变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用_毛坚强
变形体系的虚功原理

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重A
庆l
大l 学R
6.2 变形体系的虚功原理
土i
木g
工h
程t 学s
6.2.1 功、实功与虚功
院R
®e
s e
1、功
r
v
功包含了力和位移两个因素。
e
d
2、静力荷载所做的功
静力荷载,是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地 增加到最终值,结构在静力加载过程中,荷载与内 力始终保持平衡。
给定的,则可虚设位移,式(6-7)便称为变形体系的虚
位移方程,它代表力系的平衡方程,常可用于求力系中
的某未知力;如果位移是实有的,则可虚设力系,式
(6-7)便称为变形体系的虚力方程,它代表几何协调方
程,常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即
主要介绍虚力方程及其应用。
演讲结束,谢谢大家支持
附PPT常用图标,方便大家提高工作效 率
略去,因此微段上各力在其变形上所做的虚功为
dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
重A
庆l
大l
学R
土i
木g
工h
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学s 院R
dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
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假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用,可以认为
r v
它们作用在截面AB上,因而当微段变形时,它们并不做
e
功。总之,仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚
生活
图标元素
医疗
图标元素
重A
庆l
变形体的虚功原理

一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
22
12
虚: 并不是假的、不存在的,而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有:
由于
改写为 外力虚功
,
, 因此
虚功原理 !
外力虚功在杆件中产生的变形能 ,关键是求
较好求,例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态(由P1引起) 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态(由P2引起)
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
:轴向虚应变 :平均虚剪切角 :虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时, We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
有限元虚功原理

但是必须指出,无论是虚位移原理还是虚应力原 理,他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于 小变形理论的,所以他们不能直接应用于基于大 变形理论的力学问题。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱” 形式;虚位移原理的力学意义:如果力系是平衡的,则它 们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之,如果 力系在虚位移(及虚应变)上所作的功的和等于零,则它 们一定满足平衡方程。所以,虚位移原理表述了力系平衡 的必要而充分条件。
一般而言,虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题,而且 可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。
3.3虚功原理(平衡方程和几何方程的等效积分 “弱”形式)
变形体的虚功原理:变形体中任意满足平衡的 力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚 功等于零,即体系外力的虚功与内力的虚功之 和等于零。
虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。 他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积呢?
虚应力原理
虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱” 形式。虚应力原理的力学意义:如果位移是协调的(即 在内部连续可导),则虚应力和虚边界约束反力在他们 上面所作的功的总和为零。反之,如果上述虚力系在他 们上面所作的功的和为零,则它们一定是满足协调的。 所以,虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。
基于点面接触算法的叶片盘组件三维有限元分析

第 # 期 !!!!!!!!!!!!!!! 李江腾 ! 等 #基于点 面接触算法的叶片’盘组件三维有限元分析 ;
+! & %+
的模型 ! 用壳单元或体单元模拟 ! 在叶 片 榫 头 部 位 作 用相应 的 面 力 来 分 析 盘 对 叶 片 的 影 响 " 但 严 格 地 一 是实 际结 构 及 其 承 载 情 说! 该方法存在 # 个缺陷 # 况并 不 符 合 轴 对 称 特 性 $ 二是未考虑榫齿连接部位 的接触关系 " 而 在 高 速 旋 转 的 情 况 下 ! 其榫齿连接
限元法 ! 计算精度提高 ’ 计算叶片&盘应力的主要方 法包括 % ; "将轮盘 及 叶 片 分 开 计 算 ’ 将 轮 盘 简 化 为 轴 对称模型 ! 用轴对称单元模拟 # 叶片简化为根部固支
作者简介 % 李江腾 " ! 女! 湖南攸县人 ! 副教授 ! 博士研究生 ! 从事计算力学的研究及教学工作 1 \ " &[ $ 论文联系人 % 李江腾 ! 女! 博士研究生 # 电话 % " # % $ : ! 1 ; 2 2 ! # & # ! 7$ O ; V ? 0 ) ) ; B 1 H @* H ( V !# ]
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图 I! 接触表面示意图
4 5 " I!G H I C V ? B 0 HM 0 ? / ? VJ ( /H ( @ B ? H B K L / J ? H C A F I" 3! 接触势能 两物体的接触可能出现 ! 种 状 态 # 粘 式* 滑移和 开式 " 1* !* 1! 粘式条件下的接触势 对粘式条件下的接触势 ! 接 触 点 无 相 对 移 动! 变 形前后接触点的坐标值相同 " 在第# 主动 a1 步 + 节 点 与 被 动 体 粘 式 接 触 时 ! 点 + 与被动点, 点坐标相同 ! 即#
变形体虚功原理

变形体虚功原理在物理学中,变形体虚功原理是一种重要的物理原理,它在研究弹性体和变形体的力学性质时起着至关重要的作用。
变形体虚功原理是指在弹性体或变形体受到外力作用下发生形变时,外力所做的虚功等于内能的增量。
这一原理的提出和应用,为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
首先,我们来看一下什么是虚功。
虚功是指在力学系统中,某些力在系统发生微小位移时所做的功。
对于一个系统在平衡状态下的微小位移,外力所做的虚功等于零。
而在变形体中,外力所做的虚功等于内能的增量,这就是变形体虚功原理的核心内容。
在实际的物理问题中,我们经常会遇到弹簧、弹性体等受力而发生形变的情况。
利用变形体虚功原理,我们可以很好地分析这些问题。
例如,当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时,外力所做的虚功等于弹簧内能的增量,这可以用公式表示为:W = ΔU。
其中,W表示外力所做的虚功,ΔU表示内能的增量。
这个公式可以帮助我们计算弹簧的形变和受力情况,为工程设计和实际应用提供了重要的理论支持。
除了弹簧,变形体虚功原理还可以应用于其他形变体的研究中。
例如,在材料力学中,我们经常需要分析材料的拉伸、压缩、弯曲等变形情况。
利用变形体虚功原理,我们可以建立相应的力学模型,研究材料的力学性质,为材料的设计和选用提供理论依据。
总之,变形体虚功原理是物理学中一个重要的理论工具,它为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
通过应用这一原理,我们可以更好地分析和解决实际的物理问题,为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
希望通过本文的介绍,读者能对变形体虚功原理有一个更清晰的认识,进一步深入学习和研究相关领域的知识。
变形体的虚功原理

点的竖向位移
Δ
,可虚拟一力状态如图所示。
CV
应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0
F
A
FAy
l
F
CV
a
b
l
FBy
a l
F
B
c
令F=1。得 ΔCV=
a c l
沿所求位移方向虚设单位荷载F=1的方法称为单位 荷载法,或称为单位力法。
当支座有给定位移时,静定结构的位移可用单位荷 载法来求解,其计算步骤如下:
1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载,并求出 在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功,写出虚功方 程
3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值,表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致;如果求得的位移为负值,表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
