第4章曲线与曲面立体的投影

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曲面立体的投影

线上，如图4-13(b)所示。因圆柱水平投影具有积聚性，
所以这三点的水平投影一定都在圆上，根据其位置判断
可见性即可，再根据三等关系即可求出侧面投影。
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曲面立体的投影
Page 23
作图步骤如下：点a′为可见点，根据点a′的位置分析，其侧面投影位于前轮廓线素线上，可过点a′作水平线交前轮廓素线于一点(即a″点)，根据三等关系可求出水平投影a。同理，c′点位于右轮廓素线上，根据水平投影的积聚性，从c′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为c点，根据三等关系可求出点c″的位置，其侧面投影为不可见点，需要用小括号括起来。b′点位于后左平面上，根据水平投影的积聚性，从b′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为b点，再根据三等关系可求出点b″的位置。
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曲面立体的投影
1.素线法圆锥面由许多素线组成，圆锥面上任一点必在经过该点的素线上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。 2.纬圆法由回转面的形成可知，母线上任一点的运动轨迹为圆，且该圆垂直于旋转轴线，这样的圆称为纬圆。圆锥体上任一点一定在与其等高的纬圆上，因此可借助该点的纬圆求出该点的投影。
曲面立体的投影
2.投影分析（1）俯视图。俯视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大水平面①的投影。球被分为上、下两部分，上部分可见，下部分不可见。（2）主视图。主视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大正平面②的投影。球被分为前、后两部分，前部分可见，后部分不可见。（3）左视图。左视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大侧平面③的投影。球被分为左、右两部分，左部分可见，右部分不可见。
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重要曲面与曲线的投影

第一节
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程，如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0

建筑工程制图第4章曲线与曲面立体的投影

两圆柱位置不同时相贯线的变化趋势
(a)
(b)
(c)
(d)
4.5 旋转楼梯
平螺旋面
螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
1．平螺旋面
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
4.5 旋转楼梯
Thanks
5 3
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。Fra bibliotek● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线的空间 E 形状？截交线 D C 的投影特性？ A
B
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线的空间 E 形状？截交线 D C 的投影特性？ A
底圆母线素线顶圆轴线
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。 O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′

4″
1″

3

(2)

2″

3
利用投影的
积聚性 O A
2 1

4

3
O1 A1
相贯线相贯线

第3、4章立体的投影(2基本曲面立体截交线)

（a）题图
（b）作截交线的正面投影
图4-19 圆弧回转体被铅垂面截切后的投影
5、组合体的截交线
组合体可分解为若干基本几何体，因此，求平面与组合体的截交线，就是分别求出平面与各个几何体的截交线。
[例4-15] 如图4-20（a），求作平面截切组合回转体的截交线。
（a）题图
（b）立体图
图4-20 求平面截切组合回转体的截交线
转向线的投影特点？
e
e f k" d
A
k' (f )
d
C
f
e
d
F点在C转向线上。
4.2.2 回转体的截交线
P101
回转体被平面截切，在回转体表面上产生截交线，截切的位置不同，其截交线的形状也不同。回转体的截交线一般为封闭的平面曲线或平面曲线与直线的组合，在特殊情况下是直线组成的平面多边形。截交线上的每一点都是截平面与回转体表面的共有点，所以求截交线的问题可归结为求截平面与回转体表面的共有点问题。
1
2 1 （2 ） 3 （4 ） 4 3
（）
4
1
2
3
一般点：K点，不在转向线上；
一般点利用素线法或纬圆法求出第2面投影，则很容易求出第3 面投影。
别忘了可见性判断！
圆锥表面上的点
辅助素线
1) 作一般点E（素线法） 2) 作一般点E (辅助平面法）
辅助平面
辅助纬圆
素线法求一般点
纬圆法求一般点(好！)
图4-12 求作圆柱体切口的投影
2、平面与圆锥体相交
P106
当平面与圆锥相交时，由于截平面对圆锥轴线的相对位置不同，其截交线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线及两条相交直线，如表4-2的五种情况。记住！记住！

第四章立体的投影

③判别可见性。
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组；二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。求两平面体相贯线的方法：有两种（1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。（2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体（1）形体特征: 底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形。（2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。（3）投影分析
【例4-1】作四棱台的正投影图解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面坡屋面双坡屋面
四坡屋面同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。同坡屋面交线的画法，其实质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称

