算数学与科学工程计算 高性能计算中的一些瓶颈问题。包括流体计算，电磁场计算，幅射物理计算， 纳米计算和物理计算中的先进算法研究，多尺度模型的分析与计算，以及非平衡态 的计算。 四、统计学与海量数据分析 高维数据、缺失数据和复杂结构数据的分析。 由复杂现象产生的海量高维数据开展“数据驱动”的研究。 五、数学与其他学科交叉的若干重大问题 包括蛋白组学，系统生物学，脑科学与认知科学，量子计算和量子调控，纳米 材料，复杂系统的控制等。 六、重点研究方向： 1.数论与代数中的前沿问题。主要研究内容：Langlands纲领，算术代数几何，Riemann猜想，Diophantus逼近，超越数论，模形式，代数数论，Lie理论，群及其表示，代数K－理论，现代模论，微分算子代数，非半单代数的表示理论，群上调和分析，多元自守形式和多元超几何函数，代数组合论，代数编码等。 2.流形的几何与拓扑。主要研究内容：整体微分几何研究；流形上的度量的局部 不变量与整体性质的关系。近年来物理产生的微分几何问题倍受关注，各种模空间的 研究成为热点。 3.现代分析及其应用。主要研究内容：①复分析前沿交叉应用。复动力系统，拟 共形映射与Teichmuller空间理论，值分布理论和正规族理论，共形不变量与Schramm-Loewer-Evolation,调和拟共形映射理论，Klein群理论，Circle packing与离散几何、多复变函数论与复几何、自守形式。②算子代数与泛函分析交叉应用。不变子 空间问题及其相关代数算子，非交换几何及其在几何、拓扑和物理中的应用，自由概 率论及因子分类，Banach空间及算子空间理论，非线性泛函分析中的大范围变分及拓 扑方法及其在偏微分方程中的应用。③调和分析前沿方法与交叉应用。经典调和分析， 几何测度论，非交换调和分析，度量空间上的调和分析，小波分析，调和分析在微分 方程中的应用，应用与计算调和分析及其在信息科学中的应用。 4.微分方程与动力系统的理论与应用。主要研究内容：非线性方程解的适定性、正则性和渐近性态，混合型及变型微分方程定解理论、高维双曲守恒律的激波理论、 非线性（包括完全非线性）椭圆或抛物型方程定解理论，非线性波动理论，自由世界 问题，非可积系统，散射理论和弥散效应等。动力系统的各种重要运动形式和定性理 论与分岔理论，运动轨道的拓扑结构及稳定性，不变集和KAM理论，吸引子及分形和混沌理论等。 5.随机分析及应用。主要研究内容：倒向随机微分方程与非线性期望理论及其应
压缩映射原理的性质和应用
压缩映射原理的性质和应用 摘要 本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下： 第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。 第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。 第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。 第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。 第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。 关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程
ABSTRACT In this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc. Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation
第一章：集合、函数的概念及基本性质复习(2课时)
第一章：集合、函数的概念 及基本性质复习（2课时） ___________ 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集 合问题时，尤其要注意元素的互异性。 例：（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5} P = }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈， 则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个 2.遇到 A B =? 时，注意“极端”情况：A =?或 B =?；同样当A B ?时，注意?=A 的 情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 实数p 的取值范围. ，则实 数a ＝______. ②已知集合 A={}{} 01m 2,02322 =-++=+-x x x B x x x ， 若 B B A = ,求实数m 的取值范围。 ③已知集合A={x ∣-2≤x ≤5},集合B={x ∣p+1≤x ≤2p-1},若A ∩B=B,求实数p 的取值范围. 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2，12-n ，12-n .22-n 例：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 4.集合的运算性质: （设全集为U ） ⑴A B A B A =?? ；⑵A B B B A =?? ⑶A B ??B C A C u u ? (4）B A U B A C U ??=?)(； （5）()U C A B U U C A C B = ； （6）()U U U C A B C A C B = . 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合 的代表元素。 如：{} 2 1x y x =+指函数的定义域；{}21y y x =+指函数的值域；{} 2 (,)1x y y x =+指函数图象上的点集。 例：设集合 {|} M x y =，集合N ＝ {}2 |,y y x x M =∈，则M N = ___ 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例：已知函数 12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区 间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ， 求实数p 的取值范围。 例：①集合{|10}A x ax =-=， {}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实 数a ＝______.
数学学习路线
数学学习路线 大学数学基础课是数学分析，高等代数，概率三门。 数学分析（或叫做高等数学，微积分）经典名著太多了，比如菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，柯朗的《微积分和数学分析引论》，卓里奇的《数学分析》，还有美国教材《托马斯微积分》，都是好书，不过这些都是惶惶巨著，需要下大功夫研读，如果想从很浅的基础开始看，可以看《普林斯顿微积分读本》。所有这些都比国内教材（比如同济的）好很多很多。如果英语基础好的话直接看英文版的，否则看中文的也行。 高等代数（或者叫做线性代数），可以看David https://www.360docs.net/doc/6612895523.html,y的《线性代数及其应用》，这本书入门级别，但是质量很高，掌握之后可以看《线性代数应该这样学》，看完线性代数后还觉得不过瘾，可以看高等代数，或者矩阵分析，矩阵理论等等教材，有了线性代数的基础，就有了免疫力，不至于被国内的枯燥教材弄恶心了。 概率论，看国外的最好 这三门学完后，就可以进阶了，首先是在这三门的基础上进阶，数学分析进阶可以看实变函数方面的书，比如《陶哲轩实分析》，不过这本书偏重数学分析的内容，算是对数学分析的深化理解。高等代数进阶刚才说过了，可以看矩阵分析方面的书。多个方向同时进阶可以看咱们华罗庚的《高等数学引论》。
数学的主要几个分支大概是：代数，几何，分析，概率，离散，计算，当然分类不是唯一的。进阶结束之后就可以向着这些方向进发了： 代数方面的，可以看Artin的《代数》，算是入门书，看完之后就可以看代数里的各个方向的著作，比如数论，群论，环，域，拓扑等等。这些方面也是经典著作云集，以国外的为主。 几何方面的，其实几何与代数到了最后好像要统一了。可以先看解析几何入门，然后进入微分几何，黎曼几何，流形，射影几何，画法几何，双曲几何等等。几何与代数统一叙述的著作，可以看代数拓扑，代数几何，代数曲线，同调论方面的书。 数学中最大的一个分支应该是分析吧，它主要包括：实分析，复分析，泛函分析，调和分析，向量分析，张量分析，场论，函数论，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分变换，变分法，特殊函数等等。分析这方面相比代数之类的方向来说，更加偏应用一些。这些方面好书实在太多了，首先就是stein的四部曲：《傅里叶分析》，《实分析》，《复分析》，《泛函分析》。这四部书不厚，但是内容多，不过只要懂微积分和线性代数就可以学习了。 复分析还可以看拉夫连季耶夫的《复变函数论方法》，以及一本超级好书：《复分析：可视化方法》，前者讲复分析的方法（主要是共形映射）在各个物理，经济等学科里的应用方法，后者主要是把复变函数的抽象思想用非常美的图形表现出来，而且很深刻。
函数与映射的概念主要知识梳理
函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素： 定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数 分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素： 原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射） 3、求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=； （3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质： （1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域； （2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称； （3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)