注意:在推导变形体的虚功方程时,并未涉及到材料 的物理性质,只要在小变形范围内,对于弹性、 塑性、线性、非线性的变形体系,上述虚功方 程都成立。
结构力学
FB
δB=1
图4.8
(a)
(2)虚拟力状态,求未知位移 在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用虚 功原理,这种形式的虚功原理又称为虚力原理 。 【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下移 动距离c,试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
图4.9
【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C
三、 变形体的虚功原理
对于变形体系,如果力状态中的力系满足平衡条件, 位移状态中的位移和变形彼此协调、并与约束几何相 容,则体系的外力虚功等于体系的内力虚功,即
We= Wi We——外力虚功,即力状态的外力在位移状态的相 应位 移上所作的虚功总和; Wi——内力虚功,即力状态的内力在位移状态的相 应变形上所作的虚功总和。
变形体虚功原理的应用条件

变形体虚功原理的应用条件1. 引言变形体虚功原理是一种应用于力学与材料学领域的重要原理,它可以用来描述材料在变形过程中所吸收或释放的能量。
该原理的应用条件决定了它在实际工程中的适用性和可靠性。
本文将介绍变形体虚功原理的应用条件,并通过列点方式进行详细阐述。
2. 应用条件下面是变形体虚功原理的应用条件:•材料必须具有线性弹性行为:变形体虚功原理基于线性弹性假设,因此在应用时必须确保材料具有线性弹性的特性。
如果材料存在非线性行为,如塑性变形或粘弹性行为,将无法以虚功原理来描述其变形过程。
•系统必须处于静力平衡:在应用变形体虚功原理时,需要确保系统处于静力平衡状态。
这意味着受力和力矩在各个方向上都相互抵消,系统中没有产生任何运动或旋转。
•变形体必须满足边界条件:变形体虚功原理要求在应用过程中必须给定适当的边界条件。
边界条件可以包括固定边界、自由边界或受限位移边界等。
这些条件可以根据实际情况进行确定,以保证虚功原理的适用性。
•变形过程必须是可逆的:变形体虚功原理假设变形过程是可逆的,即变形体在加载和卸载过程中可以完全恢复其原始形状。
如果变形过程具有不可逆行为,如材料损伤、破裂或剪切等,将无法应用虚功原理。
•变形体应足够简单:为了应用变形体虚功原理,变形体的形状和约束条件应尽可能简单。
复杂的几何形状和多重约束条件可能导致难以求解的情况,因此在实际应用中需要谨慎选择变形体。
3. 应用案例下面是变形体虚功原理在实际工程中的应用案例:•弹簧设计:弹簧是一种常见的变形体,它在受到外力作用时可以发生弹性变形。
通过应用变形体虚功原理,可以求解弹簧的变形量和所吸收的能量,从而帮助设计者选择合适的弹簧材料和尺寸。
•结构分析:变形体虚功原理在结构分析中也有广泛应用。
通过将结构划分为多个变形体,可以应用虚功原理来分析结构的响应和稳定性。
这对于设计和评估建筑、桥梁等工程结构的安全性和可靠性至关重要。
•材料性能测试:利用变形体虚功原理,可以开展材料性能测试。
变形体的虚功原理

变形体的虚功原理变形体是工程力学中的重要概念,它指的是在受力作用下形状或尺寸发生变化的物体。
在研究变形体的力学特性时,虚功原理是一种常用的分析方法。
虚功原理是指,在变形体受力作用下,通过引入虚位移,将受力和虚位移的乘积对整个系统进行求和,从而得到系统的平衡方程。
本文将详细介绍变形体的虚功原理及其应用。
首先,我们来了解一下虚功原理的基本概念。
虚功原理是基于能量守恒定律的,它认为在平衡状态下,外力对系统所做的虚功等于内力所做的实功。
虚功原理的应用需要引入虚位移,虚位移是指在系统受力作用下,假设系统中的某一部分发生微小位移,而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移,我们可以得到系统的平衡方程,从而分析系统的受力情况。
在实际工程中,虚功原理常常用于分析结构体系的受力情况。
以梁结构为例,当外力作用于梁上时,梁会产生弯曲变形。
通过引入虚位移,我们可以得到梁的弯曲方程,进而分析梁的受力情况。
虚功原理的应用不仅可以简化受力分析的过程,还可以得到更为准确的结果。
除了在静力学中的应用,虚功原理在弹性力学、材料力学等领域也有着重要的应用。
在弹性力学中,虚功原理可以用于分析材料的应力-应变关系,从而得到材料的力学性能参数。
在材料力学中,虚功原理可以用于分析材料的变形情况,进而指导工程设计和材料选择。
总之,虚功原理是工程力学中的重要分析方法,它通过引入虚位移,得到系统的平衡方程,从而分析系统的受力情况。
虚功原理不仅在静力学中有着重要的应用,还在弹性力学、材料力学等领域发挥着重要作用。
掌握虚功原理的基本原理和应用方法,对于工程力学的学习和工程实践都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解变形体的虚功原理,同时也希望读者能够在工程实践中灵活运用虚功原理,为工程设计和分析提供有力的支持。
