1.1 随机事件的概率
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若试验目的是观察朝上的颜色，则样本空
间Ω={红，黑，蓝}
例1：写出下列随机试验的样本空间：
1、抛掷2枚硬币，观察硬币朝上的情况。
2、连续抛一枚硬币，直至出现正面为止。
（提示：记正面为H，反面为T） 3、某城市一天中诞生的婴儿数。
文氏图（维恩图）
A Ω
二、事件的关系：
包含关系、相等关系、互斥关系 1) 包含关系
（四）概率的主观定义
凯恩斯主张把任何命题都看做事件，人们
对这些事件的可信程度就是概率，而与随 机试验无关，通常称为主观概率。
（五）概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给 出了概率的公理化定义.
即通过规定概率应具备的基本性质来定义 概率.
定义 设 E 是随机试验，Ω 是它的样本空间，
对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记 为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函 数 P( . ) 满足下列条件： 0 1 0 P( A) ; （非负性）
对随机现象，在相同条件下可重复进行的观
察或试验称为随机试验，简称试验，一般用 E表示。 随机试验具有以下三个特征： 1.可重复性： 可以在相同的条件下重复地 进行; 2. 可知性：每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;
3.不确定性： 进行一次试验之前不能确定
其中m(Ω)是样本空间的度量，m(A)是构
成事件A的子区域的度量。
这样借助于几何上的度量来合理规定的概
率称为几何概率。
例8 设公共汽车每隔5min一班，乘客随机地
来到车站，求乘客在车站等车不超过 1min的概率。
分析：由于乘客在5min内的任一时刻到
达都是等可能的，符合几何概率的等可 能性和无限性，同时，只有一个因素 （乘客到达的时间t）在变，所以可用 几何上的长度来测度，
A B A B, A B A B
例3：利用事件运算律证明以下等式：
证明：
AB ( A B) A
由于A B AB , 则 AB ( AB ) A AB ( A B) A
A( B B ) A A A
A
Ω
c
BA
A 或A
思考：事件A和事件B互不相容与事件A和
事件B互为对立事件的区别.
（3） 差事件：
事件A发生且B不发生
A
B
Ω
A B
A B AB A AB
例2：某建筑公司在三个地区各承建一个项
目，定义如下三个事件： Ei=“地区i的项目可按合同期完 成”i=1,2,3 问如何用Ei表示以下事件“A——F”？
（二）、概率的几何定义 概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限, 如果样本空间中的样本点有无限个,概率 的古典定义就不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点的 场合,人们引入了几何概型. 由此形成 了确定概率的另一方法——几何方法.
定义1
若对于一随机试验，样本空间Ω所含的样
逆分配律
了解概率的发展：
尽管18,19世纪，概率论在理论和应用方
面得到了很多成果，但与其他数学分支比 较，概率论的发展时缓慢的，甚至知道20 世纪初叶还未进入主流数学，其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础。
概率的公理来自百度文库问题！
1921年以凯恩斯为代表的“主观概率学派”
凯恩斯主张把任何命题都看做事件，人们
K •皮尔逊 24000 12012
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性 大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所 得到的频率可以各不相同，但只要n相当大， 频率会趋于某个稳定值.
统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事 件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A 的统计概率.
