变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用_毛坚强

Abstract :The theory of virtual work principles of deformable bodies and the technique to derive their expressions are studied and applied to contact problems to build FEM formulas .An infinitesimal element that constitutes a deformable body is taken as a particle , which is constrained elastically by the other particles around it but loses no degree of freedom .Accordingly , the whole deformable body becomes a particle system .The principles of virtual work for deformable bodies can be obtained with facility by taking advantage of the well-known principle of virtual displacement in analytical mechanics .The principles of virtual work is applied to solve contact problems .Especially , the study focuses on the contact between a body with small stiffness and another with very large stiffness , which leads to two special instances :(1)that between a deformable and a rigid bodies ;and (2)that containing so-called external contact boundary between a deformable and a fixed rigid bodies .It would be convenient to solve some special contact problems in engineering with the method presented in this paper . Key words:principle of virtual work ;contact problems ;finite elements
第
37 卷 第 3 2002 年 6 月
期
西
JOURNAL
南 交 通 大 学 学 报
OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
VoJlu.3n7. 20N0o2 .3
文章编号 :0258-2724(2002)03-0241-05
变形体的虚功原理及其在 求解接触问题中的应用
1 变形体的虚功原理
1 .1 基本原理 虚位移原理是一个应用非常广泛的普遍定理 , 其应用对象为由质点组成的质点系 。 将虚功原理推广 用于变形体 , 至今最常见的方法是沿用变形体能量原理中的概念 , 相应引入虚内力功 、虚外力功 、虚应变能 等概念 , 在文献[ 1] 中对这一问题有比较全面的分析和论述 。 但作者认为 :
F
Ψ
iδu
i
d
Ψ+
Γpiδui d Γ=
F
Ψ
百度文库iδui
d
Ψ+
Γ(pnδun +psδus +pt δut )d Γ
(2)
σ
σ
第 3期
毛坚强等 :变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用
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这与最小位能原理的结果完全一样 。式中 :nst 为应力边界 Γσ 上的局部坐标系 , n 为法向 , s 和 t 为切向 。 此外 , 对弹性分析 , 式中的 Dijkl 代表弹性矩阵分量 ;对弹塑性分析 , 则 Dijkl 代表弹塑性矩阵分量 , 只要将应 力 、位移等写为增量形式 , 则上式显然也同样成立 , 说明这一原理可同样用于弹性分析及弹塑性分析 。
σij
=Dijklεk l
εij =
1 2
(ui ,
j
+uj
,
i)代入式(1), 并利用
G reen
定理
∫ ∫ ∫ Ψσij , jδui d Ψ= Γσ+Γuσijnjδui d Γ- Ψσijδui , j d Ψ=0
及 Dijkl 的对称性 , 很容易得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ΨDijklεklδεijd Ψ =
(3)
如前所述 , 虚功原理所研究的是变形体变形已完成而处于平衡时的状态 , 因此虚位移应是基于这一状
态所发生的微小位移 , 与变形体实际发生的位移无关 , 故大变形时虚功原理表达式的建立方法与小变形时 相同 。 所不同的是 , 当物体的变形很大时 , 在计算作用在内部及边界微单元体上的合力时 , 单元体自身变 形的影响已不能忽略 。因此 , 若采用 Lagrange 描述 , 则有[ 2] 作用在内部单元体上的合力为
当存在位移 、应力混合边界时 , 例如在边界 Γuσ上 un =un ps =ps pt =pt
其相应的虚功原理为
∫ ∫ ∫ ∫ ΨDijklεklδεijd Ψ=
F
Ψ
iδui
d
Ψ+
Γ(pnδun +psδus +pt δut )d Γ+
Γ (psδus +pt δut )d Γ
σ
uσ
1 .3 大变形时的虚功原理
The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies and Its Application to Contact Problems
MAO Jian-qiang1 , DING Gui-biao2 ,
(1.School of Civil Eng ., Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031, China ;2.Xinchang Railway Co .Ltd, Nanjing 210029, China)
如前所述 , 当研究平衡(运动)问题时 , 可将微单元
体视作质点 , 因此直接应用质点系的虚功原理 , 有
∫ ∫ Ψ(σij, j
+Fi)δui d Ψ+
(p
Γσ
i
-pi)δui d Γ=0
(1)
图 1 物体内部及应力边界微单元体示意图
式(1)就是变形体虚功原理的表达式 , 即变形体处于平衡状态时应力应满足的条件 。这里 , Ψ内及 Γσ 上各
(3)变形体中的质点不同于自由质点 , 因为质点间存在着约束 ;但它又不同于刚体中的质点 , 这是因 为“刚性约束”不但在质点间产生了相互作用力 , 而且完全限制了质点间的相对运动 。 而对变形体而言 , “约束”的作用仅表现在质点间产生了相互作用力 , 犹如用弹簧将质点联系起来 , 而并未限制住质点发生运 动 , 相当于一种“弹性约束” 。因此单从运动学的角度看 , 质点仍是“自由的” , 整个系统的自由度并未因这 种约束而减少 。
毛坚强1 , 丁桂彪2
(1 .西南交通大学土木工 程学院 , 四川 成都 610031 ;2.新长铁路有限责任公司 , 江苏 南京 210029)
摘 要 :研究了变形体虚功原理的理论和建立方法 , 并将其 用于建立接 触问题 有限元 法计算公 式 。 其基 本原理 是将 构成变形体的微单元体视为质点 , 变形体成为质 点系 。 应用分 析力学中 质点系 的虚位 移原理 , 即可 得到变 形体 的虚功原理 。 应用该法建立了固体力学小变形 、大变形问题的 虚功原理 , 并推广用于变形体 的接触问 题 , 建 立了相应的虚功原理 。 在对接触问题的分析中 , 还研究了 变形体 -刚体的接触问题及带有外接触边界 的固体力 学问题 , 建立了相应的虚功原理 , 由此可为某些特殊问题的计算带来较大的方便 。 关键词 :虚功原理 ;接触问题 ;有限元 中图分类号 :O343.3 文献标识码 :A
上述 3 点即为下面建立变形体各类虚功原理的基本依据 。 1 .2 小变形时的虚功原理 对如图 1 所示的经典问题 , 为建立其虚功原理的
计算公式 , 分别从域 Ψ及应力边界 Γσ 取出微单元体进
行受力分析 , 则由连续介质力学理论知 , 作用在内部单
元体上的合力为(σij , j +F i)d Ψ(F i 为体力密度), 作用 在边界单元体上的合力为(pi -pi)d Γ, 其中 pi =σijnj 。
收稿日期 :2001-10-21 作者简介 :毛坚强(1964-), 男 , 副 教授 , 博士研究生 .