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体视作质点 , 因此直接应用质点系的虚功原理 , 有
∫ ∫ Ψ(σij, j
+Fi)δui d Ψ+
(p
Γσ
i
-pi)δui d Γ=0
(1)
图 1 物体内部及应力边界微单元体示意图
式(1)就是变形体虚功原理的表达式 , 即变形体处于平衡状态时应力应满足的条件 。这里 , Ψ内及 Γσ 上各
∫ ∫ Ψ{[ (δik +ui , k)σkj]
,j
+Fi}δui d Ψ+
{p
Γ
i
-(δik +ui , k)σkj}δui d Γ=0
σ
上式经整理后 , 所得到的表达式与式(2)相同 , 不过 , 其中
εij
=
1 2
(ui
,
j
+uj , i
+uk , iuk , j)
为 Green 应变张量分量 。
The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies and Its Application to Contact Problems
MAO Jian-qiang1 , DING Gui-biao2 ,
(1.School of Civil Eng ., Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031, China ;2.Xinchang Railway Co .Ltd, Nanjing 210029, China)
当存在位移 、应力混合边界时 , 例如在边界 Γuσ上 un =un ps =ps pt =pt
其相应的虚功原理为
∫ ∫ ∫ ∫ ΨDijklεklδεijd Ψ=
F
Ψ
iδui
d
Ψ+
Γ(pnδun +psδus +pt δut )d Γ+
Γ (psδus +pt δut )d Γ
σ
uσ
1 .3 大变形时的虚功原理
2 接触问题的虚功原理
接触问题普遍存在于土木 、机械等工程领域 , 采用有限元法或其它数值计算方法求解的关键或主要困 难是计算中对接触边界的处理 。目前 , 接触问题的有限元解法有直接迭代法 、数学规划法 、Lagrange 乘子 法 、罚函数法等[ 3~ 9] , 之所以要额外地引入这些计算技巧 , 就是为了处理接触边界 。以下可看到 , 由虚功原 理建立接触问题的计算公式更为直接和方便 。
上述 3 点即为下面建立变形体各类虚功原理的基本依据 。 1 .2 小变形时的虚功原理 对如图 1 所示的经典问题 , 为建立其虚功原理的
计算公式 , 分别从域 Ψ及应力边界 Γσ 取出微单元体进
行受力分析 , 则由连续介质力学理论知 , 作用在内部单
元体上的合力为(σij , j +F i)d Ψ(F i 为体力密度), 作用 在边界单元体上的合力为(pi -pi)d Γ, 其中 pi =σijnj 。
Abstract :The theory of virtual work principles of deformable bodies and the technique to derive their expressions are studied and applied to contact problems to build FEM formulas .An infinitesimal element that constitutes a deformable body is taken as a particle , which is constrained elastically by the other particles around it but loses no degree of freedom .Accordingly , the whole deformable body becomes a particle system .The principles of virtual work for deformable bodies can be obtained with facility by taking advantage of the well-known principle of virtual displacement in analytical mechanics .The principles of virtual work is applied to solve contact problems .Especially , the study focuses on the contact between a body with small stiffness and another with very large stiffness , which leads to two special instances :(1)that between a deformable and a rigid bodies ;and (2)that containing so-called external contact boundary between a deformable and a fixed rigid bodies .It would be convenient to solve some special contact problems in engineering with the method presented in this paper . Key words:principle of virtual work ;contact problems ;finite elements