统计概率的缺点： （１）需要大量的重复试验． （２）得到的是概率的近似值．
A=“至少一个项目可按期完成” B=“所有项目都可按期完成” C=“没有一个项目可以按期完成”
D=“仅仅地区1的项目可按期完成”
E=“三个项目中只有一项可按期完成”
F=“或者仅地区1的项目可按其完成或者另两个项目同时
按期完成”
练习： (1) A1
A3
A2
(2) A1
A2
A4
第k次取球的概率与k无关，即无论第几次摸球，
摸到红球的概率都一样。 这一结果与我们日常生活经验是一致的。例如 在抽签、摸彩等活动中，各参加者的机会均等， 与先后次序无关。
例7 全班r个人至少有2人生日相同的概率？
思考 某信访站，某星期12次来访都在周二和
周四，问接待时间有无规定？
五、概率（Probability,P，Prob.）
概率的定义
概率是随机事件发生可能性大小的数字表
征，即概率是事件的函数。
（一）概率的古典定义 1、定义 如果一个随机试验E具有以下特征
(有限性)
(1)试验的样本空间中仅含有有限个样本点；
（等可能性） (2)每个样本点出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型。
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件的概率
§1.2 加法公式
§1.3 乘法公式
§1.4 全概公式
§1.1 随机事件的概率
一、概念
二、事件的关系
三、事件的运算 四、随机事件的运算规律 五、概率
一、概念 确定性现象：在一定条件下结果确定的
现象。
随机现象：在一定条件下结果不确定的
2. 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为:
m A中样本点的个数 P ( A) . n 中样本点总数
称此为概率的古典定义.
例4 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝 “送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只 黄色、2只白色的乒乓球(体积、质地完成相同). 旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随 机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送 给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸 球者付给摊主2元钱。 (1)有多少基本事件数？ (2)摸出的3个球为黄球的概率是多少？ (3)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少? (4)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度 估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
A A A, A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C A B C A B A C
A B C A B C A B C A B C
事件A与B至少有一个发生
A
B
推广：
A =A A
k 1 k 1
n
A B 或 A B
2
An
（2） 积（交）事件：
事件A与B同时发生
A
B
AB 或 A B
推广：
A =A A A
k 1 k 1 2
n
n
（3） 对立（补）事件：
事件A不发生
例5 填空题 （1）把5本书随意放在书架上，则其中
指定的2本书放在一起的概率为（
（2）从5双不同的鞋子中任取4只，则
）
此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双 的概率是（ ）
例6
盒子中有a个红球，b个白球，它们除颜
色不同外，其它方面没有差别，现在随 机地一个个摸出来，求第k次摸出红球的 概率（1≤k≤a+b）？
如在掷骰子试验中，观察朝上的点数 .
必然事件:
样本空间Ω本身；
不可能事件: 空集Φ；
基本事件: 由一个样本点组成的单点集； 复合事件：两个或两个以上样本点组成的
集合。
如在掷骰子试验中，观察朝上的点数 .
Ai ={i}，i=1,2,3,4,5,6为基本事件 事件 B={1,3,5}为复合事件
事件
随机试验、样本空间与随机事件的关系：
每一个随机试验相应地有一个样本空间,
样本空间的子集就是随机事件.
随机试验 样本空间
子集
随机事件
对于一个随机试验，目的不同，建立的样
本空间可能不同： 如投掷骰一枚均匀的相对二面分别用红、 黑、蓝三种颜色涂点的骰子 若试验目的是观察朝上的点数，则样本空 间为Ω={1，2,3,4,5,6}
哪一个结果会出现.
实例：抛掷一枚硬币，观察朝上的情况；
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结
果会出现.
故为随机试验.
如
投掷一枚骰子，观察朝上面的点数；
从一批灯泡中任取一只，测量其寿命；
在充分多次试验中，事件的频率总在一个 定值附近摆动，而且，试验次数越多，一 般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定 性.
请看下面的试验
实验者 n nH f n ( H) 0.5181 0.5096
德•摩根
蒲 丰
2048
4040
1061
2048 6019
K •皮尔逊 12000
0.5016
0.5005
如果A发生必导致B发生
A
B
A B
2) 相等关系：
事件A与B是同一个事件
A
B
A B A B, 且 B A.
