第六章 共形映射

第六章 共形映射

6.1解：'

2w

z =

（1）'''(1)2,|(1)|2,arg (1)0w w w ===，伸缩率为2，旋转角为0

（2）'''1111(),|()|,arg (1)4242w w w π-=--==，伸缩率为1

2，旋转角为π

（3）'''(1)2(1),|(1)|(1)4

w i i w i w i π

+=++=+=，伸缩率为为

4

π （4）'''4

(34)2(34),|(34)|10,arg (34)arctan 3

w i i w i w i π-+=-+-+=-+=-，伸缩

率为10，旋转角为4

arctan 3π-

6.2解：令11w u iv z x iy =+==+，则可以得到2222,u v x y u v u v

-==++ （1）2222

,u v x y u v u v

-=

=++代入224x y +=得到22

14u v += （2）2222

,u v

x y u v u v -==++代入x y =得到u v =- （3）2222

,u v x y u v u v -==++代入1

x =得到22u v u +=整理得22

11()24u v -+= （4）2222,u v x y u v u v -==++代入22

(1)1x y -+=得到2222222

2()u v u u v u v

+=++整理得12u =

6.3解： （1）分式线性变换z i

w z i

-=

+把0,0x y >>变成下半单位圆域，把上半虚轴变成实轴上[1,1]-，把正半实轴变成下半单位圆

（2）分式线性变换(1)w i z =+，将Im 0z >区域按逆时针方向旋转

4

π

，得到区域Im Re w w >

（3）分式线性变换1z w z =

-把正实轴变成了不含(0,1)的实轴，把arg 4

z π

=变成

11

|(1)|22

w i --=的实轴下面部分

（4）分式线性变换i

w z

=把虚轴上0i →变成实轴上的(1,)∞，把正实轴变换成

上半虚轴，把z a i =+变成了11

||22

w -=的上半圆。

6.4解：

2w z =把上半单位圆映射成为||1w <，并且沿正实轴割开。

6.5解： （1）

11::

1111w i w z z i i i i i --+-∞

=+-+-+-∞

，化简可以得到11(1)w i z w i i -+=-+ 进而可以得到22z i

w z i

++=+-

（2）1::111w w i z z i i i -∞-+-∞=-∞-+-∞，化简可以得到111

i z w i i -+=

-+ 进而可以得到(1)2

1

i z w z ++=+

（3）01::

1011w w z z i i --∞+-∞=--∞+-∞，化简可以得到11

z w i +=+ 进而可以得到1(1)2

i

w z -=+

6.6解：

（1）令

1z =

将z 平面上的区域||2,Im 0z i z +<>变成1z 平面上的角形区

域14arg 3z ππ<<，令321z z =，将1z 平面上的角形区域14

arg 3z ππ<<变成2z 平

面上的下半平面，然后令2w z =-，则将下半平面变成了w 平面的上半平面，综合上面变换可得到所求线性变换为

3w =-

（2）两个圆的交点是1z =±，令11

1z z z +=

-，将z 平面上的区域

|||z i z i +>-<1z 平面上的角形区域135arg 44

z ππ

<<，令221z z =，将

1z 平面上的角形区域135arg 44z ππ<<变成2z 平面上的角形区域1arg 22

z ππ

-<<，

令2w iz =-，可以将2z 平面上的角形区域1arg 2

2

z π

π

-

<<

变成上半平面，综合可

以得到2

1(

)1

z w i z +=-- 6.7解：将上半平面映射为单位圆内部的分式线性变换为00

i z z w e z z θ

-=-

（1）0z i =，2π

θ=-

，所以z i

w i

z i -=-+

（2）0z i =，2πθ=，所以z i

w i z i -=+

（3）利用保对称点性质，可以知道，,1,z i i =-

变成w =

交比性质可以得到w =

（4）0z i =，θπ=，所以z i

w z i

-=-

+ 6.8解：将单位圆映射为单位圆内部的分式线性变换为001i z z w e z z

θ

-=-

（1）012z =，θπ=，所以1

2121212z z w z z -

-=-

=-- （2）012z =，2πθ=，所以12121212

z z w i

i z z -

-==-- 6.9解：（1）

令1z =

将z 平面上的区域||2,Im 1z z <>变成1z 平面上的

角形区域14arg 3z ππ<<，令321z z =，将1z 平面上的角形区域14

arg 3z ππ<<变

成2z 平面上的下半平面，然后令2w z =-，则将下半平面变成了w 平面的上半平面，综合上面变换可得到所求线性变换为

3w =-

（2）令41z z =，将z 平面上的区域0arg ,||24

z z π

<<

<变成1z 平面上的半圆区域

110arg ,||16z z π<<<，令12116

16

z z z +=

-，将1z 平面上的半圆区域

110arg ,||16z z π<<<变成2z 平面上的

arg 2

z π

π<<，然后令2

2

w z =-，则将下半平面变成了w 平面的上半平面，综合上面变换可得到所求线性变换为

42

416()16

z w z +=--

（3）将带形区域Re a z b <<变成上半平面的变换为()i

z a b a

w e π--=

（4）将区域3||2,0arg 2

z z π

><<

变成上半平面的变换为223

3

22

2

33

2()2z w z +=-- （5）将||1z <，沿0到1有割逢的区域变成上半平面的变换为12

2

1

21()1

z w z +=-