机械制图第四章立体的投影习题解答

P18：4-1(1) 完成立体的三面投影，并补全立体表面点的其余投影。
P18：4-1(2) 完成立体的三面投影，并补全立体表面点的其余投影。
P18：4-1(3) 完成立体的三面投影，并补全立体表面点的其余投影。
P18：4-2 求三棱锥的侧面投影。
P18：4-3 补画四棱柱表面上线段AB、BC的正面投影和侧面投影。
P19：4-5(4) 已知曲面立体表面上点的一个投影，求其另两投影。
P19：4-6(1) 求出立体表面上AB曲线的其余两面投影，并判别可见性。
P19：4-6(2) 求出立体表面上AB曲线的其余两面投影，并判别可见性。
P20：4-7(1) 完成平面立体被截切后的三面投影。
P20：4-7(2) 完成平面立体被截切后的三面投影。
P26：4-9(8) 完成相贯线的各面投影。
相贯线上的最高、最低点。
P26：4-9(9) 完成相贯线的各面投影。
P26：4-9(10) 完成相贯线的各面投影。
P27：4-9(11) 完成相贯线的各面投影。
辅助平面 ——截平面
三面共点
截交线
P27：4-9(12) 分析组合回转体的相贯线，并补全各投影。
P22：4-8(4) 完成曲面立体被截切（穿孔）后的三面投影。
P22：4-8(5) 完成曲面立体被截切（穿孔）后的三面投影。
P23：4-8(6) 完成曲面立体被截切（穿孔）后的三面投影。
P23：4-8(7) 完成曲面立体被截切（穿孔）后的三面投影。
P23：4-8(8) 完成曲面立体被截切（穿孔）后的三面投影。
页码
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
4-1(1) 4-5(1) 4-7(1) 4-7(1) 4-8(1) 4-8(6)

第四章曲线与曲面

圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面组成。圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线素线下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转而成。
土木工程制图

第4章立体的投影

补全四棱台被截切后的水平投影，并求作正面投影。
4-4曲面立体的截交线（一）
1. 求作立体的水平投影。
1.求作立体的水平投影。
2. 求作立体的侧面投影。
2.求作立体的侧面投影。
4-5曲面立体截交线（二）
1.完成圆柱被截后的水平投影。
1. 完成圆柱被截后的水平投影。
1. 完成圆柱被截后的水平投影。
1. 完成圆柱与半球相贯后的水平和正面投影。
2.完成相贯线的正面投影
4-9相贯线（三）
1.用辅助平面法求作相贯线的正面投影
*2.用辅助平面法求作相贯线的水平投影
4-10 相贯线（四） *1. 求作正面投影。
*2. 求作正面投影。
4-11 相贯线（五）
*1. 求作侧面投影。
*2. 完成立体的正面和水平投影。
4. 求作水平投影。
4. 求作水平投影。
4-7立体的相贯线（一）
1. 补全侧面投影。
1.补全侧面投影。
2. 补全水平投影。
2.补全水平投影
3.补全正面投影
3. 补全正面投影。
4.补全水平投影
4. 补全水平投影。
4. 补全水平投影。
4-8相贯线（二）
1.完成圆柱与半球相贯的水平和正投影
1. 补全侧面投影，并求作水平投影。
1. 补全侧面投影，并求作水平投影。
2. 完成半圆球被截后的水平和侧面投影。 2.完成半圆球被截切后的水平投影和侧面投影
2. 完成半圆球被截后的水平和侧面投影。
3.求作顶尖的水平投影。 3. 求作顶尖的水平投影。
3. 求作顶尖的水平投影。
4.求作水平投影。
第四章
立体的投影
4-1完成下列立体及其表面上的各点三面投影