A B
3) 互斥（互不相容）关系：
事件A与B不可能同时发生
A
B
概念：两两互斥
三、事件的运算：
和事件、积事件、对立事件、差事件
（1） 和（并）事件：
本点个数为无穷多个，且具有非零的有限 的几何度量，即0<m(Ω)< ,每个样本 点出现是等可能的（均匀分布），则称这 一随机试验是几何概型。 等可能性的理解：落在度量 (长度, 面 积, 体积) 相同的子区域是等可能的
定义2
当随机试验为几何概型，则事件 A 的概率可定义为
m ( A) P ( A) m ( )
A3
A4
如图(1)、(2)两个系统中，令Ai表示 第i个元件工作正常”, Bi表示“第i 个系统工作正常”. 试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2. 解: (1) B1 = A1A2∪A3 A4 (2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)
四、随机事件的运算规 律：
幂等律: 交换律: 结合律: 分配律: 对偶原理:
它具有下述性质: 1 0 f n ( A) ; （非负性） 2 f n ( ) 1; （正规性）
3 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容事件，则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak ) （可加性）
例9 （会面问题）两人相约晚上7点到8点在
某地会面，先到这等候另一人20min,过 时就可离去，试求两人约会成功的概率。
y
o
x
阴影部分面积 p 正方形面积
（三）概率的统计定义
定义:在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为 事件 A 发生的频数。比值nA/n称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
对这些事件的可信程度就是概率，而与随 机试验无关，通常称为主观概率。 1928年以冯.米泽斯为代表的“客观概率 学派” 米泽斯定义的概率为该事件出现的频率的 极限，而作为公理就必须把这一极限的存 在作为第一条公理，这就是客观概率。
1933年以Kolmogorov为代表的“以测度论
为基础的概率公理化体系” 现代概率论的“诞生”，一个数学分支的 正式出现！
现象。 尽管随机现象其结果具有一定的不确定 性，但在观察次数足够大时，却呈现出 一定的统计规律性
如何来研究随机现象的规律性？
做随机试验！
说明：随机试验是一个广泛的术语.它包括
各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进 行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
随机试验的定义？
我们约定：
在分别写有0,1,…,9的十张卡片中随意抽取
一张，观察其上的数字。
样本点： 随机试验的每一个可能结果，用ω表示 样本空间 所有样本点构成的集合，用Ω表示 随机事件 样本空间的任意一个子集称为随机事件,
简称“事件”.记作A、B、C等 事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素
间Ω={红，黑，蓝}
例1：写出下列随机试验的样本空间：
1、抛掷2枚硬币，观察硬币朝上的情况。
2、连续抛一枚硬币，直至出现正面为止。
（提示：记正面为H，反面为T） 3、某城市一天中诞生的婴儿数。
文氏图（维恩图）
A Ω
二、事件的关系：
包含关系、相等关系、互斥关系 1) 包含关系
（四）概率的主观定义
凯恩斯主张把任何命题都看做事件，人们
对这些事件的可信程度就是概率，而与随 机试验无关，通常称为主观概率。
（五）概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给 出了概率的公理化定义.
即通过规定概率应具备的基本性质来定义 概率.
定义 设 E 是随机试验，Ω 是它的样本空间，
对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记 为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函 数 P( . ) 满足下列条件： 0 1 0 P( A) ; （非负性）
对随机现象，在相同条件下可重复进行的观
察或试验称为随机试验，简称试验，一般用 E表示。 随机试验具有以下三个特征： 1.可重复性： 可以在相同的条件下重复地 进行; 2. 可知性：每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;
3.不确定性： 进行一次试验之前不能确定
其中m(Ω)是样本空间的度量，m(A)是构
成事件A的子区域的度量。
这样借助于几何上的度量来合理规定的概
率称为几何概率。
例8 设公共汽车每隔5min一班，乘客随机地
来到车站，求乘客在车站等车不超过 1min的概率。
分析：由于乘客在5min内的任一时刻到
达都是等可能的，符合几何概率的等可 能性和无限性，同时，只有一个因素 （乘客到达的时间t）在变，所以可用 几何上的长度来测度，
A B A B, A B A B
例3：利用事件运算律证明以下等式：
证明：
AB ( A B) A
由于A B AB , 则 AB ( AB ) A AB ( A B) A
A( B B ) A A A
A
Ω
c
BA
A 或A
思考：事件A和事件B互不相容与事件A和
事件B互为对立事件的区别.