有限元法是目前科学和工程领域中应用最为广泛的一种数值计算方法 。 初期有限元法计算公式的 建立方法比较直观 , 之后变分原理的应用和发展为有限元法奠定了理论基础 , 并成为有限元法建立计算公 式的主要途径 。 变分原理法的关键在于泛函表达式的建立 , 但对某些问题 , 泛函表达式的寻求非常困难甚 至是不可能的 。 另一类方法则无需寻求泛函 , 如传统的伽辽金法 、虚位移法以及 20 世纪 80 年代兴起的加 权残值法等 。其实 , 对一般的有限元法 , 即使利用变分原理建立其计算公式 , 最终所需的也不是其泛函 , 而 是经过变分运算所得到的表达式 。
{[ (δik +ui , k )σkj] , j +F i}d Ψ
作用在边界单元体上的合力为
[ pi -(δik +ui , k)σkj] d Γ
式中的 δik 为 Kronecker 符号 , σij为 Lagrange 应力张量分量或称第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量分量 。 由此可 得
(3)变形体中的质点不同于自由质点 , 因为质点间存在着约束 ;但它又不同于刚体中的质点 , 这是因 为“刚性约束”不但在质点间产生了相互作用力 , 而且完全限制了质点间的相对运动 。 而对变形体而言 , “约束”的作用仅表现在质点间产生了相互作用力 , 犹如用弹簧将质点联系起来 , 而并未限制住质点发生运 动 , 相当于一种“弹性约束” 。因此单从运动学的角度看 , 质点仍是“自由的” , 整个系统的自由度并未因这 种约束而减少 。
(1)从根本上讲 , 虚功原理是物体处于平衡状态的条件 , 因此 , 单从运动学的角度看 , 研究一个由自由 质点组成的质点系 、一个刚体以及一个变形体 , 其方法并无本质的不同 。
(2)力是产生运动的原因 , 为建立其平衡(或运动)方程 , 从物体中取出一块微单元体 , 分析其受力情 况(如同固体力学中建立单元体平衡方程的做法一样), 从运动学的角度看 , 这一微单元体可视作分析力学 中的质点 , 而整个变形体则成为由无数个质点组成的质点系 。这样 , 就可将适用于分析力学中质点系的虚 位移原理直接推广用于变形体 。
收稿日期 :2001-10-21 作者简介 :毛坚强(1964-), 男 , 副 教授 , 博士研究生 .
2 42
西 南 交 通 大 学 学 报
第 37 卷
相比之下 , 在不依赖泛函方法中 , 以虚位移法的应用最为广泛 。虽然如此 , 从目前实际的应用情况 状况看 , 虚位移法并未发挥其应有的重要作用 , 这主要是由于虚位移法起源和成熟于以质点系为主要研究 对象的分析力学 , 而用于固体力学中的变形体时 , 其中的一些理论问题并未完全解决 , 妨碍了它的应用 。 为此 , 在本文中 , 将首先解决有关变形体虚功原理的一些理论问题 , 之后建立固体力学经典问题及接触问 题的虚功原理 。
(3)
如前所述 , 虚功原理所研究的是变形体变形已完成而处于平衡时的状态 , 因此虚位移应是基于这一状
态所发生的微小位移 , 与变形体实际发生的位移无关 , 故大变形时虚功原理表达式的建立方法与小变形时 相同 。 所不同的是 , 当物体的变形很大时 , 在计算作用在内部及边界微单元体上的合力时 , 单元体自身变 形的影响已不能忽略 。因此 , 若采用 Lagrange 描述 , 则有[ 2] 作用在内部单元体上的合力为
第
37 卷 第 3 2002 年 6 月
期
西
JOURNAL
南 交 通 大 学 学 报
OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
VoJlu.3n7. 20N0o2 .3
文章编号 :0258-2724(2002)03-0241-05
变形体的虚功原理及其在 求解接触问题中的应用
毛坚强1 , 丁桂彪2
(1 .西南交通大学土木工 程学院 , 四川 成都 610031 ;2.新长铁路有限责任公司 , 江苏 南京 210029)
摘 要 :研究了变形体虚功原理的理论和建立方法 , 并将其 用于建立接 触问题 有限元 法计算公 式 。 其基 本原理 是将 构成变形体的微单元体视为质点 , 变形体成为质 点系 。 应用分 析力学中 质点系 的虚位 移原理 , 即可 得到变 形体 的虚功原理 。 应用该法建立了固体力学小变形 、大变形问题的 虚功原理 , 并推广用于变形体 的接触问 题 , 建 立了相应的虚功原理 。 在对接触问题的分析中 , 还研究了 变形体 -刚体的接触问题及带有外接触边界 的固体力 学问题 , 建立了相应的虚功原理 , 由此可为某些特殊问题的计算带来较大的方便 。 关键词 :虚功原理 ;接触问题 ;有限元 中图分类号 :O343.3 文献标识码 :A