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西 南 交 通 大 学 学 报
第 37 卷
相比之下 , 在不依赖泛函的方法中 , 以虚位移法的应用最为广泛 。虽然如此 , 从目前实际的应用情况 状况看 , 虚位移法并未发挥其应有的重要作用 , 这主要是由于虚位移法起源和成熟于以质点系为主要研究 对象的分析力学 , 而用于固体力学中的变形体时 , 其中的一些理论问题并未完全解决 , 妨碍了它的应用 。 为此 , 在本文中 , 将首先解决有关变形体虚功原理的一些理论问题 , 之后建立固体力学经典问题及接触问 题的虚功原理 。
{[ (δik +ui , k )σkj] , j +F i}d Ψ
作用在边界单元体上的合力为
[ pi -(δik +ui , k)σkj] d Γ
式中的 δik 为 Kronecker 符号 , σij为 Lagrange 应力张量分量或称第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量分量 。 由此可 得
点的虚位移 δui 相互独立 , 而且与变形体实际发生的 ui , σij 和pi 无关 。此外 , ui 在位移边界 Γu 上应满足 ui
=uu , 由于研究的是变形体处于平衡时的状态 , 而此时 Γu 上的 ui 已经完成 , 因此 Γu 上的 δui 在位移边界
Γu 上应满足 δui =0 , 将
有限元法是目前科学和工程领域中应用最为广泛的一种数值计算方法 。 初期有限元法计算公式的 建立方法比较直观 , 之后变分原理的应用和发展为有限元法奠定了理论基础 , 并成为有限元法建立计算公 式的主要途径 。 变分原理法的关键在于泛函表达式的建立 , 但对某些问题 , 泛函表达式的寻求非常困难甚 至是不可能的 。 另一类方法则无需寻求泛函 , 如传统的伽辽金法 、虚位移法以及 20 世纪 80 年代兴起的加 权残值法等 。其实 , 对一般的有限元法 , 即使利用变分原理建立其计算公式 , 最终所需的也不是其泛函 , 而 是经过变分运算所得到的表达式 。
(1)从根本上讲 , 虚功原理是物体处于平衡状态的条件 , 因此 , 单从运动学的角度看 , 研究一个由自由 质点组成的质点系 、一个刚体以及一个变形体 , 其方法并无本质的不同 。
(2)力是产生运动的原因 , 为建立其平衡(或运动)方程 , 从物体中取出一块微单元体 , 分析其受力情 况(如同固体力学中建立单元体平衡方程的做法一样), 从运动学的角度看 , 这一微单元体可视作分析力学 中的质点 , 而整个变形体则成为由无数个质点组成的质点系 。这样 , 就可将适用于分析力学中质点系的虚 位移原理直接推广用于变形体 。
2 接触问题的虚功原理
接触问题普遍存在于土木 、机械等工程领域 , 采用有限元法或其它数值计算方法求解的关键或主要困 难是计算中对接触边界的处理 。目前 , 接触问题的有限元解法有直接迭代法 、数学规划法 、Lagrange 乘子 法 、罚函数法等[ 3～ 9] , 之所以要额外地引入这些计算技巧 , 就是为了处理接触边界 。以下可看到 , 由虚功原 理建立接触问题的计算公式更为直接和方便 。
∫ ∫ Ψ{[ (δik +ui , k)σkj]
,j
+Fi}δui d Ψ+
{p
Γ
i
-(δik +ui , k)σkj}δui d Γ=0
σ
上式经整理后 , 所得到的表达式与式(2)相同 , 不过 , 其中
εij
=
1 2
(ui
,
j
+uj , i
+uk , iuk , j)
为 Green 应变张量分量 。