（3） 差事件：
事件A发生且B不发生
A
B
Ω
A B
A B AB A AB
例2：某建筑公司在三个地区各承建一个项
目，定义如下三个事件： Ei=“地区i的项目可按合同期完 成”i=1,2,3 问如何用Ei表示以下事件“A——F”？
（二）、概率的几何定义 概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限, 如果样本空间中的样本点有无限个,概率 的古典定义就不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点的 场合,人们引入了几何概型. 由此形成 了确定概率的另一方法——几何方法.
定义1
若对于一随机试验，样本空间Ω所含的样
逆分配律
了解概率的发展：
尽管18,19世纪，概率论在理论和应用方
面得到了很多成果，但与其他数学分支比 较，概率论的发展时缓慢的，甚至知道20 世纪初叶还未进入主流数学，其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础。
概率的公理来自百度文库问题！
1921年以凯恩斯为代表的“主观概率学派”
凯恩斯主张把任何命题都看做事件，人们
K •皮尔逊 24000 12012
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性 大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所 得到的频率可以各不相同，但只要n相当大， 频率会趋于某个稳定值.
统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事 件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A 的统计概率.
统计概率的缺点： （１）需要大量的重复试验． （２）得到的是概率的近似值．
A=“至少一个项目可按期完成” B=“所有项目都可按期完成” C=“没有一个项目可以按期完成”
D=“仅仅地区1的项目可按期完成”
E=“三个项目中只有一项可按期完成”
F=“或者仅地区1的项目可按其完成或者另两个项目同时
按期完成”
练习： (1) A1
A3
A2
(2) A1
A2
A4
第k次取球的概率与k无关，即无论第几次摸球，
摸到红球的概率都一样。 这一结果与我们日常生活经验是一致的。例如 在抽签、摸彩等活动中，各参加者的机会均等， 与先后次序无关。
例7 全班r个人至少有2人生日相同的概率？
思考 某信访站，某星期12次来访都在周二和
周四，问接待时间有无规定？
五、概率（Probability,P，Prob.）
概率的定义
概率是随机事件发生可能性大小的数字表
征，即概率是事件的函数。
（一）概率的古典定义 1、定义 如果一个随机试验E具有以下特征
(有限性)
(1)试验的样本空间中仅含有有限个样本点；
（等可能性） (2)每个样本点出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型。
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件的概率
§1.2 加法公式
§1.3 乘法公式
§1.4 全概公式
§1.1 随机事件的概率
一、概念
二、事件的关系
三、事件的运算 四、随机事件的运算规律 五、概率
一、概念 确定性现象：在一定条件下结果确定的
现象。
随机现象：在一定条件下结果不确定的
2. 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为:
m A中样本点的个数 P ( A) . n 中样本点总数
称此为概率的古典定义.
例4 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝 “送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只 黄色、2只白色的乒乓球(体积、质地完成相同). 旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随 机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送 给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸 球者付给摊主2元钱。 (1)有多少基本事件数？ (2)摸出的3个球为黄球的概率是多少？ (3)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少? (4)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度 估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
A A A, A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C A B C A B A C
A B C A B C A B C A B C
事件A与B至少有一个发生
A
B
推广：
A =A A
k 1 k 1
n
A B 或 A B
2
An
（2） 积（交）事件：
事件A与B同时发生
A
B
AB 或 A B
推广：
A =A A A
k 1 k 1 2
n
n
（3） 对立（补）事件：
事件A不发生
例5 填空题 （1）把5本书随意放在书架上，则其中
指定的2本书放在一起的概率为（
（2）从5双不同的鞋子中任取4只，则
）
此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双 的概率是（ ）
例6
盒子中有a个红球，b个白球，它们除颜
色不同外，其它方面没有差别，现在随 机地一个个摸出来，求第k次摸出红球的 概率（1≤k≤a+b）？
如在掷骰子试验中，观察朝上的点数 .