工程制图第4章基本体的三视图

c”
YW
在投影ac上求出Ⅱ 点的水平投影2。
连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影。
根据在直线上的点的投影规律，求出M 点的水平投影m。
c
YH
正三棱锥的三面投影图
再根据知二求三的方法，求出m”。
方法二：利用辅助平面法
s’
s”
过m’作m’1’ ∥a’c’，交s’a’于1’。
1’ m’
a’
c’
a
而得到立体的投影图。
一、平面基本体的投影
平面基本体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
平面基本体的各表面都是平面，平面与平面的交线称为棱线，棱线与棱线的交点称为顶点。平面基本体可分为棱柱体和棱锥体。
射线，投射线与圆锥对W面的转
1′ 2′
1″ 2″
向轮廓线的交点即为投影1”；根据“宽一致”的投影规律，以轴线为基准，在W面投影中量
取投பைடு நூலகம்1”的Y坐标值Y1，然后
在圆锥对W面的转向轮廓线的H
面投影上直接量取Y1，得投影1。
⑵过点的H面投影2向上作竖直
投射线，投射线与圆锥对V面转
向轮廓线的V投影的交点即为投
“实体”子菜单 “实体”工具栏
㈠用实体命令绘制基本体 1 .绘制长方体 ⑴ 功能 ⑵ 调用菜单：绘图(D)→实体(I)→长方体(B) 命令行：BOX 工具栏：
长方体
2 .创建圆柱体
⑴ 功能 ⑵ 调用
菜单：绘图(D)→实体(I)→圆柱体(C) 命令行：CYLINDER 工具栏：

大学工程制图--第4章立体的投影

一、圆柱体二、圆锥体三、圆球四、圆环五、回转体的尺寸标注
4.2 曲面立体的投影
一、圆柱
1、圆柱的投影分析一直线（母从前往后看在VW 从左向右看在从上往下看在线）绕与其平行的面的投影是一个矩形：轴线⊥H 面，所面的投影是一个矩形： H 面上的投影为一轴线轴线旋转一周，形上下两条水平线分别以在H 面上的投影积上下两条水平线分别个圆周：它既是圆成圆柱面。是顶圆和底圆的投影，聚为一点，用两条互是顶圆和底圆的投影，柱面的顶圆和底圆长度为圆周的直径。相垂直的点画线的交长度为圆周的直径。的重合投影，反映左右两条直线为圆柱点来表示；轴线//V 左右两条直线为圆柱顶圆和底圆的实形，面VW面投影的外形线V 面和W 面，所以在面面投影的外形线又是圆柱面的积聚（最左和最右素线），面与W 面的投影反映（最前和最后素线），素线投影。也是前半圆柱面和后实长。也是左半圆柱面和右半圆柱面的分界线。半圆柱面的分界线。
4.1 平面立体的投影
二、棱锥
Z
s'
(1) 棱锥的投影分析
V
a'
b ' A a
X
H
棱锥的投影特性：其底面为水平图示为一正三棱棱面△SAC为 s” 面，它的水平投影反锥，它由底面△ABC 侧垂面，因此侧面投在底面所平行的 S 映实形，正面和侧面和三个棱面△SAB、影积聚成一直线，水 W 投影面上的投影轮廓投影分别积聚成一直 △SBC、 △SAC所组平投影和正面投影都为反映棱锥底面实形线。成。是类似形。棱面 C a” 的多边形，其余两投 (c”) △SAB和△SBC为一般 b” 影由三角形线框组成。 B c 位置平面，它的三面 s 投影均为类似形。 Y b

【机械制图】第4章立体的投影

表面求点只
k”
能用辅助圆法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球表面求点只能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面相交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？

4、曲线、曲面及曲面立体的透视

第四章曲线、曲面及曲面立体的透视
一、平面曲线的透视
•平面曲线的透视一般仍为曲线。 • 如平面曲线就在画面上，则透视就是曲线的本身； • 当曲线所在平面平行于画面时，则其透视和其曲线本身相似； • 如果曲线所在平面过视点，则曲线的透视是一条直线。 •点在曲线上，则点的透视在曲线的透视上。 •直线与曲线相切，则透视图中依然保持相切，切点是空间切点的透视。
为了求出透视图中的共轭直径，将基面按图中所示方向旋转，并于画面重合，则消失线与基线间的距离等于视距，视点S也按此方向旋转到画面上，这样作图即可在画面上进行。
求椭圆长短轴的方向：
透视椭圆长短轴的作图：过C0作DE的垂线，并截取C07=C0D0；连接7A0, 并取其中点8；以8为圆心，8C0为半径作圆弧，交7A0
平面曲线如不平行画面，其透视形状将有所变化，求平面曲线的透视主要有以下两种方法：
１、在曲线上取一系列足以确定曲线形状的点，求出这些点的透视，再一以光滑曲线将它们连接起来。
为了求出所选点的透视，总是通过所选点作两个不同方向的辅助直线，两条辅助直线的交点就是所求点的透视。所选的两个方向可以是正交的，也可以不是正交的，只要两个不同方向的辅助直线的透视能够清晰、明确的定出交点的位置即可。
曲线回转面的透视：
圆球的透视：
圆球的位置不同对透视椭圆形状的影响透视：
圆环的透视
Hale Waihona Puke 螺旋线(轴线垂直基面）的透视：
螺旋线(轴线垂直划画面）的透视：透视图中有一个重影点
螺
螺旋面的透视：
旋
线
的
透
视
也
有
可
能
出
现
尖

第五讲第4章立体投影(一)

第五讲第4章立体的投影（一）本讲的学习目标：掌握平面立体（棱柱、棱锥）的形状特点，掌握曲面立体（圆柱、圆锥、圆球）的形成原理；熟练掌握基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法。

学习的重点：基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法4.1 平面立体的投影图4-1 房屋形体的分析图4-2 水塔形体的分析基本形体：组成形体的最简单但又规则的几何体，叫做基本形体。

基本形体的分类：根据表面的组成情况，基本形体可分为平面立体和曲面立体两种。

平面立体：表面由若干平面围成的基本体，叫做平面立体。

平面立体类型：有棱柱、棱锥、棱台等。

平面体的投影：作平面立体的投影，就是作出组成平面立体的各平面的投影。

4.1.1 棱柱4.1.1.1 棱柱的投影如图4-3所示，有两个三角形平面互相平行，其余各平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱。

图4-3 三棱柱体当底面为三角形、四边形、五边形……时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（a）立体图（b）投影图图4-4 三棱柱的三面投影分析其三面投影图：W投影：投影为三角形。

H投影：投影为两个矩形。

V投影：投影为一个矩形。

4.1.1.2 棱柱表面定点和定线【例4-1】如图4-5所示，已知三棱柱上直线AB、BC的V投影，求另外两个投影。

（a）已知条件（b）作图图4-5 三棱柱表面上的点和线【例4-2】如图4-5所示，已知四棱柱表面上点K的V投影和点M的V投影，求它们的另外两投影。

（a）立体图（b）已知条件（c）作图图4-6 四棱柱表面上的点4.1.2 棱锥定义：由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥。

如图4-6所示为三棱锥。

图4-7-1 三棱锥根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥和五棱锥等。

当棱锥底面为正n边形时，称为正n棱锥。

4.1.2.1 棱锥的投影1. 棱锥如图4-7所示为一正三棱锥,三棱锥底面ABC是水平面，后棱面SAC是侧垂面，其它两个侧面都是一般面；棱线SB为侧平线，其它两条棱线为一般线。