必然事件:
样本空间Ω本身；
不可能事件: 空集Φ；
基本事件: 由一个样本点组成的单点集； 复合事件：两个或两个以上样本点组成的
集合。
如在掷骰子试验中，观察朝上的点数 .
Ai ={i}，i=1,2,3,4,5,6为基本事件 事件 B={1,3,5}为复合事件
事件
随机试验、样本空间与随机事件的关系：
每一个随机试验相应地有一个样本空间,
样本空间的子集就是随机事件.
随机试验 样本空间
子集
随机事件
对于一个随机试验，目的不同，建立的样
本空间可能不同： 如投掷骰一枚均匀的相对二面分别用红、 黑、蓝三种颜色涂点的骰子 若试验目的是观察朝上的点数，则样本空 间为Ω={1，2,3,4,5,6}
哪一个结果会出现.
实例：抛掷一枚硬币，观察朝上的情况；
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结
果会出现.
故为随机试验.
如
投掷一枚骰子，观察朝上面的点数；
从一批灯泡中任取一只，测量其寿命；
在充分多次试验中，事件的频率总在一个 定值附近摆动，而且，试验次数越多，一 般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定 性.
请看下面的试验
实验者 n nH f n ( H) 0.5181 0.5096
德•摩根
蒲 丰
2048
4040
1061
2048 6019
K •皮尔逊 12000
0.5016
0.5005
如果A发生必导致B发生
A
B
A B
2) 相等关系：
事件A与B是同一个事件
A
B
A B A B, 且 B A.
A B
3) 互斥（互不相容）关系：
事件A与B不可能同时发生
A
B
概念：两两互斥
三、事件的运算：
和事件、积事件、对立事件、差事件
（1） 和（并）事件：
本点个数为无穷多个，且具有非零的有限 的几何度量，即0<m(Ω)< ,每个样本 点出现是等可能的（均匀分布），则称这 一随机试验是几何概型。 等可能性的理解：落在度量 (长度, 面 积, 体积) 相同的子区域是等可能的
定义2
当随机试验为几何概型，则事件 A 的概率可定义为
m ( A) P ( A) m ( )
A3
A4
如图(1)、(2)两个系统中，令Ai表示 第i个元件工作正常”, Bi表示“第i 个系统工作正常”. 试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2. 解: (1) B1 = A1A2∪A3 A4 (2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)
四、随机事件的运算规 律：
幂等律: 交换律: 结合律: 分配律: 对偶原理:
它具有下述性质: 1 0 f n ( A) ; （非负性） 2 f n ( ) 1; （正规性）
3 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容事件，则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak ) （可加性）
例9 （会面问题）两人相约晚上7点到8点在
某地会面，先到这等候另一人20min,过 时就可离去，试求两人约会成功的概率。
y
o
x
阴影部分面积 p 正方形面积
（三）概率的统计定义
定义:在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为 事件 A 发生的频数。比值nA/n称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
对这些事件的可信程度就是概率，而与随 机试验无关，通常称为主观概率。 1928年以冯.米泽斯为代表的“客观概率 学派” 米泽斯定义的概率为该事件出现的频率的 极限，而作为公理就必须把这一极限的存 在作为第一条公理，这就是客观概率。
1933年以Kolmogorov为代表的“以测度论
为基础的概率公理化体系” 现代概率论的“诞生”，一个数学分支的 正式出现！
现象。 尽管随机现象其结果具有一定的不确定 性，但在观察次数足够大时，却呈现出 一定的统计规律性
如何来研究随机现象的规律性？
做随机试验！
说明：随机试验是一个广泛的术语.它包括
各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进 行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
随机试验的定义？
我们约定：
在分别写有0,1,…,9的十张卡片中随意抽取
一张，观察其上的数字。
样本点： 随机试验的每一个可能结果，用ω表示 样本空间 所有样本点构成的集合，用Ω表示 随机事件 样本空间的任意一个子集称为随机事件,
简称“事件”.记作A、B、C等 事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素