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4.3 平面与曲面立体截交
1.平面与圆柱截交根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置，圆柱上的截交线有圆、椭圆、矩形三种形状。
4.3 平面与曲面立体截交
平面与圆柱的截交
根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置，圆柱上的截交线有圆、椭圆、矩形三种形状。
截平面位置
立体图
与轴线平行
投影图
交线平行于轴线的直线
●
a′
● b′
a●
●
c
e
●
●d
●
b
截交线的空间
形状E？截C交线D B 的投影
A特性？
4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
e′
●
● c′
●
d′
●
a′
● b′
a●
●
c
e
●
●d
●
b
截交线的空间形状E？截C交线D B 的投影 A特性？
4.3 平面与曲面立体截交
3.平面与圆球截交用任何位置的截平面截割圆球，截交线的形状都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，其它两面投影积聚为直线。
第4章曲线与曲面立体的投影
4.1 曲线
1.棱柱顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
4.1 曲线
1.圆柱螺旋线
以拇指表示动点沿母线移动的方向，其它四指表示母线的旋转方向，若
符合右手情况时，称为右螺旋线；若符合左手情况时，称为左螺旋线。
右旋
左旋
4.1 曲线
2.螺旋面螺旋面分平、斜两种。平螺旋面的母线垂直于轴线，因此母线运动时始终平行于轴线所垂直的平面。
1' 7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ')
截交线的投影特性？
9‘ (10') 2'
二、求截交线 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点
三、完善轮廓
1•0 6• •4 •8
1 2
9•
•
5
•
3
•
7
4"8"• 6" •
•
10"
1"
• 7"
3"
• 5" •
9"
2"
如何找椭圆另一根轴的端点（即最前、最后点）
（a）平螺旋面的形成
（b）投影图（c）空心螺旋面投影图
4.1 曲线
空心螺旋面的投影画法
13’
12’ 11’ 10’ 9’ 8’
7’
6’
5’
3’
4’
2’ 1’
4.2 曲面立体及其表面上的点
圆柱圆锥圆球圆环
4.2 曲面立体及其表面上的点
圆柱
圆柱面的形成
顶圆
圆柱面是由直母线绕与母线平行的轴线旋转一周而成。当顶圆、底圆平面与轴线垂直时，称为正圆柱面。
4.4 曲面立体相贯
1.直线与曲面立体相贯
直线和圆柱体相交，当圆柱投影有
3
A O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
二、圆锥
圆锥面的形成
素线
圆锥面是由直母线绕与它相交于一点的轴线旋转一周而形成的曲面。当圆周所在平面与轴线垂直时，称为正圆锥。
由圆锥面和底面组成的回转体就是圆锥体简称圆锥。
轴线母线
底圆
4.2 曲面立体及其表面上的点
圆锥体 2.圆锥的投影
H面投影是一个圆周。 V面、W投影是等腰三角形。
Z
X
O
YW
YH
4.2 曲面立体及其表面上的点
例3：绘制圆锥的三视图。
s
s
SO A O1
a
c d
b
b(d) d
a ( c )
a
sc
b
4.2 曲面立体及其表面上的点
例4：已知棱锥表面上点的投影1、2、3， s
求其它两面投影。
SO
(2)
1
a
3
b(d) d
A O1
a 1
2 s
(3)
b
s
2
c d
1 3 b
4.3 平面与曲面立体截交
例5：求半球体被截后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为上部为分部圆分弧，圆在弧侧，视在图俯上视积图聚上为积直聚线为。直线。
4.3 平面与曲面立体截交
三视图和立体图。
4.4 曲面立体相贯
直线与曲面立体相贯曲面立体与平面立体相贯两曲面立体相贯
（2）圆球的三视图
三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它
们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。
∥V面最大轮廓圆A ∥W面
最大轮
廓圆C
∥H面最大轮廓圆B
4.2 曲面立体及其表面上的点
c´
圆球的三视图画图步骤：
2. 属于圆球表面的点
★特殊位置点
a´ (c)
b´
b‫״‬
c‫״‬
a‫״‬
(a) b
4.2 曲面立体及其表面上的点
圆的半径？
★一般位置点辅助圆法
k
1
m
(2)
1
(2 )
(2)
k
1
(m)
1
4.2 曲面立体及其表面上的点
4.圆环圆环的投影
4.2 曲面立体及其表面上的点
圆环表面的点已知圆环面上的点A、B 的一个投影，求它们的另一个投影。
4.3 平面与曲面立体截交
平面与圆柱截交平面与圆锥截交平面与圆球截交
a ( c )
c
4.2 曲面立体及其表面上的点
例5：已知圆锥表面上点的投影1、2，求其它两面投影。
辅助素线法
如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。
辅助圆法
S
●
M
s ●
1 (2) m
2 ●
s
m
1
● s
(2)
●
1
4.2 曲面立体及其表面上的点
3.圆球（1）形成：圆母线以直径为轴旋转
O
O1
4.3 平面与曲面立体截交
三视图和立体图。
1' 7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ')
9‘ (10')
2'
8"• 6" •
•
10"
1"
• 7"
• 5" •
9"
2"
1•0 6• •4 •8
2
1
9•
•
5
•3
•7
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。
e′
●
● c′
●
d′
与轴线垂直圆
与轴线倾斜椭圆
4.3 平面与曲面立体截交
[例1]求作圆柱截断体的投影图。
一般点
a’ (b’) b”
e’（f ’） g’ （h’）
f” h”
c’
hf
b
c
a” e” g”
c”
最高点、最右点
最前点、最后点、圆柱轮廓线上点
最低点、最左点、圆柱轮廓线上点
gea
4.3 平面与曲面立体截交
由圆柱面和上、下底面围成的
母线
立体，就是圆柱体，简称圆柱。
轴线素线
底圆
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。
O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′
3
(2)
4″
1″
3
2″
利用投影的积聚性 O
2
1
4
2.平面与圆锥截交根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
截平面位置
垂直于轴线
倾斜于轴线且
倾斜于轴线且
倾斜于轴线平行于轴线
通过锥顶
投影图
立体图
交线
圆
椭圆
抛物线
双曲线
两条相交直线
4.3 平面与曲面立体截交
例1: 圆锥被正垂面截断，完成三视图。
一、分析截交线的空间形状？

第4章 曲线与曲面立体的投影